聲子晶體梁邊界態(tài)的強(qiáng)化學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)方案與本征模式分析

金亞斌，何良書

（同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海 200092）

凝聚態(tài)物理中拓?fù)浣^緣體的概念為聲波/彈性波超構(gòu)材料的研究注入了全新的活力，其典型特征是材料內(nèi)部表現(xiàn)為絕緣狀態(tài)，而表面具有受拓?fù)浔Ｗo(hù)的邊界態(tài)［1-2］。拓?fù)浣^緣體可以為系統(tǒng)提供方向選擇性傳輸［3］、非對稱傳輸［4］、拓?fù)浞ㄖZ共振［5］和高魯棒［6］等新穎波動(dòng)調(diào)控。拓?fù)浔Ｗo(hù)邊界態(tài)的實(shí)現(xiàn)通常依賴于系統(tǒng)帶隙邊緣的能帶翻轉(zhuǎn)引起上下模式交換進(jìn)而產(chǎn)生拓?fù)湎辔?。從普通相位到拓?fù)湎辔坏倪^程無法通過連續(xù)變化完成轉(zhuǎn)換，其間必然經(jīng)歷了帶隙閉合形成簡并點(diǎn)的狀態(tài)［7-8］。對于一維系統(tǒng)，拓?fù)湎辔挥肸ak相位來表示，研究表明系統(tǒng)的反射相位與Zak相位之間有明確的關(guān)系，因而為了便于計(jì)算，常采用反射相位表征拓?fù)湫再|(zhì)［9］。當(dāng)一維聲子晶體中間界面兩側(cè)的半結(jié)構(gòu)具有不同拓?fù)湫再|(zhì)時(shí)，在其界面處存在由能帶翻轉(zhuǎn)形成的邊界態(tài)。然而，邊界態(tài)頻率的確定與半結(jié)構(gòu)的反射系數(shù)、反射相位以及整體結(jié)構(gòu)的本征模式之間的關(guān)系尚未明確，有待進(jìn)一步探討。

作為一維彈性波系統(tǒng)的代表之一，聲子晶體梁結(jié)構(gòu)是工程中重要的基本結(jié)構(gòu)，其隔振［10］和減振［11］等功能被深入地研究，若結(jié)合拓?fù)鋺B(tài)設(shè)計(jì)能夠更好地實(shí)現(xiàn)彈性波的精準(zhǔn)和奇異調(diào)控［12］。一般而言，邊界態(tài)的魯棒性與帶隙的寬度相關(guān)，寬帶隙結(jié)構(gòu)形成的邊界態(tài)在局域化程度和抗干擾能力等方面優(yōu)于窄帶隙結(jié)構(gòu)［13］。因此，根據(jù)帶隙范圍設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)以實(shí)現(xiàn)目標(biāo)范圍內(nèi)的高質(zhì)量彈性波傳輸對聲子晶體梁的實(shí)際應(yīng)用有重要意義。近年來，人工智能與各學(xué)科的交叉融合在不斷加深，其子領(lǐng)域機(jī)器學(xué)習(xí)已在指導(dǎo)超構(gòu)材料設(shè)計(jì)方面占據(jù)了重要地位［14］。在機(jī)器學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)方案中可分為兩種類型，一類較常見的方案是以數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方式采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等機(jī)器學(xué)習(xí)方法［15-16］，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)響應(yīng)與結(jié)構(gòu)之間的非線性映射。另一類則是最近興起的基于環(huán)境交互的強(qiáng)化學(xué)習(xí)方案［17-19］，通過刺激結(jié)構(gòu)參數(shù)在參數(shù)空間中探索以獲得具有預(yù)定目標(biāo)響應(yīng)的結(jié)構(gòu)。后者不依賴于前期的數(shù)據(jù)獲取，通過合理的分配智能體，設(shè)計(jì)探索策略來逐步尋求最優(yōu)解。從應(yīng)用角度而言，通常需要針對特定目標(biāo)帶隙進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。在此類設(shè)計(jì)研究中，Luo等［17］采用強(qiáng)化學(xué)習(xí)探索結(jié)構(gòu)厚度設(shè)計(jì)了層狀聲子晶體；Wu等［18］則通過探索質(zhì)量分布設(shè)計(jì)了一維彈性棒。上述研究充分驗(yàn)證了強(qiáng)化學(xué)習(xí)在超結(jié)構(gòu)逆設(shè)計(jì)中的有效性，但尚未進(jìn)一步探索所設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)除帶隙特征外的其他性質(zhì)，如拓?fù)湎辔弧Ｓ捎趲兜耐負(fù)湎辔惶卣髋c邊界態(tài)品質(zhì)相關(guān)聯(lián)且較為敏感，因此討論強(qiáng)化學(xué)習(xí)所設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)是否能構(gòu)造高品質(zhì)的邊界態(tài)具有一定探索意義。

