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    從問(wèn)題生長(zhǎng),培養(yǎng)數(shù)學(xué)分類思想
    ——以蘇科版數(shù)學(xué)七(上)“絕對(duì)值與相反數(shù)”復(fù)習(xí)課教學(xué)為例

    2022-11-30 05:18:44李文明
    初中生世界 2022年44期
    關(guān)鍵詞:正數(shù)例題分類

    ■李文明

    分類思想是根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn),將數(shù)學(xué)研究對(duì)象分為不同種類的一種數(shù)學(xué)思想。分類以比較為基礎(chǔ),比較是分類的前提,分類是比較的結(jié)果。因此,在培養(yǎng)分類思想上,應(yīng)當(dāng)突出“比較”二字。那么,如何“比較”呢?筆者認(rèn)為,在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)突出分類討論中分類標(biāo)準(zhǔn)的“差異性”,比如:為什么選擇這個(gè)時(shí)間段為變化后與變化前的界限?動(dòng)態(tài)變化中,為什么找這個(gè)點(diǎn)為轉(zhuǎn)折點(diǎn)?通過(guò)練習(xí)將分類標(biāo)準(zhǔn)的尋找變成學(xué)習(xí)的自動(dòng)化過(guò)程,多訓(xùn)練幾次,學(xué)生便可以在做中領(lǐng)悟到分類的道理。此外,培養(yǎng)分類思想的關(guān)鍵還在于教會(huì)學(xué)生如何思考問(wèn)題。

    現(xiàn)在的初中數(shù)學(xué)教學(xué)遵從生長(zhǎng)數(shù)學(xué)的理念,就是讓學(xué)生主動(dòng)地在已有的知識(shí)體系上建立新知識(shí)的結(jié)構(gòu)體系。俗話說(shuō),萬(wàn)事開(kāi)頭難。難就難在七年級(jí)的第一次分類討論如何進(jìn)行。在初中階段,學(xué)生第一次用到分類討論是在“絕對(duì)值與相反數(shù)”這一節(jié),因此,教師要在這一節(jié)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)與思考,探討分類討論的具體形式以及思路方法,從而初步培養(yǎng)學(xué)生的分類討論思維體系的建構(gòu)。

    下面,筆者以蘇科版七(上)“絕對(duì)值與相反數(shù)”復(fù)習(xí)課為例,探討如何從問(wèn)題生長(zhǎng),培養(yǎng)學(xué)生的分類思想。

    一、教學(xué)設(shè)計(jì)

    1.問(wèn)題呈現(xiàn)

    例題:在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中,我們常用到“分類討論”的數(shù)學(xué)思想。下面是運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題的過(guò)程,請(qǐng)仔細(xì)閱讀,并解答問(wèn)題。

    【提出問(wèn)題】已知三個(gè)有理數(shù)a、b、c,滿足abc>0,求的值。

    【解決問(wèn)題】由題意,得a、b、c都為正數(shù)或其中一個(gè)為正數(shù),另兩個(gè)為負(fù)數(shù)。

    ①a、b、c都是正數(shù),即a>0,b>0,c>0時(shí);②當(dāng)a、b、c中有一個(gè)為正數(shù),另兩個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí),不妨設(shè)a>0,b<0,c<0,則

    【探究拓展】請(qǐng)根據(jù)上面的解題思路解答下面的問(wèn)題:

    (1)已知a、b是不為0的有理數(shù),當(dāng) ||ab=-ab時(shí)的值是____;

    (2)已知a、b、c是有理數(shù),當(dāng)abc<0時(shí)的值為_(kāi)___;

    (3)已知a、b、c是有理數(shù),a+b+c=0,abc<0,求的值。

    2.問(wèn)題引導(dǎo)

    如果一開(kāi)始就讓學(xué)生解決問(wèn)題,學(xué)生會(huì)感到很困難,同時(shí)也說(shuō)明這是一節(jié)“失敗”的復(fù)習(xí)課。所以,在展示出例題以后,筆者先讓學(xué)生將問(wèn)題“放一放”,先考慮下面的問(wèn)題:

    從建構(gòu)主義的角度來(lái)說(shuō),學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程就是在腦海中建立一套體系的過(guò)程。從分類思想的培養(yǎng)來(lái)說(shuō),前兩個(gè)問(wèn)題是引導(dǎo)學(xué)生了解對(duì)于絕對(duì)值里面的數(shù),不用考慮符號(hào);后兩道題則是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比、比較,讓他們發(fā)現(xiàn)雖然兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值一樣,但做除法之后好像又不一樣。這也是由特殊到一般的數(shù)學(xué)方法的滲透。

