運(yùn)動(dòng)學(xué)約束下直線轉(zhuǎn)角非對(duì)稱平滑加工規(guī)劃

何昱龍 琚長江 楊根科 王成光

1.上海交通大學(xué)寧波人工智能研究院,寧波,315000 2.上海交通大學(xué)自動(dòng)化系，上海,200240 3.寧波工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)研究院,寧波,315000

0 引言

高速高精度加工一直是現(xiàn)代計(jì)算機(jī)數(shù)控系統(tǒng)亟待解決的問題，平滑的刀具路徑和進(jìn)給速率是實(shí)現(xiàn)所需加工質(zhì)量的關(guān)鍵。在計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)系統(tǒng)中，可以使用非均勻有理B樣條曲線等光滑樣條插補(bǔ)曲線來描述刀具軌跡[1]，計(jì)算機(jī)輔助制造系統(tǒng)常直接采用直線段(G01)擬合逼近曲線的方式輸出刀具軌跡[2-4]，零件的幾何外形也可能包含帶有轉(zhuǎn)角的長直線段刀具軌跡。直線段刀具軌跡在轉(zhuǎn)角處僅考慮了位置連續(xù)，忽略了速度與加速度的連續(xù)變化，在零件加工時(shí)，刀具在轉(zhuǎn)角處必須完全停止以避免驅(qū)動(dòng)器因超過機(jī)械極限而引起慣性振動(dòng)、破壞零件表面光潔度，導(dǎo)致加工效率低。

為平滑G01刀具軌跡，實(shí)現(xiàn)不間斷的連續(xù)運(yùn)動(dòng)，目前主要有兩種方法：全局平滑[5-6]與局部轉(zhuǎn)角平滑[2-4,7-12]。全局平滑將所有線性軌跡進(jìn)行擬合，生成連續(xù)參數(shù)刀具軌跡，計(jì)算量大[3]且難以評(píng)估平滑過程中產(chǎn)生的誤差；局部轉(zhuǎn)角平滑使用指定的參數(shù)曲線在定義的公差范圍內(nèi)混合相鄰的線段，計(jì)算量小，有利于誤差評(píng)估與實(shí)時(shí)計(jì)算。

一般局部轉(zhuǎn)角平滑研究[2-4]會(huì)分離幾何誤差約束與運(yùn)動(dòng)學(xué)約束，使平滑過程主要分成兩步：先插入?yún)?shù)曲線，然后規(guī)劃運(yùn)動(dòng)軌跡。這種方法僅考慮切向運(yùn)動(dòng)限制，造成執(zhí)行器大量性能損失，并且參數(shù)曲線的弧長難以解析，用弦長代替弧長會(huì)引入額外誤差造成速率波動(dòng)。為解決此問題，近年來出現(xiàn)一種不需要參數(shù)曲線擬合的轉(zhuǎn)角軌跡平滑方法，該方法在刀具軌跡平滑規(guī)劃的同時(shí)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃。TAJIMA等[8]提出了兩種基于運(yùn)動(dòng)學(xué)的轉(zhuǎn)角平滑規(guī)劃方法，并在文獻(xiàn)[6]中加以優(yōu)化，生成了加加速度限制下的加速度不間斷轉(zhuǎn)角平滑軌跡。一般情況下，G01轉(zhuǎn)角開始和結(jié)束所在直線運(yùn)動(dòng)學(xué)約束并不相同，TAJIMA等[6]提出的轉(zhuǎn)角平滑方法基于直線轉(zhuǎn)角運(yùn)動(dòng)開始與結(jié)束時(shí)進(jìn)給速率與加速度大小相同的對(duì)稱假設(shè)，無法充分利用執(zhí)行器性能。為此，ZHANG等[9]提出了一種直接生成非對(duì)稱時(shí)間最優(yōu)的轉(zhuǎn)角平滑軌跡方法，但忽略了加速度的突變。WANG等[11]提出了基于整體加工時(shí)間優(yōu)化的非對(duì)稱轉(zhuǎn)角平滑規(guī)劃方法，相比文獻(xiàn)[8]可以取得更好的效果，但在求解過程中需要多次迭代，不適用于實(shí)時(shí)計(jì)算轉(zhuǎn)角平滑軌跡生成。ZHANG等[10]提出了一種直線段進(jìn)給速率混合的方法，實(shí)現(xiàn)了非對(duì)稱的轉(zhuǎn)角平滑規(guī)劃，但轉(zhuǎn)角處加加速度的約束過強(qiáng)制約了執(zhí)行器性能的發(fā)揮。

