基于Simulink 的水箱加熱過程模擬與分析

謝天

（廣東省建筑設(shè)計研究院有限公司，廣東 廣州 510010）

0 引言

水箱是空調(diào)系統(tǒng)中的常用設(shè)備，根據(jù)功能可以將其分為膨脹水箱、緩沖水箱和蓄能水箱?？照{(diào)系統(tǒng)中的水箱通常同時負(fù)責(zé)多種功能，水箱的設(shè)計過程往往需要綜合考慮定壓補(bǔ)水、提高系統(tǒng)水量和穩(wěn)定出水溫度等多種要求。在采暖季，通常需要在水箱內(nèi)部設(shè)置加熱器以穩(wěn)定出水溫度，加熱器以及溫度傳感器的放置位置會影響水箱出水溫度的波動偏差。因此，本文利用Simulink 模擬分析方法，考慮加熱器和傳感器的實(shí)際響應(yīng)時間，以探究水箱內(nèi)部加熱器和溫度傳感器的最佳放置位置。

1 模型描述及簡化

本文主要探討的問題是在只通過加熱器的啟停控制（on/off）來保證水箱出水溫度的相對穩(wěn)定時，加熱器及溫度傳感器的最佳放置位置。模擬水箱加熱過程需要先建立水箱模型，本文以長為0.25m，寬為0.25m，高為0.5m 的水箱作為模型，水箱材料假設(shè)為鋁。水箱進(jìn)水和出水流量平衡為2kg/s，水箱進(jìn)水溫度為tin=20℃，水箱出水口溫度設(shè)置為tset=60℃，溫度傳感器的回差為Δt=1℃；水箱懸空，底部距離地板0.5m；空氣溫度t0=20℃。

加熱器加熱過程水箱的水溫為非均勻分布，加熱器附近的水溫較高，通過導(dǎo)熱和對流作用逐漸加熱其他水體。由于實(shí)際加熱過程的水溫在三維空間上為非均勻分布，直接對其加熱過程進(jìn)行模擬會導(dǎo)致模型過于復(fù)雜，計算速度慢。本文假定水箱中的水體在相同高度上溫度相同，將三維問題簡化成二維問題。由于水箱中相近高度的水溫幾乎相同，為了減少計算量，本文采用水層高度相近且水溫相近的水體，并采用水層的平均溫度作為水層的水溫?；谇拔乃淠Ｐ偷母叨葦?shù)據(jù)，本文將水箱分為5 層，認(rèn)為每層水體的水溫相同。簡化后的水箱模型如圖1 所示。

圖1 模型

在只通過控制加熱器的on/off 來保證出水口處水溫較恒定時，影響該模型的主要因素有以下三點(diǎn)：加熱器的時間常數(shù)；溫度傳感器的時間常數(shù)以及加熱器的加熱量。

2 模型求解

2.1 傳熱系數(shù)的求解

2.1.1 水箱與空氣之間的傳熱系數(shù)

本模型中假設(shè)水箱壁溫與水溫相等，故不同水層所對應(yīng)的壁溫不同。由傳熱學(xué)知識可得，水箱壁與空氣之間進(jìn)行自然對流傳熱，故采用自然對流傳熱準(zhǔn)則關(guān)聯(lián)式[1]，如式（1）、式（2）所示。

式中：Ra——瑞利準(zhǔn)則[2]，Ra=Gr·Pr；Gr——格拉曉夫準(zhǔn)則[3]；α——體積膨脹系數(shù)，1/K；ν——運(yùn)動粘度，m2/s；l——定型尺寸，m；Δt——壁溫與空氣溫度之差，℃；C、n——由實(shí)驗(yàn)確定的常數(shù)，各式的定性溫度為tm=（t1+t0）/2。各種條件下的C、n 取值參考文獻(xiàn)[4]內(nèi)相關(guān)數(shù)值。

經(jīng)過分析，水箱側(cè)面應(yīng)該按豎平壁的對流換熱條件計算，水箱下側(cè)壁面按熱面朝下的水平壁的對流換熱條件計算，水箱上側(cè)表面按熱面朝上的水平壁的對流換熱條件計算。由于水箱中各水層的水溫不是恒定，故取dτ 時間內(nèi)進(jìn)行分析，認(rèn)為短暫時間內(nèi)各水層的水溫是恒定的，故第一層水層與空氣接觸面包含下側(cè)壁面與側(cè)面，對流換熱系數(shù)的計算如式（3）～式（5）所示。