本文研究工程中應(yīng)用廣泛的聲子晶體梁結(jié)構(gòu)，采用傳遞矩陣法推導(dǎo)系統(tǒng)的透反射譜和色散關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，借助強(qiáng)化學(xué)習(xí)方案以實(shí)現(xiàn)具有目標(biāo)帶隙范圍的梁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，并通過拓?fù)湎嘧儣l件獲得具有不同拓?fù)湫再|(zhì)的兩個(gè)半結(jié)構(gòu)。進(jìn)一步，通過本征模式計(jì)算條件獲得整體結(jié)構(gòu)的邊界態(tài)頻率，并討論半結(jié)構(gòu)的反射系數(shù)和反射相位與邊界態(tài)頻率之間的關(guān)系，從而驗(yàn)證本征模式條件計(jì)算的正確性。最后，討論了所設(shè)計(jì)邊界態(tài)的魯棒性。

1 聲子晶體梁模型分析

本文通過在鋁制直梁上周期性地排列厚質(zhì)量塊，構(gòu)造了如圖1a所示的周期性階梯截面聲子晶體梁模型，其單胞包含兩個(gè)相同的厚質(zhì)量塊，薄塊和厚塊交替排列，晶格常數(shù)a=2a1+2a2+a3，厚度h1=10 mm，h2=20 mm，寬度b=20 mm，其材料參數(shù)為：密度ρ=2 700 kg·m-3，楊氏模量E=70 GPa，泊松比ν=0.33。

考慮縱波在彈性介質(zhì)中傳播的控制方程，有：

圖1 聲子晶體梁結(jié)構(gòu)以及有限系統(tǒng)透反射示意圖Fig.1 Schematic diagram of phononic beam and finite system for transmission and reflection

式中：q=ω/cL為波數(shù)；A+和A-分別表示右行波和左行波波幅；ω為圓頻率；i為虛數(shù)單位。在梁橫截面面積突變處根據(jù)位移和力的連續(xù)條件，有：

式中：xj表示第j個(gè)界面的橫坐標(biāo)，當(dāng)j是奇數(shù)（偶數(shù)）時(shí)，α=1（α=2），β=2（β=1）；S1和S2分別表示薄塊和厚塊的橫截面積。對整體結(jié)構(gòu)應(yīng)用傳遞矩陣法，得：

另一方面，考慮計(jì)算色散關(guān)系時(shí)，在單胞中應(yīng)用傳遞矩陣法，并在單胞兩側(cè)應(yīng)用布洛赫定理形成周期性的無限系統(tǒng)條件。最終，求解整體傳遞矩陣與相因子滿足的系數(shù)行列式可得色散關(guān)系。具體推導(dǎo)過程可參考文獻(xiàn)［19］，其色散關(guān)系為

式中：k為Bloch波數(shù)。

2 強(qiáng)化學(xué)習(xí)逆設(shè)計(jì)具有預(yù)期帶隙結(jié)構(gòu)