    這時(shí)學(xué)生就會(huì)聯(lián)想到一開(kāi)始的問(wèn)題并進(jìn)行思考,但過(guò)一會(huì)兒又會(huì)意識(shí)到“好像懂但又解不出來(lái)”。這是因?yàn)樗麄儧](méi)有理解“abc>0”這個(gè)條件。而這一個(gè)條件之所以“無(wú)用武之地”,是因?yàn)榉诸愑懻撍枷脒€沒(méi)有滲透到他們的心中,只是有提示了,他們才會(huì)想起來(lái)討論。

    所以,筆者給出另一組口答形式的問(wèn)題來(lái)提示他們:

    (1)2×3 0;(2)2×(-3)0;(3)(-2)×3 0;(4)(-2)×(-3)0;

    這四個(gè)問(wèn)題可以提示學(xué)生,“ab”大于零還是小于零,和a、b的正負(fù)情況有關(guān)。這時(shí)再次引導(dǎo)學(xué)生回過(guò)頭來(lái)看例題的第一問(wèn)該如何思考。

    到這里,學(xué)生就會(huì)知道,||ab=-ab的意思就是ab為非正數(shù),進(jìn)而得到a、b的符號(hào)是一正一負(fù),即a、b異號(hào)。引導(dǎo)至此,學(xué)生自然而然建構(gòu)起初步的分類討論的思想:要考慮正負(fù)情況。

    此時(shí),學(xué)生的知識(shí)樹(shù)已經(jīng)“生長(zhǎng)”出了幾根“枝葉”,第一問(wèn)就可以讓學(xué)生自主解決。為了加強(qiáng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的分析解決能力,教師還應(yīng)該滲透數(shù)學(xué)思想方法:“第二問(wèn)與第一問(wèn)的區(qū)別與聯(lián)系是什么呢?”(這也是“比較”的一種具體表現(xiàn)形式。)

    學(xué)生回答:“多了一個(gè)c?!边@時(shí)教師要進(jìn)一步引導(dǎo):“第一問(wèn)的思路可以推廣到第二問(wèn)嗎?試試看!”這句話是為了滲透“由特殊到一般”的思想方法,也為了讓學(xué)生體會(huì)解答題的一般解題思路:后面的問(wèn)題一般都和第一問(wèn)有關(guān),甚至可以使用類似的思路來(lái)解答。在實(shí)際解題中體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法是最直接、最有效的。

    對(duì)于第二問(wèn),往往是數(shù)學(xué)能力中等偏上的學(xué)生能依靠第一問(wèn)的提示完成解答。此時(shí),其他學(xué)生需要的不是具體的解答過(guò)程,而是需要教師引導(dǎo):“三個(gè)數(shù)相乘,什么情況為正?什么情況為負(fù)?”大多數(shù)學(xué)生便知道數(shù)的乘積的正負(fù)與乘數(shù)的正負(fù)情況有關(guān)。要想進(jìn)一步深化分類討論思想,教師還要在后續(xù)的教學(xué)中繼續(xù)引導(dǎo)。

    對(duì)于第三問(wèn),學(xué)生很難想到先移項(xiàng),再依靠等號(hào)將b+c轉(zhuǎn)化成-a,a+c轉(zhuǎn)化成-b,a+b轉(zhuǎn)化成-c。一方面,第三問(wèn)多了一個(gè)條件,學(xué)生無(wú)所適從;另一方面,對(duì)等式進(jìn)行移項(xiàng)轉(zhuǎn)化,或等式兩邊同時(shí)加、減同一個(gè)數(shù)的方法,與前兩問(wèn)的解決方法完全不一樣,并且在小學(xué)也沒(méi)有用過(guò)。這里,就需要教師進(jìn)一步引導(dǎo):

    (1)1+2+(-3)= ;(2)1+(-4)+3= ;(3)(-3)+1+2= 。

    這三問(wèn)是引導(dǎo)學(xué)生思考、利用“a+b+c=0”這個(gè)條件的,但依然會(huì)有學(xué)生無(wú)法理解如何利用。故還需要教師適時(shí)引導(dǎo):“同學(xué)們看看和為0的三個(gè)數(shù)有什么特征?”學(xué)生是可以看出來(lái)絕對(duì)值的關(guān)系對(duì)和的影響的,如果這時(shí)學(xué)生還沒(méi)想到相反數(shù),那么教師可以提示學(xué)生:“前兩問(wèn)我們對(duì)什么進(jìn)行了討論?”

