圓域上二重積分?jǐn)?shù)值計(jì)算的一種構(gòu)造方法

婁汝馨 ，崔 嵬

（1.保定學(xué)院 數(shù)據(jù)科學(xué)與軟件工程學(xué)院，河北 保定 071000；2.天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

二重?cái)?shù)值積分在科學(xué)計(jì)算中具有非常重要的作用，關(guān)于矩形域上的數(shù)值積分方法已有一些研究成果，張凱院給出了單位正方形區(qū)域上的一個(gè)數(shù)值求積公式[1]，邢會(huì)超等給出了矩形域上的梯形求積公式、拋物線求積公式、復(fù)化梯形求積公式和復(fù)化拋物線求積公式[2]，陳亞婷等把一個(gè)區(qū)間［a，b］上具有7次代數(shù)精確度的求積公式應(yīng)用到矩形域，并給出了截?cái)嗾`差估計(jì)[3].而對(duì)于不規(guī)則區(qū)域的二重?cái)?shù)值積分的研究相對(duì)較少，何洪英等給出了坐標(biāo)平面上的兩組通用計(jì)算公式，并通過數(shù)值算例給出了八類積分區(qū)域的分割方法[4]，但沒有給出具體節(jié)點(diǎn)以及節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值的權(quán)重系數(shù)，朱振廣則用Simpson方法和三點(diǎn)Gauss公式構(gòu)造出復(fù)雜區(qū)域上的一種二重積分計(jì)算方法[5].

本文將針對(duì)圓域上的二重積分，給出區(qū)域的分割方法，確定節(jié)點(diǎn)，并建立數(shù)值積分公式.

1 預(yù)備知識(shí)

2 圓域上的二重積分?jǐn)?shù)值計(jì)算

圓形區(qū)域上的數(shù)值積分，沒有現(xiàn)成的公式可以套用，下面嘗試將圓域分割成矩形域進(jìn)行近似計(jì)算.對(duì)于圓的切分，最直觀的想法是做過圓心的若干直線將其等分.下面以圓心位于原點(diǎn)、半徑為r的圓域?yàn)槔M(jìn)行說明.

2.1 圓形區(qū)域的分割

首先利用坐標(biāo)軸將其四等分.過圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，做平行于坐標(biāo)軸的直線，將圓域“罩起來”，此記為第一次分割（見圖1），此時(shí)整個(gè)區(qū)域是由2個(gè)矩形組成，規(guī)定x軸上方的為D1，x軸下方的為D2，此時(shí)分割圓弧所對(duì)的圓心角為α1=2-1π，可以把圓域上的積分近似用矩形域來代替，但此時(shí)矩形域會(huì)多出很大一部分，誤差明顯很大.

圖1 第一次分割

為了減小誤差，繼續(xù)分割，對(duì)圓周八等分.此時(shí)整個(gè)區(qū)域由4個(gè)矩形組成，圓弧所對(duì)的圓心角為α2=2-2π，規(guī)定由上到下的小矩形區(qū)域分別是D1、D2、D3、D4，此次分割記為第二次分割（見圖2），每個(gè)區(qū)域的范圍是：

圖2 第二次分割

區(qū)域誤差有所減小，繼續(xù)進(jìn)行第三次分割（見圖3），此時(shí)整個(gè)區(qū)域由8個(gè)矩形組成，圓心角為α3=2-3π，每個(gè)區(qū)域的范圍是：

圖3 第三次分割

隨著分割的次數(shù)增加，誤差逐漸減小，分割一直持續(xù)下去，到第n次分割，此時(shí)把圓形區(qū)域轉(zhuǎn)換成了2n個(gè)矩形區(qū)域，圓心角為αn=2-nπ，每一個(gè)區(qū)域的范圍如下：

2.2 圓域上的梯形求積公式

由二重積分的可加性，圓域D={（x，y）|x2+y2≤r2}上的積分可近似等于每個(gè)小矩形域上的積分之和，即

當(dāng)把圓域n等分時(shí)，記Di={（x，y）│xi≤x≤xi+1，yi≤y≤yi+1}，可知：xi=-r sin iαn，xi+1=r sin iαn，yi=r cos iαn，yi+1=r cos（i-1）αn.在每個(gè)小區(qū)間上使用二重積分的梯形求積公式，得

其中 1≤i≤2n-1，i∈Z，且 hxi=2 sin iαn，hyi=cos（i-1）αn-cos iαn.