2.1 強(qiáng)化學(xué)習(xí)模型建立

強(qiáng)化學(xué)習(xí)模型通常包括三個(gè)部分：智能體、環(huán)境和策略［20］。智能體是強(qiáng)化學(xué)習(xí)中的動(dòng)作實(shí)體，處于某一環(huán)境中。智能體根據(jù)當(dāng)前狀態(tài)執(zhí)行動(dòng)作，從環(huán)境中獲得與目標(biāo)差異的反饋以評價(jià)該動(dòng)作執(zhí)行所獲得的收益，并使用反饋更新策略，再進(jìn)入下一狀態(tài)。根據(jù)策略中儲(chǔ)存的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，可以迫使智能體在后續(xù)探索中遇到同種狀態(tài)時(shí)選擇合適的動(dòng)作。Q學(xué)習(xí)［21］是強(qiáng)化學(xué)習(xí)的重要代表性算法之一，其狀態(tài)價(jià)值函數(shù)稱為Q（s，a）函數(shù)，儲(chǔ)存在由狀態(tài)s和動(dòng)作a構(gòu)成的二維Q表中。本文采用Q學(xué)習(xí)的設(shè)計(jì)方案逆設(shè)計(jì)具有預(yù)期帶隙的結(jié)構(gòu)，流程圖如圖2所示。

在圖2中，將整個(gè)設(shè)計(jì)流程分為強(qiáng)化學(xué)習(xí)部分和環(huán)境部分。在強(qiáng)化學(xué)習(xí)部分，將單胞的三個(gè)長度參數(shù)視為智能體，其初始值為a1=a2=a3=30 mm，其余結(jié)構(gòu)和幾何參數(shù)不變。為保證探索過程處在一個(gè)合理范圍內(nèi)，此處給定參數(shù)限制范圍為

a1∈[1，60]mm，a2∈[1，60]mm，a3∈[1，160]mm，設(shè)定每一步的增量d=1 mm。在每個(gè)狀態(tài)下包含6個(gè)可選動(dòng)作，即dA1：a'1=a1+d；dA2：a'1=a1-

d；dB1：a'2=a2+d；dB2：a'2=a2-d；dC1：a'3=a3+d；dC2：a'3=a3-d。因此，整個(gè)參數(shù)空間包含60×60×160=576 000種狀態(tài)，若執(zhí)行動(dòng)作后，跳出參數(shù)范圍，即不存在此種狀態(tài)，則該動(dòng)作無效。在開始階段，設(shè)定目標(biāo)帶隙頻率［m，n］（本文討論第三帶隙），并初始化Q表，表中所有值均為零。進(jìn)入外層循環(huán)，對于每一個(gè)片段（episode），當(dāng)某一狀態(tài)下的智能體對應(yīng)的目標(biāo)帶隙誤差評估值Rerr1小于或等于給定的閾值時(shí)，結(jié)束當(dāng)前片段，并判斷是否達(dá)到了設(shè)定的最大訓(xùn)練輪次。若達(dá)到最大訓(xùn)練輪次，則訓(xùn)練結(jié)束，否則進(jìn)入下一個(gè)片段。值得注意的是，若Rerr1=0，則表明所找到的結(jié)構(gòu)對應(yīng)的帶隙與目標(biāo)完全吻合。但就實(shí)際而言，上述長度參數(shù)的變化是按一定增量變化的，可能導(dǎo)致部分目標(biāo)無法達(dá)成，且本征方程的求解存在一定舍入誤差等因素，因此完全吻合條件過于理想化。需通過設(shè)定合理的閾值，使得智能體的探索在可接受范圍內(nèi)滿足目標(biāo)，訓(xùn)練方能順利進(jìn)行。對于某一片段的每一步（step），即內(nèi)層循環(huán)，采用ε貪心策略選擇動(dòng)作實(shí)現(xiàn)探索和優(yōu)化之間的平衡（ε介于0和1之間），以ε概率隨機(jī)選擇動(dòng)作，代表了算法的探索性質(zhì)，（1-ε）概率選擇當(dāng)前狀態(tài)下Q（s，a）最大函數(shù)值對應(yīng)的動(dòng)作，代表了算法的優(yōu)化性質(zhì)。執(zhí)行完動(dòng)作之后，進(jìn)入狀態(tài)s'，以狀態(tài)s'下所有動(dòng)作的價(jià)值函數(shù)極大值來構(gòu)造更新項(xiàng)（式（6））。為了增加訓(xùn)練的穩(wěn)定性，本文采用梯度下降的貪心策略，初始ε設(shè)定為0.1，隨訓(xùn)練進(jìn)行，每5個(gè)片段ε變?yōu)樵瓉淼?.9倍。動(dòng)作執(zhí)行后，智能體將由a1，a2，a3變?yōu)閍'1，a'2，a'3，二者對應(yīng)的目標(biāo)帶隙誤差評估值進(jìn)行比較。若有所降低，則表明此前所選動(dòng)作有助于接近目標(biāo)，根據(jù)比較結(jié)果設(shè)定獎(jiǎng)勵(lì)值以更新Q表，此后進(jìn)入下一狀態(tài)，直至Rerr1≤閾值，內(nèi)層循環(huán)跳出。圖2中的兩次更新Q表，根據(jù)Q學(xué)習(xí)的off-policy規(guī)則執(zhí)行，即：