本文對(duì)可以達(dá)到給定進(jìn)給速率的平面G01刀具軌跡進(jìn)行了研究。在S型速度軌跡規(guī)劃的前提下，通過對(duì)轉(zhuǎn)角處運(yùn)動(dòng)學(xué)和幾何誤差約束的分析，提出一種直線轉(zhuǎn)角的非對(duì)稱平滑規(guī)劃方法，實(shí)現(xiàn)進(jìn)給速率與刀具軌跡的同時(shí)規(guī)劃，利用軸向加加速度與誤差約束解算準(zhǔn)時(shí)間最優(yōu)的刀具軌跡轉(zhuǎn)角平滑參數(shù)。

1 單軸初末速度、加速度不為零的S型速度軌跡規(guī)劃

S型速度軌跡規(guī)劃又稱加加速度限制速度軌跡規(guī)劃，引入了加加速度限制使加速度連續(xù)，從而使速度軌跡具有柔性，有效抑制運(yùn)動(dòng)中的殘余振動(dòng)[12-13]。完整的S型速度規(guī)劃分為以下7個(gè)階段：加速度增加階段(Ⅰ階段)、加速度恒定階段(Ⅱ階段)、加速度減小階段(Ⅲ階段)，速度(速率)恒定階段(Ⅳ階段)、減速度增加階段(Ⅴ階段)、減速度恒定階段(Ⅵ階段)，減速度減小階段(Ⅶ階段)，如圖1所示。其中，階段Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ統(tǒng)稱加速階段，階段Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ統(tǒng)稱減速階段。

圖1 七段式S型速度軌跡

在初末速度、加速度不為零的運(yùn)動(dòng)中，系統(tǒng)給定最大速度為vmax，最大加速度為amax，最大加加速度為jmax，則運(yùn)動(dòng)過程可描述為從給定開始速度vs(0

主要分析加速段(Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ)的運(yùn)動(dòng)輪廓，從vs(vs

圖2 四種加速段情況

首先給出階段Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ均存在的加速段加加速度、加速度和速度的運(yùn)動(dòng)軌跡方程：

(1)

(2)

(3)

v2=v1+amaxT2a

式中，J(t)、A(t)、V(t)分別為t時(shí)刻的加加速度、加速度、速度；i=Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ表示不同的運(yùn)動(dòng)階段；τi=t-ti，ti為第i階段的結(jié)束時(shí)間；Tia為第i階段的持續(xù)時(shí)間；vi為第i階段結(jié)束時(shí)的速度。

下面介紹各時(shí)間段的求解方法。加速段速度差值Δv=vmax-vs，定義Δvf為as以最大加加速度直接減為0時(shí)速度的改變量，即滿足

(4)

當(dāng)Δv=Δvf時(shí)，僅階段Ⅲ存在，則有

T1a=T2a=0T3a=as/jmax

(5)

當(dāng)Δv<Δvf時(shí)，加速度先減小后增大，加速段不存在此情況；當(dāng)Δv>Δvf時(shí)，T2a存在的條件為

若as

(6)

當(dāng)as=amax時(shí)，階段Ⅱ、Ⅲ存在，T1a=0，T2a、T3a的計(jì)算公式同式(6)。

(7)

T1a、T3a分別為

(8)

