雙減下的數(shù)學(xué)精簡(jiǎn)單元教學(xué)探究
——以排列組合教學(xué)為例

安徽省蕭縣中學(xué)(235200)路召飛 殷雪劍

排列組合是每年高考的熱點(diǎn)問(wèn)題,因其解法靈活多樣,變化無(wú)窮,所以給教學(xué)和學(xué)習(xí)增加了難度.本文結(jié)合雙減下的精簡(jiǎn)教學(xué)的課堂探究,進(jìn)行單元設(shè)計(jì),提高課堂效率,進(jìn)而提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展,構(gòu)建了自然連貫的教學(xué)過(guò)程.

1 涂色問(wèn)題的探討

(1)直線型:用4 種不同的顏色,給圖1 四個(gè)區(qū)域涂色,每個(gè)區(qū)域涂一種顏色,相鄰區(qū)域不同色,共有多少種涂法?

法一:分步乘法原理4×3×3×3=108“位置法”

法二:元素優(yōu)先

由分類(lèi)加法原理得24+72+12=108.

圖1

圖2

變式探究用4 種不同的顏色對(duì)圖2 中的5 個(gè)區(qū)域涂色(4 種顏色全部用完),每個(gè)區(qū)域涂一種顏色,相鄰的區(qū)域不能同色,共有多少種不同的涂色方法?

（位置優(yōu)先）(1)路線:4→2→1→3→5,4×3×2×(1×1+1×3)=96.

點(diǎn)睛區(qū)分13 同色、不同色.分步乘法原理

點(diǎn)睛分組分配

(2)環(huán)型

給圖3 中四個(gè)區(qū)域分別涂上4 種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域顏色不同,共有多少種涂色方案?

(位置優(yōu)先)法1:分步乘法4×3×2×2=48.

路線:B→C→A→D,(B→A→C→D).

法2:路線A→B→D→C,(若A→B→C→D則同法一).

AD同色4×3×1×2=24;AD不同色4×3×2×1=24,共有48 種涂色方案.

在位置優(yōu)先的原則下注意路線,盡量回避“對(duì)稱(chēng)”的走法.

元素優(yōu)先法

圖3

圖4

法3:用3 色涂完AD同色=24;用4 色涂完=24,共有48 種涂色方案.

變式15 種不同顏色呢? 是180.

變式2如圖4 一環(huán)形花壇分成A、B、C、D四塊,現(xiàn)有4 種不同的花供選種,要求在每塊里種1 種花,且相鄰的2 塊種不同的花,則有多少種不同的種法? 是84.

方法點(diǎn)睛在涂色問(wèn)題上注意兩種不同方法的思路,找到突破口,才能找到最佳的解題方法.

2 排列站隊(duì)問(wèn)題的探究

7 人站成一排,按如下方式站隊(duì),共有多少種不同的方法?

(1)甲乙兩人相鄰;

(2)甲乙兩人不相鄰;

(3)甲乙丙排序一定時(shí);

(4)甲在乙的右邊(不一定相鄰);

(5)7 人站成圓形;

(6)甲不在首位;

(7)甲既不在首位,又不在末位;

(8)甲不在首位,乙不在末位.

方法點(diǎn)睛這是排列中的常規(guī)問(wèn)題,理解題型,注意特殊元素、特殊位置優(yōu)先的原則即可.

3 分組與分配問(wèn)題的探究

現(xiàn)有6 本不同的書(shū),按如下方式分配,各有多少種分法?

①平均分成3 份;

②平均分給甲、乙、丙3 名同學(xué);

③分成一份1 本,一份2 本,一份3 本;

④甲、乙、丙三人中一人1 本,一人2 本,一人3 本;

⑤甲1 本,乙2 本,丙3 本;

⑥甲4 本,乙丙各一本;

⑦一人4 本,其余兩人各1 本;

⑧分給5 人,每人至少1 本;

⑨分給4 人,每人至少1 本.

點(diǎn)評(píng)既要注意均分還是不均分的問(wèn)題,還要看有序還是無(wú)序問(wèn)題,分組分配中常見(jiàn)的是先分組再分配問(wèn)題.

練習(xí)變式1有編號(hào)分別為1、2、3、4 的4 個(gè)不同盒子和4 個(gè)不同的小球,把小球全部放入盒子內(nèi),問(wèn):

(1)共有多少種方法;答案是44.

(2)若每個(gè)盒子內(nèi)放一個(gè)小球;答案是

(3)恰有一個(gè)空盒子;答案是

(5)若每個(gè)盒子內(nèi)放1 個(gè)小球,恰有一球的編號(hào)與盒子編號(hào)相同.答案是8.

變式2上題中的4 個(gè)小球完全相同.

(3)每個(gè)盒子內(nèi)放1 個(gè)球;答案是1.

(4)若有20 個(gè)相同小球,每個(gè)盒子內(nèi)的球數(shù)不少于它的編號(hào)數(shù).答案是=286.

隔板問(wèn)題將n個(gè)相同的元素分配給m(m ＜n)個(gè)不同的對(duì)象,每個(gè)對(duì)象至少含一個(gè)元素問(wèn)題.即:在n個(gè)元素的n-1 個(gè)間隔中放m-1 塊隔板,將其分為m份即可,共有

反饋練習(xí)(1)將5 個(gè)相同的小球放入3 個(gè)不同的盒子,每個(gè)盒子至少有一個(gè)小球,共有多少中方法? 答案是=6.

(2)某地區(qū)有9 所學(xué)校,現(xiàn)有先進(jìn)教師名額11 個(gè),要求每所學(xué)校至少一個(gè)名額,共有多少種不同分配方法? 答案是=45.

(3)若x,y,z∈N+,則有x+y+z=10 的解有多少? 答案是=36.

(4)變3x,y,z∈N,則有x+y+z=10 的解有多少?答案是=66(先借).

4 在立體幾何中的應(yīng)用

(1)某城市縱向有6 條道路,橫向有5 條道路,構(gòu)成如圖所示的矩形道路圖,則從A到B的最短路線共有多少條?(如圖5)

方法點(diǎn)睛從A到B共分9 步,需要5 步橫向,4 步縱向的,所以共有=126 條.

圖5

圖6

圖7

(2)在圖6 的四棱錐中,頂點(diǎn)為P,從其他的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)中取3 個(gè),使它們和點(diǎn)P在同一平面內(nèi),則有多少種不同的取法?

方法點(diǎn)睛第一類(lèi)4 個(gè)側(cè)面,第二類(lèi)平面PBD與平面PAC2,第三類(lèi)PA與BC、CD的中點(diǎn)構(gòu)成兩個(gè)平面,4,所以共有4++4=56.

(3)如圖7,陰影部分由方格紙上3 個(gè)小方格組成,稱(chēng)為這樣的圖案為L(zhǎng) 形,現(xiàn)有3×5 個(gè)小小方格組成的方格紙上可以畫(huà)出不同位置的L 形圖案的個(gè)數(shù)有多少?

分析每相鄰4 個(gè)方格可以有4 個(gè)L,圖中共有8 個(gè)相鄰的4 方格,所以共有4×8=32.

方法點(diǎn)睛在幾何圖形中構(gòu)造出不同的分類(lèi)模型是解題的關(guān)鍵.

5 教學(xué)思考

單元教學(xué)是基于培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)下的新課標(biāo)要求,它將新的教學(xué)理念落實(shí)在每節(jié)課堂上,彰顯數(shù)學(xué)的整體性與邏輯性,找到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的孕育點(diǎn),在不斷的摸索與實(shí)踐中,提高我們的課堂教學(xué)效率.