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    磁驅(qū)動雙半球膠囊機器人爬坡運動分析*

    2022-11-27 10:36:34陳自強張永順
    機電工程技術(shù) 2022年10期
    關(guān)鍵詞:爬坡因數(shù)軸線

    陳自強,張永順

    (大連理工大學精密與特種加工教育部重點實驗室,遼寧大連 116024)

    0 引言

    膠囊內(nèi)窺鏡相較傳統(tǒng)胃鏡具有診斷無痛、安全的優(yōu)點,被廣泛應(yīng)用在胃腸道疾病檢查中。雖然目前以Given ImagingLtd的M2A和金山科技初代的OMOM為代表的國內(nèi)外膠囊機器人已技術(shù)成熟且投入商用,但它們大多數(shù)依靠胃腸道蠕動行進,位姿隨意性強,漏檢率高[1]。因此開發(fā)可靈活行走且姿態(tài)可控的主動式膠囊內(nèi)窺鏡便尤為重要。

    目前主動式膠囊機器人驅(qū)動方式主要分為執(zhí)行機構(gòu)驅(qū)動和永磁體驅(qū)動,前者結(jié)構(gòu)復雜,不利于膠囊微型化的同時也存在電源模塊工作時長受限的問題,后者則由于受制梯度磁場而較難實現(xiàn)膠囊位置與姿態(tài)的分離控制。本課題組利用已有的三軸亥姆霍茲線圈裝置產(chǎn)生的空間均勻萬向旋轉(zhuǎn)磁場與膠囊內(nèi)嵌永磁體耦合生成的磁力矩驅(qū)動整體實現(xiàn)自旋與前進后退[2-4]。隨動效應(yīng)[5]使機器人軸線可以時刻跟隨磁矢量法線方向,借此實現(xiàn)膠囊被動模態(tài)的懸停調(diào)姿和主動模態(tài)的滾動行走,控制更加靈活。

    常規(guī)球形機器人依靠擺錘或配重塊等改變重心來驅(qū)使整球滾動,其平面滾動速度和爬坡能力受制于偏心裝置的質(zhì)量占比,爬坡效果不理想[6]。將耦合磁力矩作為驅(qū)動源,本文中的機器人具備更好的爬坡效果。

    為使采集的圖像穩(wěn)定可用,膠囊機器人爬坡時需有良好的抗干擾能力。描述機器人位姿的狀態(tài)變量互不獨立,是典型的非完整性約束系統(tǒng),動力學建模工作更加復雜。

    本文采用拉格朗日乘子法建立描述機器人爬坡的完整動力學模型,分析與姿態(tài)角相關(guān)的夾角變化,說明了機器人的抗干擾能力。建立簡化爬坡動力學模型分析爬坡角度。理論分析和試驗結(jié)果為改善和提高機器人爬坡性能提供了理論支持。

    1 機器人結(jié)構(gòu)

    如圖1所示,內(nèi)置軸承實現(xiàn)主動半球殼體和被動半球殼體的懸浮連接,保證兩半球間的相對轉(zhuǎn)動。NeFeB永磁體與主動半球殼固連,當外部磁場旋轉(zhuǎn)時,受到磁力矩驅(qū)動的永磁體帶動主動半球一同旋轉(zhuǎn),與攝像頭定位器件等固連的被動半球因無動力而不旋轉(zhuǎn)。為實現(xiàn)圖像采集等功能,零件還包括發(fā)射天線、LED電路、攝像頭、電池、電路板等。當機器人軸線因隨動效應(yīng)而隨磁場軸線變?yōu)樗椒较驎r,與腸道接觸的主動半球?qū)⒔柚Σ亮诱蛞煌瑵L動[7]。

    圖1 雙半球膠囊機器人結(jié)構(gòu)

