概率易錯(cuò)題面面觀

文／劉宇峰

忽視等可能性

例1把3顆算珠放在計(jì)數(shù)器的3根插棒上構(gòu)成一個(gè)數(shù)字，例如，圖1擺放的算珠表示數(shù)300。現(xiàn)將3顆算珠任意擺放在這3根插棒上。求構(gòu)成的數(shù)是三位數(shù)的概率。

圖1

【錯(cuò)解】3顆算珠，3根插棒，我們將數(shù)字一一有序列舉出：

情況1：將3顆算珠放百位上，只有一種結(jié)果，表示數(shù)300；

情況2：將2顆算珠放百位上，剩下1顆有兩種放法，放在十位上，表示數(shù)210，或放在個(gè)位上，表示數(shù)201；

情況3：將1顆算珠放百位上，剩下2顆有三種放法，都放在十位上，表示數(shù)120，或都放在個(gè)位上，表示數(shù)102，或十位、個(gè)位上各放一個(gè)，表示數(shù)111；

情況4：百位上不放，有四種放法，3顆算珠都放在十位上，表示數(shù)30，或十位上放2顆，個(gè)位上放1顆，表示數(shù)21，或十位上放1顆，個(gè)位上放2顆，表示數(shù)12，或都放個(gè)位上，表示數(shù)3。

共有10種結(jié)果，其中構(gòu)成三位數(shù)的結(jié)果有6種，所以構(gòu)成的數(shù)是三位數(shù)的概率是

【分析】錯(cuò)解一一有序地列舉出構(gòu)成的數(shù)字，初看似乎有道理，但細(xì)細(xì)研究，我們不難發(fā)現(xiàn)，這10種結(jié)果不具有等可能性。

【正解】將3顆算珠任意擺放在計(jì)數(shù)器的3根插棒上，等價(jià)于：有3顆算珠，首先放第一顆算珠，它可以放在百位上，可以放在十位上，也放在個(gè)位上，有3種等可能放法；接著放第二顆算珠，同樣，它可以放在百位上，可以放在十位上，也放在個(gè)位上，也是有3種等可能放法；最后放第三顆算珠，它同樣有3種等可能放法（百位、十位、個(gè)位），畫樹狀圖如下：

將3顆算珠任意擺放在這3根插棒上，共有27種等可能的結(jié)果，其中構(gòu)成的數(shù)是三位數(shù)的結(jié)果有19種，所以構(gòu)成的數(shù)是三位數(shù)的概率為

【點(diǎn)評(píng)】求概率的前提條件是“等可能性”。一般地，設(shè)一個(gè)試驗(yàn)的所有可能發(fā)生的結(jié)果有n個(gè)，它們都是隨機(jī)事件，每次試驗(yàn)有且只有其中的一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)。如果每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等，那么我們說(shuō)這n個(gè)事件的發(fā)生是等可能的，也稱這個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果具有等可能性。

未能區(qū)分“有放回”與“不放回”

例2為了調(diào)動(dòng)同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，某班組織開展了“數(shù)學(xué)小先生”講題比賽，老師將四道備講題的題號(hào)1、2、3、4分別寫在完全相同的4張卡片的正面，將卡片背面朝上洗勻。小明隨機(jī)抽取兩張卡片，用畫樹狀圖或列表的方法求兩張卡片上的數(shù)字是“2”和“3”的概率。

【錯(cuò)解】列表如圖。

共有16種等可能的結(jié)果，其中兩張卡片上的數(shù)字是“2”和“3”的結(jié)果有2種，

所以小明隨機(jī)抽取兩張卡片，兩張卡片上的數(shù)字是“2”和“3”的概率為

【分析】隨機(jī)抽取兩張卡片，相當(dāng)于先后抽兩次，第一次抽到的卡片不放回，再抽第二次。

【正解】列表如圖。

結(jié)果1 2 3 4 1（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）

共有12種等可能的結(jié)果，其中兩張卡片上的數(shù)字是“2”和“3”的結(jié)果有2種。

所以小明隨機(jī)抽取兩張卡片，兩張卡片上的數(shù)字是“2”和“3”的概率為

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于“抽卡片”“摸球”等類型的問(wèn)題，我們要看清題目條件的敘述是“有放回”還是“不放回”。對(duì)于“有無(wú)放回”，一是題目條件中明確交代是“有放回”，二是同時(shí)“抽”“摸”兩次，即暗示“無(wú)放回”?！皵S骰子”“拋硬幣”“搖轉(zhuǎn)盤”等類型的問(wèn)題，第一次出現(xiàn)的，第二次還有可能出現(xiàn)，相當(dāng)于“抽”“摸”中的“有放回”。