波形鋼腹板簡(jiǎn)支組合梁橋梁端混凝土附加應(yīng)力

張 愉張 云羅婷倚劉玉擎

（1.中交公路規(guī)劃設(shè)計(jì)院有限公司，北京 100088；2.廣西北投公路建設(shè)投資集團(tuán)有限公司，南寧 530000；3.同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院，上海 200092）

0 引言

波形鋼腹板組合梁橋采用折形腹板代替混凝土腹板，具有自重輕、預(yù)應(yīng)力施加效率高、避免腹板開裂等優(yōu)點(diǎn)［1］。

各國學(xué)者對(duì)該種橋梁的彎曲性能進(jìn)行了研究［2-3］。Hamilton等［4］進(jìn)行了波形腹板I形鋼梁的彎曲試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)腹板幾乎不承擔(dān)彎矩，鋼梁的抗彎承載力由翼緣板的屈服強(qiáng)度控制。Metwally等［5］進(jìn)行了波形鋼腹板-混凝土頂?shù)装褰M合梁的抗彎試驗(yàn)，結(jié)果表明，組合梁的抗彎承載力僅由混凝土頂?shù)装宄袚?dān)。因此，一般認(rèn)為波形鋼腹板的“手風(fēng)琴效應(yīng)”使得腹板幾乎不承擔(dān)彎矩，波形鋼腹板組合梁抗彎設(shè)計(jì)時(shí)只考慮混凝土頂?shù)装褰孛娴呢暙I(xiàn)，且符合平截面假定，即混凝土橋面板正應(yīng)力為

式中：σc，tr為混凝土正應(yīng)力；yc為距截面中性軸的距離；Ic為混凝土截面慣性矩。

波形鋼腹板組合梁端支點(diǎn)處通常設(shè)有橫梁，如圖1所示，當(dāng)不考慮端部橫梁約束的影響時(shí)，波形鋼腹板組合梁在支點(diǎn)處會(huì)產(chǎn)生轉(zhuǎn)角與波形鋼腹板的剪切變形，混凝土應(yīng)力分布滿足平截面假定。實(shí)際上，由于端橫梁的約束作用，支點(diǎn)處波形鋼腹板的剪切變形會(huì)受到約束，進(jìn)而對(duì)局部混凝土頂?shù)装迨芰Ξa(chǎn)生影響，稱之為混凝土附加應(yīng)力。

圖1 簡(jiǎn)支梁端部附加應(yīng)力產(chǎn)生機(jī)理Fig1 Mechanism of additional stress near the end of simply supported beams

當(dāng)前關(guān)于波形鋼腹板剪切變形影響的研究主要集中于其對(duì)橋梁撓度的增大效應(yīng)，關(guān)于剪切變形引起的支點(diǎn)區(qū)段附加應(yīng)力問題研究很少。Combault等［6-7］最早指出支點(diǎn)區(qū)段頂?shù)装宕嬖诘母郊討?yīng)力問題。Shiratani等［8］通過試驗(yàn)和有限元研究了波形鋼腹板組合梁的支點(diǎn)區(qū)段的彎剪性能，揭示了支點(diǎn)區(qū)段混凝土附加應(yīng)力現(xiàn)象并建議加強(qiáng)支點(diǎn)區(qū)段頂?shù)装遢S向鋼筋配置。Zhou等［9］基于試驗(yàn)和有限元分析了線彈性波形鋼腹板組合梁應(yīng)變分布，有限元結(jié)果顯示，支座附近混凝土應(yīng)變分布不滿足“平截面假定”。聶建國等［10］研究了波形鋼腹板剪切變形對(duì)波形鋼腹板梁受力行為的影響，認(rèn)為端部的約束條件對(duì)主梁撓度影響較小，而主梁梁端混凝土局部受力產(chǎn)生較大影響。劉保東等［11］進(jìn)行了變截面波紋鋼腹板連續(xù)剛構(gòu)橋彎曲試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果顯示靠近支點(diǎn)截面混凝土應(yīng)變分布復(fù)雜，不滿足“平截面假定”。

為此，利用考慮剪切變形的波形鋼腹板梁模型，推導(dǎo)了波形鋼腹板簡(jiǎn)支組合梁在在集中荷載和均布荷載作用下梁端區(qū)段混凝土頂?shù)装逭龖?yīng)力的解析解，并與有限元結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，揭示了波形鋼腹板組合梁端支點(diǎn)區(qū)段混凝土附加應(yīng)力的分布規(guī)律，并給出其計(jì)算式。

