一道數(shù)學(xué)中考題的教學(xué)導(dǎo)向

廣東省中山市南頭鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)(528427)陳劍平

在閱第21 題的過程當(dāng)中,本人有以下的發(fā)現(xiàn)和思考,首先第21 題主要考查求一次函數(shù)的解析式,在中考復(fù)習(xí)中也經(jīng)常訓(xùn)練這類題,而且以專題形式重點(diǎn)訓(xùn)練,中考復(fù)習(xí)中一般訓(xùn)練這類題時(shí)題目本身會(huì)給出一次函數(shù)圖象,然后再根據(jù)圖象及題目的已知條件求解析式,但是這次考試卻沒有給出圖象,由于試題沒有給出圖形,硬生生的把難度加大了很多,很多學(xué)生就卡在了因沒圖而無從下手,能下手的這小部分學(xué)生都只能想到一種情況而忽略了另一種情況,只有極小數(shù)的學(xué)生能畫出兩種情況的圖象并正確解答,大部分學(xué)生在答題過程當(dāng)中,不知道把圖畫出來讓自己更容易做,以為題目沒有圖自己就不用畫圖,而函數(shù)題大多考查數(shù)形結(jié)合,沒有圖又怎么直觀呢?

學(xué)生離開試室跟我說:“老師你知道嗎? 第21 題第(2)小題考求一次函數(shù)解析式,但是題目沒有圖啊,我都不知道怎么做! 如果有圖我應(yīng)該會(huì)做,哎! 我這次只能拿到第(1)小題的分?jǐn)?shù)了,而這只是第21 題,后面的就更難了,第24 題第(2)問要證圓的切線,又不把圓畫出來,又把我卡住了,這次考得太糟! 數(shù)學(xué)嚴(yán)重拖后腿! ”而周圍的同學(xué)也唉聲嘆氣:“就是! 有圖就好了! 有圖我就會(huì)了! ”原來丟分的主要原因是題目無圖,升中考題一反常態(tài),改變出題套路,值得深思.

1 試題呈現(xiàn)

題目21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)y=kx+b(k＞0)的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),且與反比例函數(shù)y=圖象的一個(gè)交點(diǎn)為P(1,m).

(1)求m的值;

(2)若PA=2AB,求k的值.

其次，培訓(xùn)組的編制太少，極大影響培訓(xùn)效果。目前，B公司東北營(yíng)銷區(qū)域的培訓(xùn)組僅有2名培訓(xùn)人員，而目前正常運(yùn)營(yíng)的經(jīng)銷商合計(jì)100余個(gè)，在此種情況下，培訓(xùn)組人員必然無法針對(duì)所有的經(jīng)銷商進(jìn)行兼顧，雖然有兼職內(nèi)訓(xùn)師，但在工作節(jié)奏越來越快、工作壓力越來越大的大環(huán)境下，對(duì)于培訓(xùn)工作，兼職內(nèi)訓(xùn)師也多是應(yīng)付了事。

分析(1)將y點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=計(jì)算即可求得m;

(2)分兩種情況討論,當(dāng)一次函數(shù)過一、二、三象限時(shí),畫出圖象,將PA=2AB轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形相似,過P作PH⊥x軸交x軸于點(diǎn)H,證明ΔABO∽ΔAPH即可求出k和b的值;當(dāng)一次函數(shù)過一、三、四象限時(shí),畫出圖象,將PA=2AB轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形相似,過點(diǎn)P作PQ⊥y軸于點(diǎn)Q,證明ΔBAO∽ΔBPQ即可求出k和b的值.

圖1

2 猜想命題者的意圖

本題主要考察了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和直觀想象四大核心素養(yǎng).

“無圖”意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和基本作圖能力.本題沒有給出完整的圖形,需要學(xué)生根據(jù)題意自主畫出需要的圖形,通過“作圖——識(shí)圖——用圖”解決問題.同時(shí)也暴露出教師的思想固化問題,最近10 年本市的升中考題都沒出現(xiàn)過考函數(shù)而沒有給出圖形的解答題,所以在平時(shí)的訓(xùn)練中會(huì)忽略此類題型的訓(xùn)練.

(1)求m的值;意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.只要將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=計(jì)算即可求得m,同時(shí)也為了照顧能力一般的同學(xué)能拿點(diǎn)分?jǐn)?shù),不至于整題得0 分.