    至此,便是學(xué)生自主思考的時(shí)間,即“在做中學(xué)”。

    在本節(jié)課快結(jié)束時(shí),教師還要帶領(lǐng)學(xué)生再次回顧本節(jié)課的重點(diǎn),要讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何從題目中找到思考的方向。其中,分類討論思想依然需要教師強(qiáng)調(diào)并設(shè)計(jì)針對(duì)性練習(xí)進(jìn)行鞏固。

    二、教學(xué)反思

    在數(shù)學(xué)教學(xué)中,提倡“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”的建構(gòu)主義方法研究。以一道題為例,要想串聯(lián)起一整套的分類思想方法,重點(diǎn)在于對(duì)例題的解構(gòu),將例題分成一個(gè)個(gè)小部分,由易到難,逐步推進(jìn),讓學(xué)生在一個(gè)個(gè)部分中體會(huì)數(shù)學(xué)思想?!霸谧鲋袑W(xué)”是培養(yǎng)學(xué)生分類思想的有效途徑。教師要設(shè)計(jì)一個(gè)個(gè)“階梯式”的小題,提示學(xué)生思考;建立獎(jiǎng)勵(lì)機(jī)制,鼓勵(lì)學(xué)生往正確的方向思考;注重“以小見(jiàn)大”的題目布置,設(shè)計(jì)問(wèn)題緊湊嚴(yán)密,逐步推進(jìn),像講故事一樣,將數(shù)學(xué)思想娓娓道來(lái)。

    本節(jié)課的設(shè)計(jì),主要圍繞絕對(duì)值的討論進(jìn)行。為什么絕對(duì)值的內(nèi)容會(huì)出現(xiàn)分類討論的問(wèn)題?是因?yàn)椤敖^對(duì)值”這一映射是單射,這種非一一映射的對(duì)應(yīng)在初中階段不多出現(xiàn)。弄明白分類討論產(chǎn)生的原因,對(duì)問(wèn)題的講解會(huì)更加接近本質(zhì),這里不再詳細(xì)敘述。除了絕對(duì)值,平方根的內(nèi)容也會(huì)出現(xiàn)單射,同樣也需要分類討論。那么,要想讓學(xué)生了解、熟悉、理解這樣一種單射,需要這類分類討論的問(wèn)題長(zhǎng)期重復(fù)出現(xiàn),還需要教師強(qiáng)調(diào)以及注重講解中的思想滲透。

    在初中階段,學(xué)生第二次遇到分類討論是在用一元一次方程解決行程問(wèn)題時(shí)。行程問(wèn)題是應(yīng)用題里難啃的“硬骨頭”。兩物體相遇以后改變運(yùn)動(dòng)方向的問(wèn)題,以及環(huán)形跑道的相遇問(wèn)題,歸根到底,都是對(duì)不同時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行分類討論的問(wèn)題。對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變的時(shí)間節(jié)點(diǎn)進(jìn)行討論,可以和“絕對(duì)值與相反數(shù)”的內(nèi)容進(jìn)行類比思考。行程問(wèn)題的分類標(biāo)準(zhǔn)是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變時(shí)的時(shí)間節(jié)點(diǎn),而絕對(duì)值的分類討論大部分都是對(duì)“正負(fù)”進(jìn)行討論。前者是實(shí)際生活中可以進(jìn)行類比參照的,也是完全可以想象出來(lái)的分類討論,而后者更偏于理論上的討論,但是在分類討論的種類分化上,本質(zhì)是一樣的,就是通過(guò)“比較”,找到問(wèn)題中量的性質(zhì)變化的臨界點(diǎn),進(jìn)行劃分。而這也和戴德金分割的思想一致,即將數(shù)集中的數(shù)進(jìn)行分割,分割的標(biāo)準(zhǔn)就是數(shù)與數(shù)之間的“臨界點(diǎn)”。

    再回到教學(xué)中,教師設(shè)計(jì)好教學(xué)問(wèn)題之后,課堂上還要給足學(xué)生思考的時(shí)間。教師不僅要引導(dǎo),還要讓他們主動(dòng)跟著教師的思路走,所以,這就要求:題目的問(wèn)題設(shè)計(jì)難度梯度合理,前后緊湊連貫;教師的威信度高,學(xué)生信服;教師的設(shè)問(wèn)引導(dǎo)要有誘發(fā)性,學(xué)生愿意去思考。

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