1 波形鋼腹板組合簡(jiǎn)支梁混凝土應(yīng)力解析解

1.1 基本假定

先給出以下5點(diǎn)基本假定：

（1）混凝土頂、底板截面轉(zhuǎn)角相同，獨(dú)立于整個(gè)截面轉(zhuǎn)角；

（2）波形鋼腹板縱向剛度為0；

（3）假定截面不發(fā)生面內(nèi)扭曲，不考慮剪力滯效應(yīng)；

（4）梁端鋼腹板剪切變形為0；

（5）材料處于彈性范圍，不考慮混凝土頂、底板與鋼腹板之間的剪切滑移。

1.2 理論推導(dǎo)

圖2所示為組合梁某截面混凝土頂?shù)装迮c波形鋼腹板的內(nèi)力分布。Vt、Vw、Vb分別為混凝土頂板、鋼腹板、混凝土底板剪力，Mt、Mw、Mb分別為混凝土頂板、鋼腹板、混凝土底板彎矩，Nt、Nw、Nb分別為混凝土頂板、波形鋼腹板、混凝土底板軸力。

圖2 組合梁內(nèi)力變形圖示Fig.2 Diagram of internal force and deformation of composite beams

1）物理方程

式中：ht、hb為截面形心至混凝土頂?shù)装逍涡牡木嚯x；Ec為混凝土彈性模量；At、Ab為混凝土頂?shù)装褰孛娣e；It、Ib為混凝土頂?shù)装鍛T性矩；Aw為波形鋼腹板截面積；?為梁豎向撓度；γ為鋼腹板剪切變形；θ為腹板水平轉(zhuǎn)角；φ為頂?shù)装逍涡倪B線的水平轉(zhuǎn)角；Gw為波形鋼腹板等效剪切模量。

即

式中：G為鋼材剪切模量；aw為直板段長度；bw為斜板段投影長度；cw為斜板段長度；tw為板厚；αw為波形鋼腹板形狀系數(shù)，波形尺寸如圖3所示。

圖3 波形示意Fig.3 Profile of corrugated steel web

2）幾何方程

組合梁豎向撓度?、轉(zhuǎn)角ω′，鋼腹板剪切變形γ、轉(zhuǎn)角θ；頂、底板形心連線的水平轉(zhuǎn)角φ具有如下關(guān)系：

式中：et、eb分別為混凝土頂板形心至下緣和底板形心至上緣的距離；hw為鋼腹板高度，hc為混凝土頂?shù)装逍涡拈g距。

3）平衡方程

整個(gè)截面利用平衡方程，截面內(nèi)力與變形的關(guān)系為

其中

聯(lián)立式（6）—式（10）得到關(guān)于?的六階微分方程：

其中，

集中荷載與均布荷載下，式（12）分別為

集中荷載：ωVI-ξ2ωIV=0

則方程的解為

其中，A*x4為特解，當(dāng)為集中荷載時(shí)，q=0，則A*=0；當(dāng)為均布荷載時(shí)，A*=。

聯(lián)立式（8）—式（10）得

由式（15）得：

聯(lián)立式（3）、式（4），式（15）—式（17），即可得到混凝土頂?shù)装甯鱾€(gè)截面的內(nèi)力分布。以混凝土頂板為例，截面內(nèi)力Mt，Nt如式（18）、式（19）所示：

當(dāng)?shù)玫交炷另數(shù)装甯鱾€(gè)截面的內(nèi)力后，即可計(jì)算分別由頂?shù)装遢S力與彎矩引起的應(yīng)力分布，頂?shù)装逭龖?yīng)力的解析解由軸力與彎矩產(chǎn)生的應(yīng)力進(jìn)行疊加，即以頂板為例可得：

式中：σc為混凝土頂板截面正應(yīng)力的解析解；yt為計(jì)算點(diǎn)至混凝土頂板中性軸的距離。

當(dāng)荷載形式與邊界條件確定后，計(jì)算系數(shù)A1-A6的值，即可得到混凝土頂板正應(yīng)力的解析解，即

1.3 典型邊界條件及解析解

如表1所示，研究波形鋼腹板簡(jiǎn)支組合梁承受集中荷載與均布荷載的兩種工況。

表1 典型邊界條件及荷載Table 1 Typical boundary conditions and loads

1.3.1 簡(jiǎn)支梁受集中荷載

當(dāng)跨中作用集中荷載P時(shí)，梁端位移為0；腹板剪切變形受到混凝土的抑制，梁端腹板剪切變形為0，綜合考慮式（8），即梁端對(duì)混凝土與鋼腹板的約束作用。固定端剪力V=P/2；跨中由于對(duì)稱性，組合梁轉(zhuǎn)角與混凝土頂?shù)装暹B線轉(zhuǎn)角均為0；跨中剪力V=P/2。則位移與外荷載具有如下關(guān)系：