圖2 設(shè)計(jì)具有預(yù)期帶隙聲子晶體梁的強(qiáng)化學(xué)習(xí)框架Fig.2 Reinforcement learning framework for design of phononic beam with anticipating bandgap

式中：α為學(xué)習(xí)率；γ為折減系數(shù)；r為獎(jiǎng)勵(lì)值；s和s'分別為執(zhí)行動(dòng)作前后的狀態(tài)。

訓(xùn)練流程中的目標(biāo)帶隙誤差評估值由環(huán)境部分提供，環(huán)境部分接收智能體參數(shù)，根據(jù)式（5）計(jì)算能帶以獲得當(dāng)前的帶隙頻率［x，y］，則誤差評估值可以用公式的形式給出。

2.2 強(qiáng)化學(xué)習(xí)模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證2.1節(jié)中強(qiáng)化學(xué)習(xí)模型框架的效果，本節(jié)通過隨機(jī)給定4個(gè)探索目標(biāo)進(jìn)行模型訓(xùn)練和測試。分別是第三帶隙目標(biāo)頻率為［35 000，42 000］Hz，［40 000，48 000］Hz，［46 000，52 000］Hz和［50 000，60 000］Hz，設(shè)定閾值為100，最大訓(xùn)練片段數(shù)為35，學(xué)習(xí)率為0.01，折減系數(shù)為0.9。從圖3中可以看出，對于上述4個(gè)目標(biāo)的訓(xùn)練，每個(gè)訓(xùn)練片段達(dá)到目標(biāo)所使用的步數(shù)都隨著訓(xùn)練的進(jìn)行逐漸趨于穩(wěn)定的較小值。根據(jù)圖2中的流程圖，每一個(gè)片段最后都能探索獲得滿足閾值的結(jié)構(gòu)，否則無法進(jìn)入下一個(gè)片段，因此一個(gè)訓(xùn)練片段也是足夠的。設(shè)置多個(gè)片段目的是探究模型逐漸找到一個(gè)穩(wěn)定演化路徑的過程，且所獲得演化路徑是較為節(jié)省探索步數(shù)的路徑。

圖3 每個(gè)訓(xùn)練片段（episode）達(dá)到目標(biāo)所使用的步數(shù)（step）Fig.3 Number of steps used in each episode to achieve the goal

圖4依次顯示了4個(gè)探索目標(biāo)最后一個(gè)訓(xùn)練片段的誤差評估值變化圖。從圖4中可以看出，所有訓(xùn)練的誤差在最后一個(gè)片段都呈波動(dòng)下降，最終將低于閾值，其最終誤差如表1所示。由于流程中為減小陷入局部極小的可能性，動(dòng)作選擇具有一定的隨機(jī)性，且由于目標(biāo)不唯一，即所有低于閾值的結(jié)果都是滿足的目標(biāo)。因此訓(xùn)練過程的誤差不可避免存在一定波動(dòng)性，但只需最終收斂至閾值以下，則表明滿足目標(biāo)的結(jié)構(gòu)已探索成功。表1補(bǔ)充展現(xiàn)了訓(xùn)練的結(jié)果，所獲得的結(jié)構(gòu)參數(shù)對應(yīng)的帶隙均與原目標(biāo)帶隙十分接近。

表1 強(qiáng)化學(xué)習(xí)模型的訓(xùn)練結(jié)果Tab.1 Training results of reinforcement learning model