“(2)若PA=2AB,求k的值.”意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、數(shù)學(xué)建模能力、邏輯推理能力和直觀想象能力和重要的解題思想“分類討論”.學(xué)生要根據(jù)題意作出“當(dāng)一次函數(shù)過一、二、三象限時(shí)”或“當(dāng)一次函數(shù)過一、三、四象限時(shí)”的圖像,分2 種情況求解,而解題關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù)的圖像添加輔助線構(gòu)造相似三角形,將題目中線段的倍數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為相似三角形的相似比從而求得點(diǎn)B 的坐標(biāo),再用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式.

總之,通過這道題能感受到命題者最終的意圖就是希望廣大數(shù)學(xué)教師在平時(shí)的教學(xué)過程中要重視學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng),分類討論思想的滲透.

3 重視“無圖分類討論題”

“無圖分類討論題”蘊(yùn)含了多種數(shù)學(xué)素養(yǎng)和分類討論思想,以上第21 題就是很好的見證.但學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中無圖且用分類討論思想去解決的題確實(shí)有但并不常練,然而在人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)就已經(jīng)在滲透分類討論思想.例如:第9 頁的探究:“在數(shù)軸上,與原點(diǎn)距離是2 的點(diǎn)有幾個(gè)?這些點(diǎn)各表示哪個(gè)數(shù)? ”;第10 頁的思考:“設(shè)a表示一個(gè)數(shù),-a一定是負(fù)數(shù)嗎? ”;第15 頁的拓廣探索:“如果x的絕對(duì)值是2,那么x一定是2 嗎? ”;第135 頁的探究:“借助一副三角尺能畫出15°,75°的角,用一副三角尺,你還能畫出哪些度數(shù)的角? 試一試.”等.

而“無圖分類討論題”在人教版數(shù)學(xué)教材也有滲透,在七年級(jí)上冊(cè)的第130 頁綜合運(yùn)用中就出現(xiàn)了一道“無圖分類討論題”,第10 題:點(diǎn)A,B,C在同一條直線上,AB=3cm,BC=1cm.求AC的長(zhǎng).這是人教版初中數(shù)學(xué)教材中第一次出現(xiàn)此類題,也就是說,教材編寫組已經(jīng)有意識(shí)的把這類題放在初中幾何入門階段讓學(xué)生首次接觸,意在提醒執(zhí)教者要重視此類題的解題思路、方法、技巧、能力的培養(yǎng).

4 教好“無圖分類討論題”

如何教好此類題,以題目點(diǎn)A,B,C在同一條直線上,AB=3cm,BC=1cm.求AC的長(zhǎng).為例,這是教材中第一次出現(xiàn)的此類題,此題就是一頭“領(lǐng)頭羊”,具有引領(lǐng)和打基礎(chǔ)的作用.課堂上“無圖分類討論題”的教法可分5 個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行:審題、作圖、分類討論、書寫解答過程、歸納總結(jié).

4.1 審題

蘇霍姆林斯基說過:“讓學(xué)生變聰明的方法不是補(bǔ)課,不是增加作業(yè)量,而是閱讀,閱讀,再閱讀.”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根基也是閱讀,只有將數(shù)學(xué)文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)符號(hào)語言,將數(shù)學(xué)符號(hào)語言轉(zhuǎn)化成圖形語言,才能順利建構(gòu)數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問題.在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,教師要引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)讀題,深度讀題,提高學(xué)生的審題能力.

審題,如何審? 一要慢讀,不能看漏任何一個(gè)字、字母、符號(hào);二要細(xì)審:審清每個(gè)字、每個(gè)符號(hào).例如:在審第10 題時(shí),先要把整個(gè)題閱讀一遍,接著讀“點(diǎn)A,B,C”就要明確是3個(gè)點(diǎn),但3 個(gè)點(diǎn)位置不確定;讀“同一條直線上”就要明確3個(gè)點(diǎn)的位置是在同一直線上;讀“AB=3cm,BC=1cm”就要明確是2 條長(zhǎng)度不同的線段,AB長(zhǎng),BC短,且線段AB和BC有相同的字母B,而線段的表示方法是以線段兩端點(diǎn)的大寫字母來表示的,所以這兩條線段有公共的端點(diǎn)點(diǎn)B;讀“求AC的長(zhǎng)”要明確是求第三條線段AC的長(zhǎng),它是以點(diǎn)A和點(diǎn)C作為端點(diǎn)的一條線段.