減速段同理，不再贅述。作為特例，初末速度加速度為零的S型速度軌跡規(guī)劃，可令vs=ve=as=ae=0獲得。

2 平面直線轉(zhuǎn)角非對(duì)稱平滑規(guī)劃建模

經(jīng)過不同直線段的相交處時(shí)，允許轉(zhuǎn)彎速度不完全減為零，以減少電機(jī)的頻繁啟停，提高運(yùn)動(dòng)效率。

2.1 直線轉(zhuǎn)角的非對(duì)稱平滑規(guī)劃軌跡

如圖3所示，兩直線交點(diǎn)為Pc，es和ee分別表示兩條直線上運(yùn)動(dòng)方向的單位向量，θs和θe分別為兩向量與x軸正向夾角；ε為給定的轉(zhuǎn)角點(diǎn)Pc到轉(zhuǎn)角平滑曲線的最大容許誤差；Ps和Pe分別為轉(zhuǎn)角平滑運(yùn)動(dòng)的開始點(diǎn)與結(jié)束點(diǎn)，Vs、As分別為開始點(diǎn)處的速度與加速度，大小為Vs、As，PsPc為開始點(diǎn)到轉(zhuǎn)角點(diǎn)的位移，長度為ls；Ve、Ae分別為結(jié)束點(diǎn)處的速度與加速度，大小為Ve、Ae；PcPe為轉(zhuǎn)角點(diǎn)到結(jié)束點(diǎn)的位移, 長度為le；J為轉(zhuǎn)角平滑時(shí)的加加速度，J=Js+Je=jses+jeee，Js、Je分別為J在es和ee方向上的投影，大小為js、je。在單次直線轉(zhuǎn)角平滑過程中，js與je保持不變。可寫為

圖3 直線轉(zhuǎn)角的非對(duì)稱平滑規(guī)劃軌跡示意圖

(9)

在轉(zhuǎn)角平滑運(yùn)動(dòng)過程中，其矢量運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可寫為

(10)

其中，τ∈[0,Tc]；Tc為直線轉(zhuǎn)角平滑過程的持續(xù)時(shí)間；Aτ、Vτ、Sτ分別為τ時(shí)刻的加速度、速度與位移；Vτs、Vτe分別為τ時(shí)刻Vτ在es和ee上的分量。τ時(shí)刻的矢量合成圖見圖4。

圖4 直線轉(zhuǎn)角非對(duì)稱平滑規(guī)劃中運(yùn)動(dòng)學(xué)矢量合成示意圖

當(dāng)τ=Tc時(shí)，轉(zhuǎn)角平滑運(yùn)動(dòng)結(jié)束。將τ=Tc代入式(10)，并將以上運(yùn)動(dòng)學(xué)矢量分別向es和ee方向投影，聯(lián)立式(9)可獲得轉(zhuǎn)角平滑運(yùn)動(dòng)的邊界處參數(shù)ls、le、As、Ae、Vs、Ve與js、je、Tc的關(guān)系：

(11)

在轉(zhuǎn)角平滑的運(yùn)動(dòng)過程中，任意τ時(shí)刻到Pc距離的平方為

(12)

設(shè)τε時(shí)刻為轉(zhuǎn)角運(yùn)動(dòng)平滑過程中距離Pc最近的時(shí)刻，則有

‖PcPτ‖2≥‖PcPτε‖2

(13)

提高最大容許誤差有利于提高加工效率[8,11]，故令‖PcPτε‖2=ε。由于τε的計(jì)算過程復(fù)雜，故基于式(12)和式(13)的特殊形式，選擇τ=Tc/2處的軌跡點(diǎn)與Pc的距離為最大容許誤差的邊界值，即‖PcPTc/2‖2=ε，這保證了轉(zhuǎn)角平滑軌跡在規(guī)定的誤差范圍內(nèi)，即

‖PcPτε‖2≤‖PcPTc/2‖2=ε

(14)

基于式(12)與式(14)，可用js、je對(duì)Tc進(jìn)行解析表示，即

(15)

聯(lián)立式(14)與式(17)，可通過js、je兩個(gè)決策參數(shù)對(duì)直線轉(zhuǎn)角平滑的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行描述。

2.2 非對(duì)稱直線轉(zhuǎn)角平滑規(guī)劃參數(shù)的確定

一般情況下，在平面的直線運(yùn)動(dòng)中，由于需要對(duì)x、y軸的速度進(jìn)行耦合，為實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)時(shí)間最優(yōu)，僅能達(dá)到單軸運(yùn)動(dòng)學(xué)極限，此時(shí)有

(16)

式中，Ams、Ame分別為轉(zhuǎn)角開始與結(jié)束所在直線段的直線運(yùn)動(dòng)中的加速度邊界；Jms、Jme為加加速度邊界；Amx、Amy分別為x軸與y軸的軸向加速度極限；Jmx、Jmy為軸向加加速度極限。