圖4 最后一個(gè)訓(xùn)練片段（episode）中每一步（step）的誤差評估值Fig.4 Error evaluation value of each step in the last episode

3 目標(biāo)邊界態(tài)設(shè)計(jì)與分析

在第2節(jié)中，對所提出的強(qiáng)化學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)方案的有效性和穩(wěn)健性進(jìn)行了多個(gè)目標(biāo)以及多個(gè)訓(xùn)練片段的重復(fù)測試。在此基礎(chǔ)上，本節(jié)將進(jìn)行邊界態(tài)的設(shè)計(jì)與分析。由圖2可知，閾值的大小控制著設(shè)計(jì)誤差與探索時(shí)間的平衡。閾值越小，表示迭代退出條件越嚴(yán)格，通常所需探索時(shí)間將越長，但可能獲得設(shè)計(jì)誤差更小的結(jié)構(gòu)。在本節(jié)中，由于僅需要獲得目標(biāo)結(jié)構(gòu)，因此只進(jìn)行一個(gè)訓(xùn)練片段即可退出。為使逆設(shè)計(jì)獲得的結(jié)構(gòu)更加精確，在本節(jié)中加強(qiáng)迭代退出條件，將閾值設(shè)置為10。給定預(yù)期目標(biāo)帶隙為［32 000，42 000］Hz，則閾值占所取帶隙寬度的百分比僅為0.1%，因此在該閾值限制下能得到更為精確的設(shè)計(jì)。通過采用強(qiáng)化學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)方案獲得了滿足目標(biāo)的結(jié)構(gòu)，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)為a1=53 mm，a2=29 mm和a3=42 mm，則晶格常數(shù)a=206 mm。該組參數(shù)對應(yīng)的第三帶隙為［31 999，42 001］Hz，與預(yù)期目標(biāo)幾乎一致，誤差評估值Rerr=1.4，表明了設(shè)計(jì)的精確性。

保證晶格常數(shù)和厚塊的長度a2不變，改變a3的長度，即將兩個(gè)厚塊之間的距離由小到大變化，研究第三帶隙邊緣頻率，如圖5所示。隨著a3增大，帶隙經(jīng)歷了開-閉-開的過程，在a3=(a-2a2)/2=74 mm處（見中間豎直虛線）出現(xiàn)了拓?fù)溥^渡點(diǎn)，其左右兩側(cè)能帶出現(xiàn)了上下翻轉(zhuǎn)，雖然左右兩側(cè)能帶可以完全對稱，但模式的轉(zhuǎn)換表明體系經(jīng)歷了拓?fù)湎嘧?，其左右兩?cè)拓?fù)湫再|(zhì)不同。利用其對稱性，此前強(qiáng)化學(xué)習(xí)所獲得結(jié)構(gòu)A（左側(cè)豎直虛線）存在與之帶隙完全一致但拓?fù)湫再|(zhì)不同的結(jié)構(gòu)B（右側(cè)豎直虛線），該結(jié)構(gòu)對應(yīng)的參數(shù)為a1=21 mm，a2=29 mm和a3=106 mm。將結(jié)構(gòu)A與結(jié)構(gòu)B拼接成整體的有限混合結(jié)構(gòu)AB（如圖6中的插圖所示），結(jié)構(gòu)A和B分別包含5個(gè)單胞，則當(dāng)采用邊界態(tài)頻率激發(fā)時(shí)，能量將局域于結(jié)構(gòu)的中間界面處。為了確定邊界態(tài)頻率，通常做法是將整體結(jié)構(gòu)視為超元胞并計(jì)算其能帶，帶隙中的平帶對應(yīng)頻率即為邊界態(tài)頻率。此方法中平帶往往對應(yīng)著一個(gè)頻率范圍，因此無法精確地獲得邊界態(tài)頻率。

圖5 第三帶隙邊緣頻率與a3的關(guān)系Fig.5 3rd band gap edge frequency versus a3

圖6 有限混合結(jié)構(gòu)AB的傳遞矩陣中T11元素（abs（T11））與頻率的關(guān)系Fig.6 T11 element of transfer matrix(abs(T11))of finite hybrid structure AB versus frequency

