簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)物理量的理論推導(dǎo)與應(yīng)用

云南 張保雷 胡家光

1 基本概念

1.1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的定義

如果質(zhì)點(diǎn)的位移與時(shí)間的關(guān)系遵從正弦函數(shù)的規(guī)律，即它的振動(dòng)圖像(x-t圖像)是一條正弦曲線，這樣的振動(dòng)叫做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)位移與時(shí)間的關(guān)系的表達(dá)式為x=Asin(ωt+φ0)，式中A是振幅，ω為圓頻率，t為時(shí)間，φ0為初相位。

1.2 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的受力特征

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的受力特征為F=-kx，其中F為指向平衡位置的回復(fù)力，也叫諧振特征力；x為振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)偏離平衡位置的位移；k為恢復(fù)系數(shù)，由振動(dòng)系統(tǒng)自身性質(zhì)決定；“-”表示F與x方向相反。由牛頓第二定律F=-kx=ma，可知簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)為變加速運(yùn)動(dòng)。

1.3 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期

2 理論探究

2.1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移、速度、加速度

由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)位移與時(shí)間的關(guān)系

x=Asin(ωt+φ0) ①

解得簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速度

當(dāng)cos(ωt+φ0)=1時(shí)，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速度最大，此時(shí)x=Asin(ωt+φ0)=0，即質(zhì)點(diǎn)通過(guò)平衡位置的速度最大，最大值為vM=Aω；

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的加速度

當(dāng)sin(ωt+φ0)=1，此時(shí)x最大，即質(zhì)點(diǎn)位于距平衡位置位移最大處，且加速度最大，最大值為aM=Aω2；

由①②③式，可知簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位移、速度、加速度與時(shí)間的關(guān)系均遵從正弦函數(shù)的規(guī)律。

2.2 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力

根據(jù)牛頓第二定律，可得簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的受力

F=ma=-mω2Asin(ωt+φ0) ④

由④式可知簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的受力與時(shí)間的關(guān)系均遵從正弦函數(shù)的規(guī)律。

由①④式易得簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的受力

F=-mω2Asin(ωt+φ0)=-mω2x=-kx⑤

其中k為恢復(fù)系數(shù)，k的大小由振動(dòng)系統(tǒng)自身性質(zhì)決定，振動(dòng)系統(tǒng)不改變，則振動(dòng)過(guò)程中k保持不變，即做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)所受作用力大小與位移成正比，方向與位移相反，該力始終指向平衡位置，物理學(xué)中按效果將其命名為回復(fù)力。從簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的受力特征出發(fā)是證明某運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)單、有效的常用方法。

2.3 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期

由⑤式可得k=-mω2⑥

其中m為振子質(zhì)量，k為振動(dòng)系統(tǒng)的恢復(fù)系數(shù)，此式從簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的定義式出發(fā)推理而得，適用于任何簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)周期的計(jì)算。

2.4 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量

結(jié)合①⑨式，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的勢(shì)能為

由⑧⑩式可得簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)能與勢(shì)能之和

3 常見(jiàn)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的實(shí)例分析

3.1 彈簧振子

圖1

3.2 單擺

圖2

4 非常見(jiàn)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的實(shí)例分析

如圖3所示，電荷量分別為4q和-q的小球A、B固定在水平放置的光滑絕緣細(xì)桿上，間距為d。若桿上套一帶正電的小環(huán)C(圖中未畫(huà)出)，帶電體A、B和C均可視為點(diǎn)電荷。若小環(huán)C所帶的電荷量為-q，將小環(huán)拉離平衡位置一小段位移x(|x|=d)后由靜止釋放，計(jì)算小環(huán)C回到平衡位置所用時(shí)間。

圖3

圖4

5 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)上述對(duì)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)位移、速度、加速度、周期和能量的理論探究，發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)各物理量有著深層次的內(nèi)在聯(lián)系，只要確定了恢復(fù)系數(shù)，相對(duì)復(fù)雜的振動(dòng)周期和能量就迎刃而解了。如果師生能經(jīng)歷上述理論探究過(guò)程，不僅可以對(duì)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)有深入系統(tǒng)地認(rèn)識(shí)，也能體驗(yàn)科學(xué)探究的方法和體會(huì)理論探究的樂(lè)趣，也是優(yōu)秀學(xué)生成長(zhǎng)的一條有效途徑。