在轉(zhuǎn)彎過程中，可能同時(shí)達(dá)到x、y軸的加加速度極限，即

(17)

由于Vs與Js同向，Ve與Je同向，且在加工過程中，速度方向恒為正向，則有

js>0je>0

(18)

為確定轉(zhuǎn)角平滑時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡，需要確定js、je，即針對(duì)式(17)的求解。隨著θs與θe的變化，在式(18)的約束下，式(17)的解出現(xiàn)無解、單解、雙解三種情況，在無解情況下需要進(jìn)行修正，此時(shí)僅能滿足單軸加加速度極限。三種情況對(duì)應(yīng)的軸向加加速度分解如圖5所示。

(a)無解 (b)無解修正

為求解js、je，并充分利用x軸與y軸的軸向加加速度極限，本文采用以下兩種優(yōu)化模型。

(1)模型1?；谒俣鹊姆菍?duì)稱運(yùn)動(dòng)學(xué)直線轉(zhuǎn)角平滑(velocity-based asymmetrical kinematics corner smooth，ASKCS-v)，即最大化直線轉(zhuǎn)角開始與結(jié)束時(shí)的進(jìn)給速率和：

max(Vs+Ve)

(20)

注意到此約束中存在等式，且Vs、Ve和Tc均可由js和je表示，可將模型簡(jiǎn)化為

(21)

(2)模型2?；诩蛹铀俣鹊姆菍?duì)稱直線轉(zhuǎn)角平滑(jerk-based asymmetrical kinematics corner smooth，ASKCS-j)，即最大化直線轉(zhuǎn)角開始段與結(jié)束段的加加速度較小值：

(22)

在轉(zhuǎn)角處，不需要多軸的耦合，為了實(shí)現(xiàn)加速度的連續(xù)變化，仍需要對(duì)加速度進(jìn)行單軸極限的限制，即

(23)

其中，A′ms、A′me分別為開始與結(jié)束所在直線段的直線運(yùn)動(dòng)中可達(dá)到的最大加速度，F(xiàn)為最大進(jìn)給速率。若超過約束，則重新修正轉(zhuǎn)角時(shí)間:

(24)

在轉(zhuǎn)角平滑的過程中，由于最大容許誤差的存在，轉(zhuǎn)彎處的允許進(jìn)給速率較小，一般無法達(dá)到給定的進(jìn)給速度，如果轉(zhuǎn)角鈍化嚴(yán)重，即|θe-θs|趨近于180°，出現(xiàn)Vs>F，在這種情況下，令Vs=Ve=F，As=Ae=0，根據(jù)文獻(xiàn)[8]所述方式在轉(zhuǎn)角處進(jìn)行平滑規(guī)劃。

3 優(yōu)化模型求解

ASKCS-v(模型1)包含高次項(xiàng)，采用序列最小二乘規(guī)劃算法進(jìn)行迭代求解。

ASKCS-j(模型2)為簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，最優(yōu)解存在于邊界，求解步驟如下：

(1)求解式(17)可得4個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)(jsi,jei),i=1,2,3,4。

(3)令mini=min(jsi,jei)，i=0,1,…,4，記k為{mini}中最大值的下標(biāo)，(jsk,jek)即目標(biāo)解，結(jié)束。

兩種優(yōu)化模型均旨在獲得轉(zhuǎn)角處的最大進(jìn)給速率以滿足速度規(guī)劃中的準(zhǔn)時(shí)間最優(yōu)。ASKCS-v優(yōu)化模型納入對(duì)Tc的考慮，進(jìn)一步約束了轉(zhuǎn)角平滑過程；ASKCS-j為簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，求解簡(jiǎn)單，有利于進(jìn)行轉(zhuǎn)角平滑軌跡的實(shí)時(shí)規(guī)劃。

4 仿真分析與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

首先在單轉(zhuǎn)角刀具軌跡中對(duì)比ASKCS-v與ASKCS-j在各種轉(zhuǎn)彎角度下的性能表現(xiàn)，然后在連續(xù)轉(zhuǎn)角刀具軌跡中將ASKCS-j與文獻(xiàn)[6]中的對(duì)稱轉(zhuǎn)角平滑(symmetrical kinematics corner smooth，SKCS)算法進(jìn)行對(duì)比。