本文討論從分析本征模式的角度一次性精準(zhǔn)確定所有邊界態(tài)頻率。本征模式的一個(gè)顯著特征是此時(shí)系統(tǒng)沒有任何外部輸入，該模式的本質(zhì)是系統(tǒng)的固有狀態(tài)，而邊界態(tài)屬于一種系統(tǒng)的固有狀態(tài)。因此，通過對式（4）應(yīng)用A+1=A-4N+1=0的邊界條件，形成一個(gè)沒有外部輸入?yún)s存在輸出的系統(tǒng)，得：

式（7）表明，僅通過關(guān)注系統(tǒng)傳遞矩陣的T11元素即可找到邊界態(tài)。采用第1節(jié)的公式推導(dǎo)，可以建立系統(tǒng)的傳遞矩陣，并將T11的模與頻率的關(guān)系繪制在圖6中，其中灰色區(qū)域?yàn)閹??？梢钥闯?，在?和第3帶隙中有明顯的T11趨于零的頻率出現(xiàn)，分別是11 660和36 680 Hz，均為邊界態(tài)頻率。第2和第4帶隙中則沒有邊界態(tài)出現(xiàn)，因?yàn)槠渲胁粫?huì)出現(xiàn)拓?fù)湎嘧?，其左右兩?cè)拓?fù)湫再|(zhì)是相同的，這與文獻(xiàn)［19］中的討論分析是一致的。值得注意的是，從本征模式的角度分析可以同時(shí)找出多個(gè)邊界態(tài)頻率，若將頻率繼續(xù)提高，還會(huì)出現(xiàn)更高頻的邊界態(tài)頻率。此外，第3帶隙的寬度遠(yuǎn)大于第1帶隙，其向下的尖峰更加尖銳，表明該邊界態(tài)局域化程度和魯棒性都將更高。

為驗(yàn)證本征模式條件所獲邊界態(tài)頻率的準(zhǔn)確性，根據(jù)第1節(jié)中的推導(dǎo)，計(jì)算有限混合結(jié)構(gòu)AB的反射系數(shù)與透射系數(shù)，如圖7a和7b所示，帶隙中的峰和谷對應(yīng)的頻率與圖6中的結(jié)果是一致的。圖7c和7d分別展現(xiàn)了結(jié)構(gòu)AB在11 660和36 680 Hz時(shí)的位移圖，能量局域在整體結(jié)構(gòu)的中部界面處。由于存在A+1=1的能量輸入，結(jié)構(gòu)的左側(cè)邊界存在一定范圍的入射引起的波動(dòng)。通過對比可以看出，圖7c的體結(jié)構(gòu)在遠(yuǎn)離中間界面時(shí)也明顯存在較大的位移，表明第一帶隙內(nèi)的邊界態(tài)局域化程度低于第三帶隙，驗(yàn)證了根據(jù)圖6的推測。

圖7 結(jié)構(gòu)AB的反射系數(shù)，透射系數(shù)和位移Fig.7 Reflection coefficient,transmission coefficient and displacement of structure AB

更進(jìn)一步，分別研究半結(jié)構(gòu)A和半結(jié)構(gòu)B。圖8a和圖8b分別為半結(jié)構(gòu)A和B的反射系數(shù)和反射相位。將兩種結(jié)構(gòu)的反射相位相加，可得到圖8c。在邊界態(tài)頻率處，由于波的相消干涉，在界面處形成局域態(tài)，其反射相位之和為零，即prNA+prNB=0。因此，可假設(shè)此時(shí)反射系數(shù)分別為rNA=a+bi，rNB=a-bi，則rNA·rNB=a2+b2。由于帶隙內(nèi)反射系數(shù)的模接近于1，從而可得另一個(gè)確定邊界態(tài)頻率的條件rNA·rNB=1。在圖8d中，36 680 Hz處的反射系數(shù)乘積比11 660 Hz處更接近于1，邊界態(tài)條件得到了更嚴(yán)格的滿足。因此，正如圖7c和7d所展現(xiàn)的，36 680 Hz處的能量局域效果顯著好于11 660 Hz處。以上兩個(gè)條件表明不需要研究整體結(jié)構(gòu)，僅研究兩個(gè)半結(jié)構(gòu)單獨(dú)的反射情況也可以確定邊界態(tài)頻率。同樣地，圖8c和8d中三角形和圓形標(biāo)記點(diǎn)的頻率與本征模式所獲邊界態(tài)頻率一致，從半結(jié)構(gòu)的角度再次驗(yàn)證了本征模式所獲邊界態(tài)頻率的準(zhǔn)確性。