4.2 作圖

作圖在數(shù)學(xué)解題過程中起著重要的作用,也是學(xué)生建模能力的一個(gè)重要體現(xiàn).

分析此題時(shí),可以邊審題邊畫圖,細(xì)分為幾個(gè)小步驟進(jìn)行,降低畫圖難度,更貼近學(xué)生的思維特點(diǎn).例如:當(dāng)審?fù)辍包c(diǎn)A,B,C在同一條直線上”時(shí),就要考慮A,B,C三點(diǎn)的不同位置而畫出相應(yīng)的圖形:

圖2

圖3

先畫A,B兩點(diǎn)得下圖:圖2點(diǎn)A在左、點(diǎn)B在右或圖3點(diǎn)B在左、點(diǎn)A在右,

再考慮點(diǎn)C的不同位置,先考慮點(diǎn)C在線段AB的左側(cè)得圖4 或圖5,

圖4

圖5

其次考慮點(diǎn)C在線段AB上得圖6 或圖7,

圖6

圖7

最后考慮點(diǎn)C在線段AB的右側(cè)得圖8 或圖9,

圖8

圖9

4.3 分類討論

在數(shù)學(xué)解題過程中,遇到不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等,都主要通過分類討論,保證解題完整,在分類討論時(shí)分類的對(duì)象是確定的,標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的,不遺漏、不重復(fù).

如上題當(dāng)8 個(gè)圖都畫出來,就開始進(jìn)行分類討論.通過觀察對(duì)比發(fā)現(xiàn)圖4 與圖9、圖6 與圖7、圖8 與圖5 情況是一樣的,所以圖形減少為只需考慮3 種情況的即可,也就是只考慮圖4、圖6、圖8 或圖5、圖7、圖9 即可.下面選擇考慮圖4、圖6、圖8 繼續(xù)分析,當(dāng)審?fù)辍癆B=3cm,BC=1cm”時(shí)發(fā)現(xiàn)圖4 中線段AB的長(zhǎng)度比線段BC長(zhǎng)度小,不符合題意,圖4 的情況被排除,只有圖6 和圖8 符合題意,所以分兩種情況討論.

接著就要考慮分類的依據(jù),若以點(diǎn)C在線段AB的內(nèi)部或外部分兩種情況,就會(huì)把不符合題意的圖4 也包含在內(nèi),分類不精準(zhǔn);若以點(diǎn)C在線段AB上或點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上,又或者以點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)或右側(cè)來分兩種情況,不但圖6 和圖8 完全符合題意,圖5 和圖7 也同樣符合,所以當(dāng)你畫線段AB時(shí)無論點(diǎn)A在左、點(diǎn)B在右,還是B在左、點(diǎn)A在右,都不受影響,同樣得出兩種情況.

4.4 書寫解答過程

在解題過程中,再完美的分析沒有完整規(guī)范的解答過程也是徒勞.此題規(guī)范的過程應(yīng)該包含兩種情況對(duì)應(yīng)的圖形、兩種情況的分類標(biāo)準(zhǔn)、兩種情況的幾何推理過程.解答如下:

圖(1)

圖(2)

解:分為以下兩種情況:

(1)當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí),如圖(1)所示,∵AB=3cm,BC=1cm,∴AC=AB-BC=3-1=2cm.

(2)當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí),如圖(2)所示,∵AB=3cm,BC=1cm,∴AC=AB+BC=3+1=4cm.

故線段AC的長(zhǎng)為2cm 或4cm.

4.5 歸納總結(jié)

遇到此類題時(shí),教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié).例如:此題可以這樣引導(dǎo)學(xué)生來進(jìn)行總結(jié):

此題特點(diǎn):幾何推理題、無圖、需要自己作圖.

知識(shí)點(diǎn):尺規(guī)作圖、線段和差計(jì)算.

關(guān)鍵點(diǎn):由于點(diǎn)A,B,C的位置不確定,所以要想出所有可能出現(xiàn)的情況.

解題思想:分類討論思想.

解題步驟:審題、作圖、分類討論、書寫解答過程.

及時(shí)的歸納總結(jié)對(duì)提高學(xué)生的解題能力很有幫助,往往有舉一反三的效果.