4.1 單轉(zhuǎn)角對(duì)比分析

兩條直線段P0P1和P1P2構(gòu)成的單轉(zhuǎn)角刀具軌跡如圖6a所示，兩條直線段長度均為40 mm，最大進(jìn)給速率Fm=100 mm/s，規(guī)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為從P0處完全靜止(速度與加速度均為0)開始到P2處完全靜止結(jié)束，P1P2與x軸正向的夾角從15°到170°變化。對(duì)比了ASKCS-v與ASKCS-j在最大容許誤差ε=0.02 mm的情況下，給定不同軸向加速度與軸向加加速度極限(具體數(shù)值在圖6a中已給出)的加工時(shí)間，并將文獻(xiàn)[10]的進(jìn)給速率混合(feedrate blengding method, FBM)和運(yùn)動(dòng)在轉(zhuǎn)角處完全靜止(point to point, PTP)的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃方法納入對(duì)比，仿真結(jié)果如圖6b～圖6f所示。對(duì)比了ASKCS-j在Amx=1 m/s2,Amy=2 m/s2,Jmx=20 m/s3,Jmy=10 m/s3的條件下，不同最大容許誤差(具體數(shù)值圖中已給出)約束下的加工時(shí)間，結(jié)果如圖7所示。

(a)單轉(zhuǎn)角刀具軌跡 (b)Amx=1 m/s2 ，Amy=1 m/s2Jmx=10 m/s3，Jmy=10 m/s3 (c)Amx=1 m/s2，Amy=2 m/s2Jmx=10 m/s3，Jmy=20 m/s3

圖7 不同誤差約束下ASKCS-j單轉(zhuǎn)角加工時(shí)間對(duì)比

由圖6b～圖6f可看出，相比PTP的規(guī)劃方法，F(xiàn)BM、ASKCS-v與ASKCS-j在加工時(shí)間上均有減少，當(dāng)兩直線夾角為銳角時(shí)，ASKCS-v與ASKCS-j可以節(jié)省更多的加工時(shí)間；在加工時(shí)間方面，ASKCS-v在銳角情況下略優(yōu)于ASKCS-j，但在求解速度方面，ASKCS-j明顯快于ASKCS-v，在工程上可進(jìn)行實(shí)時(shí)的轉(zhuǎn)角平滑規(guī)劃。由圖7可看出，當(dāng)最大允許誤差增大時(shí)，加工時(shí)間縮短，這是由于提高最大允許誤差可以實(shí)現(xiàn)更大的進(jìn)給速率通過轉(zhuǎn)角。最大允許誤差的存在，柔滑了直線夾角，實(shí)現(xiàn)了加工過程中速率、加速度的連續(xù)性。

4.2 連續(xù)轉(zhuǎn)角對(duì)比分析

將ASKCS-j與SKCS用于圖8所示的“楓葉”刀具軌跡的轉(zhuǎn)角平滑中，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行了比較分析。“楓葉”刀具軌跡設(shè)有不同角度的轉(zhuǎn)彎，且路徑存在對(duì)稱性，有利于考察轉(zhuǎn)角平滑算法的綜合性能。

圖8 “楓葉”刀具軌跡

“楓葉”軌跡中的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束與最大允許誤差見表1；“楓葉”軌跡的坐標(biāo)與在直線運(yùn)動(dòng)中的運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界見表2；兩種平滑規(guī)劃方法在各轉(zhuǎn)角處的運(yùn)動(dòng)參數(shù)見表3；加工完給定的“楓葉”刀具軌跡的整體加工時(shí)間和在各轉(zhuǎn)角處最大誤差的平均值見表4；部分轉(zhuǎn)角處的平滑軌跡如圖9所示?！皸魅~”刀具軌跡中的運(yùn)動(dòng)學(xué)軌跡曲線(局部)如圖10所示。

表1 “楓葉”刀具軌跡中的約束

表2 直線段坐標(biāo)及直線運(yùn)動(dòng)中的運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界

表3 轉(zhuǎn)角處的運(yùn)動(dòng)參數(shù)

表4 加工時(shí)間與轉(zhuǎn)角誤差平均值

(a)轉(zhuǎn)角(1)