    2 爬坡完整動力學建模與動態(tài)特性分析

    2.1 建立坐標系

    機器人涉及姿態(tài)變化的爬坡過程如圖2所示。

    圖2 爬坡運動示意圖

    各坐標系情況如圖3所示。

    (1)如圖3(a)所示,OXYZ為慣性坐標系,OX軸與水平面重合。旋轉(zhuǎn)磁矢量B繞原點O在XOZ面內(nèi)旋轉(zhuǎn),磁矢量法線nB方向與OY軸平行。

    (2)OX1Y1Z1為固定坐標系,OX1軸與水平面夾角為θ。(x,y)為機器人球心o在OX1Y1Z1內(nèi)的坐標。

    (3)ox0y0z0為平動坐標系,坐標系原點o與球心重合。

    (4)oxyz為描述機器人位姿的賴柴坐標系。如圖3(b),先繞oz0軸旋轉(zhuǎn)α角得到中間坐標系oxy1z0,再繞ox軸旋轉(zhuǎn)β角得到賴柴坐標系。機器人的軸線n最終與oy軸重合。

    圖3 各坐標系示意圖

    (5)ox1yz1為機器人本體坐標系。由坐標系oxyz繞y軸旋轉(zhuǎn)γ角得到。

    為描述機器人爬坡時包含姿態(tài)變化的完整動力學方程,有廣義坐標:坐標x、y,姿態(tài)角α、β及γ。設(shè)機器人半徑為R,質(zhì)量為m,機器人和坡面的接觸點為P,內(nèi)嵌永磁體磁矩為m0,旋轉(zhuǎn)磁矢量強度幅值為B0。

    2.2 非完整性約束方程

    假設(shè)機器人爬坡全過程為純滾動[8]。角速度經(jīng)一系列坐標變換后,在坐標系ox0y0z0中可表示為:

    在坐標系ox0y0z0中,矢量oP表示為:

    純滾動時,速度瞬心點P的速度表達式為:

    于是點o速度為:

    將式(1)代入式(4),得非完整約束方程:

    2.3 磁力矩與阻力矩計算

    如圖3(a)所示,磁矢量B的旋轉(zhuǎn)速度為ω,在慣性坐標系OXYZ中的表達式為:則經(jīng)過坐標轉(zhuǎn)換,B在賴柴系oxyz中為:

    其中:

    A=sin α cos β cos θ+sin θ sin β

    B=sin β cos θ-sin α cos β sin θ

    C=sin α sin β cos θ-sin θ cos β

    D=sin α sin β sin θ+cos β cos θ

    和機器人固連的永磁體磁矩m在oxyz中表示為:

    式中:ε為轉(zhuǎn)差角,即機器人旋轉(zhuǎn)時磁矩矢量滯后磁矢量的角度。

    參考磁力矩公式T1=m1×B1,得到T1在賴柴系oxyz中的分量表達式:

    其 中:E=B0cos α cos θ sin ωt+B0cos α cos ωt sin θ,F=B0 cos ωt(cos β cos θ+sin α sin β sin θ)。

    爬坡時,阻力矩包括機器人殼體與腸道相對滑動受到的粘性摩擦力矩,以及靜摩擦力所產(chǎn)生的摩擦阻力矩。設(shè)粘性阻尼系數(shù)為k,靜摩擦力為mgsinθ,則阻力矩Mf在賴柴系oxyz中可表示為:

    式中:k0、i、j分別為z0、x、y軸的單位向量。

    2.4 爬坡完整動力學方程

    非完整約束使得廣義坐標之間失去獨立性,拉格朗日乘子法可以很好解決此問題,其表達式為:

    式中:L為拉格朗日函數(shù);qα為廣義坐標;Qα為廣義力;λr為拉格朗日乘子;fr為非完整約束方程。

    經(jīng)變換,oxyz中機器人角速度ω1表示為:

    設(shè)T為系統(tǒng)動能,其包括平動動能和轉(zhuǎn)動動能,聯(lián)立式(5)(12)有:

    式中:I1為極轉(zhuǎn)動慣量;I2為赤道轉(zhuǎn)動慣量。

    取水平面為零勢能面,則勢能V為:

    式中:s為球心位移在OX1方向的投影,即x。

    拉格朗日函數(shù)L=T-V,其表達式為:

    則機器人主動模態(tài)下的爬坡完整動力學方程為:

    為了方便分析機器人的姿態(tài)角響應(yīng)特性,取狀態(tài)變量x=(α,β,)T。當機器人爬坡滾動不丟步時,可將自轉(zhuǎn)角γ替換為ωt-ε,于是可得到˙=f(x,t)·x形式的方程組:

    其中:

    式(17)即為可以描述姿態(tài)角變化的微分方程組。

    2.5 爬坡動態(tài)特性分析

    將旋轉(zhuǎn)磁矢量所屬平面的法線nB(磁場軸線)調(diào)整為水平時,借助隨動效應(yīng),機器人的軸線n可以近乎時刻與nB重合,進而以主動模態(tài)完成爬坡運動。然而胃腸道空間并不寬裕,機器人在行進時難免受到胃腸壁刮蹭等環(huán)境干擾。將n與nB間的夾角σ作為反映機器人軸線偏離目標方位的目標函數(shù),其與姿態(tài)角α、β之間的數(shù)學關(guān)系為:

    給定初值不同的σ來模擬實際作業(yè)時受到的環(huán)境干擾,結(jié)合式(17)線性化后的微分方程組分析機器人軸線姿態(tài)回歸的能力。具體仿真參數(shù)如表1。

    表1 仿真參數(shù)取值

    從圖4中可以看到,在90°極限范圍內(nèi),無論初值σ選取多大,經(jīng)一段時間后都能收斂于0°,且σ的初值越小,其回歸的也越快。這表明受到干擾時,機器人具備回歸穩(wěn)態(tài)的能力,這為機器人的多場景穩(wěn)定行走提供了理論支持。

    圖4 不同初值時σ的時間響應(yīng)曲線

    3 爬坡運動平面動力學建模與爬坡能力分析

    3.1 前向爬坡動力學建模

    為了方便探究機器人的爬坡能力,可以建立不含姿態(tài)角的坡面運動動力學方程。如圖5所示,建立坐標系OX2Y2。

    圖5 球形機器人爬坡運動簡化模型

    取爬坡位移s為廣義坐標,滾動摩阻為M0,機器人繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為I1,滾過角度為φ。故有關(guān)系:

    考慮到軸承間粘性阻尼不可忽略,采用基于能量耗散的拉格朗日方程,形式如下:

    系統(tǒng)動能Ta為:

    取水平面為零勢能面,則任意位置的勢能Va為:

    耗散函數(shù)ψ:

    式中:k1為軸承間的粘性摩擦因數(shù)。

    機器人受到的主動力包括:耦合磁力矩T2、重力mg以及滾動摩阻M0。根據(jù)虛功原理,廣義力可表示為:

    式中:σ0為滾動摩阻系數(shù);引入符號函數(shù)sgn,旨在滾動摩阻方向時刻與角速度方向相反。

    最終可得到平面動力學方程:

    3.2 純滾動條件分析

    機器人在攀爬大角度時往往容易打破純滾動狀態(tài)而發(fā)生滑動甚至原地空轉(zhuǎn),這影響了機器人跟隨磁場的能力,造成和理論設(shè)定速度的偏差,產(chǎn)生速度損失,因此分析純滾動時的最大爬坡角度更具意義。機器人純滾動時,受力如圖6所示。

    圖6 膠囊機器人斜面純滾動時的受力模型

    假設(shè)機器人向右滾動,角加速度為α,質(zhì)心C的加速度為aC,靜摩擦力為f,靜摩擦因數(shù)為fs。根據(jù)動量矩定理可得[9]:

    式中:滾動摩阻M0=σ0mgcosθ;因為aCy=0,故aCx=aC;點P為速度瞬心,故有aC=αR。

    純滾動時滿足:f≤fsFN,也即f≤fsmgcosθ。結(jié)合上述條件,可得純滾動條件為:

    對式(27)進行整理,可得:

    3.3 爬坡能力仿真

    固定參數(shù)ω=12π rad/s,I1=1.78×10-7kg·m2,取磁場強度B0的仿真上限為12 mT[10-11],利用Matlab對式(25)進行仿真,得到圖7所示關(guān)系曲線。

    圖7 爬坡角度和磁場強度關(guān)系曲線

    可以看到,隨著磁場強度B0的增大,機器人的最大爬坡角度也變大,爬坡能力增強。

    保持磁場強度B0=8 mT,結(jié)合式(28),仿真得到各個爬坡角度下純滾動時所需的最小靜摩擦因數(shù)曲線。由圖8可知,爬坡角度越大,純滾動時所需的靜摩擦因數(shù)越大。當腸道環(huán)境達不到對應(yīng)爬坡角度所需的最小靜摩擦因數(shù)時,機器人便發(fā)生打滑甚至空轉(zhuǎn)。

    圖8 最小靜摩擦因數(shù)與角度關(guān)系曲線

    為更好地說明純滾動轉(zhuǎn)變?yōu)榛瑒拥臈l件,保持B0分別為8 mT、9 mT、11 mT,仿真得到圖9。人體腸道的靜摩擦因數(shù)fs為0.6左右[12],故以0.6作為對照值。當B0=8 mT時,由圖7可知,此時機器人的爬坡角度為17°,在圖9中找到17°時保證純滾動的最小靜摩擦因數(shù)fsmin=0.47,小于0.6,因此機器人可以按設(shè)定速度爬坡。同理,B0=9 mT對應(yīng)的坡角為21.5°,參照圖9,此時滿足純滾動所需的fsmin=0.54,同樣小于腸道可以提供的最大靜摩擦因數(shù)。當B0=11 mT時,爬坡角度為30°,此時純滾動所需的fsmin=0.725,大于腸道所能提供的最大靜摩擦因數(shù),因此機器人將發(fā)生打滑甚至空轉(zhuǎn)。

    圖9 不同B0對應(yīng)的爬坡角度與摩擦因數(shù)的關(guān)系曲線

    結(jié)合純滾動要素,繪制不同靜摩擦因數(shù)下機器人純滾動的最大爬坡角度與磁場強度關(guān)系曲線。從圖10可知,在幾種典型腸道靜摩擦因數(shù)中,靜摩擦因數(shù)越大,機器人的爬坡極限值越大,爬坡表現(xiàn)越好。

    圖10 典型靜摩擦因數(shù)下最大爬坡角度曲線

    4 結(jié)束語

    本文的創(chuàng)新點在于根據(jù)拉格朗日乘子法建立了磁驅(qū)動膠囊機器人主動模態(tài)爬坡時的完整動力學方程,通過仿真機器人軸線回歸預設(shè)方位情況說明了機器人的抗干擾能力;根據(jù)基于能量耗散的拉格朗日動力學原理建立二維爬坡動力學模型,結(jié)合純滾動條件仿真磁場強度與腸道靜摩擦系數(shù)對于爬坡能力的影響規(guī)律。

    仿真結(jié)果表明:機器人爬坡時具備良好的姿態(tài)回歸能力,其抗干擾特性為保證機器人爬坡的順利行走及穩(wěn)定圖像采集功能奠定了基礎(chǔ);在一定范圍內(nèi),磁場強度越大,機器人的爬坡表現(xiàn)越好,大的腸道靜摩擦因數(shù)將增大機器人的最大不打滑爬坡角度,這一結(jié)論對于改善機器人在大坡度時的打滑問題提供了解決思路,對于未來越障方面的研究也具有參考價值。

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