圖8 半結(jié)構(gòu)A和B的反射系數(shù)和反射相位Fig.8 Reflection coefficient and reflection phase of semi structures A and B

最后，以第3帶隙形成的邊界態(tài)為例研究其魯棒性。考慮兩種擾動(dòng)：①對每個(gè)單胞的厚塊沿x方向的位置進(jìn)行隨機(jī)位移，同一個(gè)單胞內(nèi)兩個(gè)厚塊對稱相互靠近或遠(yuǎn)離；②隨機(jī)將若干（M個(gè)）厚塊變成薄塊形成缺陷。使用rNA·rNB=1的條件考量魯棒性的強(qiáng)弱。對于擾動(dòng)①，定義隨機(jī)變量δ來量化位置的無序強(qiáng)度，其含義是各厚塊的隨機(jī)移動(dòng)范圍為［-δ，δ］。從圖9a中可以看出，雖然位置的無序會(huì)引起一定的波動(dòng)，但邊界態(tài)仍然可以穩(wěn)定地保持。在圖9b中，隨機(jī)缺陷同樣無法有效地破壞邊界態(tài)。以上兩種檢驗(yàn)結(jié)果表明，所構(gòu)造的邊界態(tài)具有較高的魯棒性。對于縱波在對稱梁中的傳播，有兩個(gè)對稱平面xoy和xoz［4］。擾動(dòng)①和擾動(dòng)②均未破壞兩個(gè)對稱平面的對稱性，因此縱波在該結(jié)構(gòu)中的傳播得到了有效的對稱性保護(hù)。

圖9 以rNA·rNB=1條件檢驗(yàn)邊界態(tài)的魯棒性Fig.9 Robustness of the edge state judged by condition rNA·rNB=1

4 結(jié)語

本文設(shè)計(jì)和分析了聲子晶體梁結(jié)構(gòu)的邊界態(tài)。首先，采用傳遞矩陣法推導(dǎo)獲得了周期性階梯截面聲子晶體梁的透反射和色散關(guān)系。借助理論結(jié)果建立并驗(yàn)證了一種強(qiáng)化學(xué)習(xí)模型框架，以實(shí)現(xiàn)預(yù)期帶隙設(shè)計(jì)梁結(jié)構(gòu)的功能。進(jìn)一步，采用該模型和拓?fù)淅碚撛O(shè)計(jì)了一個(gè)具有預(yù)期邊界態(tài)的有限混合梁結(jié)構(gòu)，并從本征模式的角度計(jì)算其邊界態(tài)頻率。在此基礎(chǔ)上，分別從整體結(jié)構(gòu)的透反射和兩個(gè)半結(jié)構(gòu)單獨(dú)的透反射兩種途徑驗(yàn)證了本征模式計(jì)算邊界態(tài)頻率的準(zhǔn)確性。最后，通過對厚塊的位置擾動(dòng)和厚塊的缺陷兩方面檢驗(yàn)了所設(shè)計(jì)邊界態(tài)的魯棒性。以上研究工作力求將聲子晶體梁從目標(biāo)波動(dòng)功能出發(fā)的設(shè)計(jì)過程簡單化和程序化，并提出從本征模式的角度來分析邊界態(tài)，全面地理解邊界態(tài)與結(jié)構(gòu)本身的關(guān)系。鑒于聲子晶體梁在工程中具有優(yōu)異的波動(dòng)調(diào)控功能，該研究為聲子晶體梁的設(shè)計(jì)與應(yīng)用提供了一定的幫助。

作者貢獻(xiàn)聲明：

何良書：理論推導(dǎo)，數(shù)值計(jì)算，論文撰寫。

金亞斌：研究方法，學(xué)術(shù)指導(dǎo)，論文修改。