(a)進(jìn)給速率

上述仿真結(jié)果表明，基于兩種模型的規(guī)劃方法均將軸向加加速度約束在給定范圍內(nèi)，實(shí)現(xiàn)了進(jìn)給速率與軸向加速度的連續(xù)變化；相比SKCS，本文提出的ASKCS-j在轉(zhuǎn)角處更能充分利用執(zhí)行器的性能，縮短運(yùn)動(dòng)時(shí)間，獲得更平滑的軌跡，將刀具軌跡的整體加工時(shí)間縮短了2.3%，最大誤差平均值減小了13%。可見，ASKCS-j可以在運(yùn)動(dòng)學(xué)與幾何誤差約束下提供更準(zhǔn)確的軌跡，并能提供更短的加工時(shí)間，滿足高速高精度加工需求。

4.3 樣機(jī)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證ASKCS-j方法的有效性，搭建了圖11所示的運(yùn)動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，該平臺(tái)主要采用倍福twincat3運(yùn)動(dòng)控制軟件、三菱PLC和松下伺服驅(qū)動(dòng)器和伺服電機(jī)(型號(hào)MINAS-A6B)。

圖11 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)實(shí)物圖

設(shè)定系統(tǒng)參數(shù)，進(jìn)給速度最大為100 mm/s,允許最大誤差為0.04 mm,x軸與y軸的加速度與加加速度分別為Amx=2 m/s2，Amy=2 m/s2,Jmx=50 m/s3，Jmy=50 m/s3。加工實(shí)驗(yàn)軌跡參考圖見圖12a，實(shí)際加工情況如圖12b所示;仿真進(jìn)給速率變化如圖12c所示，實(shí)際加工過程中的進(jìn)給速度圖見圖12d。

(a)實(shí)驗(yàn)參考軌跡 (b)實(shí)際加工情況

如圖12c、圖12d所示，ASKCS-j仿真過程的整體運(yùn)動(dòng)時(shí)間為7.52 s，實(shí)際運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為7.74 s，仿真結(jié)果與實(shí)際結(jié)果在運(yùn)動(dòng)速度、運(yùn)動(dòng)時(shí)間存在差距，這是由于實(shí)際的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)為離散系統(tǒng)，針對(duì)連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行采樣的周期固定，造成部分?jǐn)?shù)據(jù)點(diǎn)丟失；同時(shí)在運(yùn)動(dòng)過程中存在實(shí)際慣量、摩擦等多方面物理因素，造成運(yùn)動(dòng)過程的抖動(dòng)，但仿真結(jié)果與實(shí)際結(jié)果差距在一定的范圍內(nèi)，可以認(rèn)為實(shí)際結(jié)果與仿真結(jié)果相同。因此，本文方法保證了加工過程中進(jìn)給速率的連續(xù)變化，并實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)角過程中進(jìn)給速率不完全減為0，減少電機(jī)的頻繁啟停，提高了加工效率。

5 結(jié)語

本文針對(duì)直線段刀具軌跡的非對(duì)稱轉(zhuǎn)角平滑規(guī)劃進(jìn)行研究，通過運(yùn)動(dòng)學(xué)分析提出了一類兩種指標(biāo)下可解析的加加速度有限的直線轉(zhuǎn)角非對(duì)稱平滑規(guī)劃方法，通過仿真實(shí)驗(yàn)與樣機(jī)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該類方法的可行性與有效性。該規(guī)劃方法可以同時(shí)實(shí)現(xiàn)進(jìn)給速率與刀具軌跡的平滑規(guī)劃，獲得連續(xù)變化的進(jìn)給速率和軸向加速度變化曲線；充分利用驅(qū)動(dòng)器的性能，無需迭代直接解析轉(zhuǎn)角平滑時(shí)的軌跡參數(shù)，得到更好的、非對(duì)稱的轉(zhuǎn)彎平滑軌跡，相比對(duì)稱轉(zhuǎn)角平滑規(guī)劃，本文方法具有更小的誤差和更短的加工時(shí)間的優(yōu)點(diǎn)，能夠滿足高速高精度加工的需求。本文方法以兩軸平面直線加工為研究基礎(chǔ)，可推廣到笛卡兒坐標(biāo)系下任一平面的直線加工，三軸及三軸以上的加工也可考慮采用本文方法。