同理可得，

其中 2n-1+1≤j≤2n，j∈Z，且 hxj=2 sin（2n+1-j）αn，hyj=cos（2n-j）αn-cos（2n+1-j）αn.把上面兩部分區(qū)域的積分累加，得圓域上的梯形求積公式：

這時(shí)，hxi、hyi、hxj、hyj是不依賴于函數(shù) f（x，y）和區(qū)域半徑 r的常數(shù)，可以事先計(jì)算出來.

2.3 圓域上的復(fù)化梯形求積公式

觀察圓域上的梯形求積公式（*）不難發(fā)現(xiàn)，求積公式的本質(zhì)為節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值的加權(quán)求和，而梯形求積公式的節(jié)點(diǎn)大都分布在圓域的邊界線附近，如果被積函數(shù)是關(guān)于x和y的單調(diào)函數(shù)，勢(shì)必會(huì)引起較大的誤差，為了緩解由此帶來的影響，可采取加密節(jié)點(diǎn)的策略，即在每個(gè)小矩形域上使用復(fù)化梯形或復(fù)化拋物線求積公式進(jìn)行計(jì)算.

由于在圓域分割為矩形域的過程中，y軸方向已經(jīng)進(jìn)行了多次分割，可以只考慮在x軸方向上加密節(jié)點(diǎn)即可.

當(dāng)把圓域分割n次時(shí)，圓域被近似分成2n個(gè)矩形區(qū)域（分割圖可參考圖3），并且D1與D2n，D2與D2n-1，…，D2n-1與D2n-1+1均關(guān)于x軸對(duì)稱，對(duì)x軸分割后分點(diǎn)各自對(duì)應(yīng)相等.下面不妨以x軸上方的區(qū)域Di為例來說明復(fù)化求積的思想.Di=（{x，y）│-r sin iαn≤x≤r sin iαn，r cos iαn≤y≤r cos（i-1）αn}，由于-r sin iαn≤x≤r sin iαn，把區(qū)間［-r sin iαn，r sin iαn］m 等分，分點(diǎn)為.

其他區(qū)域做類似變換即可.

3 數(shù)值算例

計(jì)算二重積分?x2+y2≤1e-（x2+y2）d x d y.

解：1）計(jì)算積分精確值.做極坐標(biāo)變換，得

2）利用復(fù)化梯形求積公式（**），取 n=10，m=1，2，4，6，8，10（m=1 即為梯形求積公式）分別計(jì)算出近似值和誤差的絕對(duì)值見表1.

表1 復(fù)化梯形求積公式計(jì)算結(jié)果

3）結(jié)果分析：由表1可以看到，當(dāng)給定n值，m由小逐漸增大的過程中，計(jì)算值的誤差逐漸減小，并最終趨向于零，誤差隨m變化的趨勢(shì)見圖4.

圖4 誤差走勢(shì)

從計(jì)算結(jié)果可以看出，用上述復(fù)化梯形求積公式求解圓域上的二重積分具有理論意義和應(yīng)用價(jià)值.

本文給出了用復(fù)化梯形求積公式求圓域上的二重積分的構(gòu)造方法以及結(jié)果，并通過數(shù)值算例展示了誤差的變化趨勢(shì)，但還需進(jìn)行嚴(yán)格的理論證明.未來，筆者將繼續(xù)深入研究數(shù)值積分，嘗試采用不對(duì)等剖分[6]或者分離截?cái)嗾`差與舍入誤差的策略[7]提高算法的精度，并把數(shù)值積分方法推廣到更一般的不規(guī)則區(qū)域.