利用邊界條件式（22），可得到

利用邊界條件式（24）、式（25），可得到

進(jìn)而得到

利用邊界條件式（23），可得到

解得

利用邊界條件式（27），可得到

利用邊界條件式（26），可得到

進(jìn)而得到

將式（36）代入式（28），即可得到

基于以上分析，即可得到組合梁中點(diǎn)受集中荷載P作用下，考慮腹板剪切變形下的混凝土頂板正應(yīng)力解析解為

1.3.2 簡(jiǎn)支梁受均布荷載

同理可得作用均布荷載q時(shí)典型邊界條件，即

同理，此邊界條件下各常數(shù)解為

2 混凝土附加應(yīng)力解析解驗(yàn)證

2.1 有限元模型

為驗(yàn)證混凝土正應(yīng)力解析解，建立實(shí)體有限元模型如圖4所示。組合梁跨度L=20 m，梁高h(yuǎn)=3 m，上、下混凝土頂?shù)装鍖捄駷?.8 m×0.4 m，波形鋼腹板采用1600波形（直板段430 mm、斜板段長370 mm、高220 mm），鋼板厚度20 mm。波形鋼腹板與混凝土頂?shù)装褰Ⅰ詈霞s束，忽略連接件滑移，梁端與混凝土頂?shù)装骞探Y(jié)。設(shè)集中荷載P=360 kN，均布荷載q=10.5 kN/m。所有材料均為理想線彈性材料，混凝土彈性模量Ec=3.6×104MPa，鋼板彈性模量Es=2.06×105MPa。

圖4 有限元模型Fig.4 Finite element model

2.2 解析解驗(yàn)證

圖5所示為解析解、傳統(tǒng)計(jì)算式（1）以及有限元計(jì)算的波形鋼腹板組合簡(jiǎn)支梁在集中荷載和均布荷載下混凝土頂?shù)装鍛?yīng)力比較，在有限元建模中，端梁料選取與頂?shù)装逑嗤?。因此，有限元建模?jì)算結(jié)果符合實(shí)際，結(jié)果顯示，解析解與有限元結(jié)果吻合良好，可以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)混凝土應(yīng)力分布。有限元計(jì)算結(jié)果、解析解在梁端一定范圍內(nèi)均大于傳統(tǒng)計(jì)算式（1）的結(jié)果，隨著離梁端距離增大，三條曲線逐漸重合，說明支點(diǎn)區(qū)段頂?shù)装逯挟a(chǎn)生附加應(yīng)力，隨著梁端距離的增大附加應(yīng)力逐漸減小至0。

圖5 解析解的數(shù)值驗(yàn)證Fig.5 Numerical verification of the analytical solution

對(duì)于集中荷載作用，簡(jiǎn)支端的混凝土頂板上表面產(chǎn)生0.76 MPa的附加拉應(yīng)力，當(dāng)距離固定端約1.7 m時(shí)，附加應(yīng)力基本為0。對(duì)于均布荷載作用，簡(jiǎn)支端的混凝土頂板上表面產(chǎn)生0.88 MPa的附加拉應(yīng)力。

3 附加應(yīng)力分布規(guī)律

圖6所示為有無端橫梁約束條件下的波形鋼腹板組合梁支點(diǎn)區(qū)域混凝土頂板正應(yīng)力云圖，結(jié)果顯示，對(duì)于無端橫梁約束條件下的簡(jiǎn)支梁，支點(diǎn)區(qū)域彎矩為0，因此無端梁約束下的混凝土應(yīng)力為0，且混凝土頂板在簡(jiǎn)支梁全跨范圍內(nèi)受壓。而在有端橫梁約束條件下的支點(diǎn)區(qū)段，存在局部的附加應(yīng)力。在混凝土頂板上1/2厚度范圍內(nèi)，附加應(yīng)力為局部拉應(yīng)力，使得混凝土頂板應(yīng)力出現(xiàn)局部反號(hào)的現(xiàn)象；在混凝土頂板下1/2厚度范圍內(nèi)，附加應(yīng)力為局部壓應(yīng)力，使得混凝土頂板壓應(yīng)力出現(xiàn)局部增大的現(xiàn)象；頂板中性軸處為0。

圖6 混凝土頂板應(yīng)力云圖對(duì)比Fig.6 Comparison of stress distribution for girders with or without crossbeams

設(shè)附加應(yīng)力為實(shí)際混凝土應(yīng)力與傳統(tǒng)計(jì)算結(jié)果的差值，即

式中：σc.ad為頂?shù)装寤炷粮郊討?yīng)力；σc為基于解析解的混凝土實(shí)際應(yīng)力；σc，tr為基于平截面假定的傳統(tǒng)計(jì)算式（1）下的混凝土應(yīng)力。

圖7所示為在跨中集中荷載作用下的附加應(yīng)力沿梁縱向的分布。圖8所示為不同截面（x=0，x=0.8 m，x=1.7 m）的附加應(yīng)力沿截面高度的分布。結(jié)果顯示，在頂?shù)装迳暇?，附加?yīng)力為拉應(yīng)力；在頂?shù)装逑戮?，附加?yīng)力為壓應(yīng)力，中性軸處為0。同一截面頂?shù)装逄幧舷戮壍母郊討?yīng)力方向相反，沿混凝土頂?shù)装褰孛娓叨瘸尸F(xiàn)線性分布，且附加應(yīng)力大小隨著梁端距離的增大逐漸減小至0。由于附加應(yīng)力的存在導(dǎo)致平截面假定在此范圍內(nèi)不成立。

圖7 不同位置混凝土附加應(yīng)力縱向分布Fig.7 Longitudinal distribution of additional stress

圖8 不同截面混凝土附加應(yīng)力豎向分布Fig.8 Vertical distribution of additional stress in concrete at different sections

以上分析可知，波形鋼腹板簡(jiǎn)支組合梁，梁端附加應(yīng)力在混凝土頂板、底板的上表面為拉應(yīng)力?；诓煌叽缒Ｐ蛥?shù)分析，附加應(yīng)力分布范圍約為0.6倍的梁高。實(shí)際設(shè)計(jì)中，應(yīng)當(dāng)考慮梁端區(qū)域混凝土頂?shù)装宕嬖诘母郊永瓚?yīng)力，采取相應(yīng)的抗裂性措施。

4 梁端附加應(yīng)力設(shè)計(jì)指導(dǎo)

考慮到簡(jiǎn)支梁零彎矩區(qū)傳統(tǒng)計(jì)算方法應(yīng)力結(jié)果為0，實(shí)際上由于端梁的約束作用會(huì)產(chǎn)生頂板附加拉應(yīng)力，對(duì)設(shè)計(jì)產(chǎn)生不利的效果。因此，給出附加應(yīng)力計(jì)算式直接計(jì)算混凝土附加應(yīng)力的大小，以供設(shè)計(jì)參考。圖9為附加應(yīng)力分布模式，其中σc.ad為附加應(yīng)力沿梁縱向x的分布，σc.ad，max為梁端最大附加拉應(yīng)力，其值可用于指導(dǎo)實(shí)橋支點(diǎn)處混凝土抗裂設(shè)計(jì)。

圖9 波形鋼腹板組合梁附加應(yīng)力表達(dá)Fig.9 Expression of additional stress

簡(jiǎn)支梁在集中荷載和均布荷載下σc.ad計(jì)算式為式（42）、式（44）；此外，將x=0代入即可得到σc.ad，max的計(jì)算式，考慮到sinh(ξL/2)≈cosh(ξL/2)>>1，σc.ad，max計(jì)算式可簡(jiǎn)化為式（43）、式（45）。

跨中集中荷載作用：

均布荷載作用下：

5 結(jié)論

（1）利用考慮剪切變形的波形鋼腹板梁模型，推導(dǎo)了波形鋼腹板簡(jiǎn)支組合梁在集中荷載和均布荷載作用下的梁端混凝土頂?shù)装逭龖?yīng)力的解析解，并與有限元結(jié)果進(jìn)行比較，揭示了波形鋼腹板組合梁梁端混凝土附加應(yīng)力的分布規(guī)律。

（2）簡(jiǎn)支組合梁橋混凝土橋面板附加應(yīng)力在梁端為峰值，且隨著梁端距離的增大應(yīng)力值逐漸減小至0，長度約為梁高的0.6倍，此范圍平截面假定不適用。

（3）簡(jiǎn)支組合梁橋混凝土橋面板附加應(yīng)力豎向分布呈現(xiàn)混凝土板上緣為附加拉應(yīng)力，下緣為附加壓應(yīng)力，中性軸處為0的線性分布規(guī)律。

（4）波形鋼腹板簡(jiǎn)支組合梁，梁端附加拉應(yīng)力發(fā)生在混凝土頂、底板的上表面，實(shí)際設(shè)計(jì)中應(yīng)對(duì)梁端區(qū)域混凝土頂板采取相應(yīng)的抗裂措施。