其中：U1——第一層水層與空氣的對流換熱系數(shù)，W/K；U1x——第一層水層下側(cè)面與空氣的對流換熱系數(shù)，W/K；U1c——第一層水層側(cè)面與空氣的對流換熱系數(shù)，W/K；Nu1x——下壁面的努謝爾特準(zhǔn)則數(shù)；Nu1c——側(cè)壁面的努謝爾特準(zhǔn)則數(shù)，其中的定性溫度是個變量，通過simulink 即時更換壁面溫度計算而得；λ1x、λ1c——定性溫度下的空氣導(dǎo)熱系數(shù)，W/（m·K）。同理，由上述分析可知，第二至第四水層只有側(cè)面與空氣進(jìn)行對流換熱，對流換熱系數(shù)的計算如式（6）所示。

其中：j——第j 層水層。

第5 層水層與空氣進(jìn)行熱交換的壁面包含側(cè)壁和上壁，故其與空氣的換熱系數(shù)如式（7）～式（9）所示。

其中：s——水箱上壁面。

以上水箱與空氣的對流換熱系數(shù)計算可通過Simulink 搭建模型實(shí)現(xiàn)，并根據(jù)傳熱學(xué)知識得到C、n 值進(jìn)而可以計算出各水層各壁面的努謝爾特準(zhǔn)則數(shù)，從而求得各個時刻的水箱各部分與空氣的對流換熱系數(shù)。

2.1.2 水層之間的換熱系數(shù)

由于兩層水間的傳熱系數(shù)與兩層水間的自然對流狀況有關(guān)，當(dāng)上層水溫較高時，認(rèn)為兩層水層之間只進(jìn)行簡單熱傳導(dǎo)，由傅里葉導(dǎo)熱方程計算式（10）[4]。

其中：φj——第j 層與第j+1 層水層間的導(dǎo)熱量，W；λj——第j 層水層的導(dǎo)熱系數(shù)，W/（m·K），由定性溫度tmj=（tj+tj+1）/2 確定；δj——第j 層水層的厚度，m；Mj=λj/δj——第j 層與第j+1 層水層間的換熱系數(shù)，W/K。

當(dāng)下層水溫較高時，兩層水層之間進(jìn)行較為強(qiáng)烈的熱交換，水層之間的換熱系數(shù)按式（11）計算。

其中：Δt——水層間溫差，℃，即Δt=|tj-tj+1|。

2.1.3 加熱器與所在水層之間的換熱系數(shù)

本模型加熱器簡化為長Lh=20cm，直徑dh=2cm 的四根并排鐵棍，置于某被加熱水層的中間。查閱資料可得：鐵的密度為7272kg/m3，鐵的比熱容為420J/（kg·K）。故加熱器熱容Ch按式（12）計算。

其中：mh=ρhVh是加熱器是質(zhì)量，kg。

由于電加熱器工作時，熱量在電加熱器上釋放，使其本身溫度升高，然后依靠加熱器與水間的溫差把熱量傳給水，這導(dǎo)致加熱器與水在獲取熱量上的不同步。加熱器傳熱過程方程如式（13）所示。

其中：Q——傳熱器的工作功率，W；Uh-w——加熱器與水間的換熱系數(shù)，W/K；tj——加熱器所在水層的水溫，℃。

由式（13）可得到加熱器的時間常數(shù)Th=Ch/Uh-w。該參數(shù)可通過對加熱器進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測得，在本模型中，加熱器的時間常數(shù)假定已知，故可以求得加熱器與水之間的傳熱系數(shù)。

2.1.4 溫度傳感器的傳熱系數(shù)

溫度傳感器是通過與水箱中的水進(jìn)行熱交換而感知水的溫度，故傳熱器與水之間的傳熱方程如式（14）所示[5]。

其中：Cs——傳感器的熱容，J/k；Us——傳感器與水之間的換熱系數(shù)，W/K。定義傳感器的時間常數(shù)為：Ts=Cs/Us，可通過實(shí)驗(yàn)測得使用的傳感器時間常數(shù)，在本模型中直接給定傳感器的時間常數(shù)。

2.2 模型涉及的方程

每個水層可能設(shè)涉及的傳熱對象有：與空氣的換熱；與上下水層之間的換熱；與加熱器的換熱器過程；水層之間的水流動產(chǎn)生的換熱；與傳感器之間的換熱，由于傳感器的換熱量較少，本模型中忽略水層與傳感器的換熱。對上述換熱過程進(jìn)行分析，可得第j 水層的傳熱方程如式（15）所示。

其中：hj——加熱器的安裝標(biāo)志，當(dāng)j 層安裝有加熱器時，hj=1，否則，hj=0；Mj-1——第j 層水層與第j-1 層水層之間的換熱系數(shù)，W/K；Mj——第j+1 層水層與第j 層水層之間的換熱系數(shù)，W/K。

2.3 模型的求解

通過上述分析，可發(fā)現(xiàn)本模型中，傳感器和加熱器都分別可以設(shè)置于五個水層，故會產(chǎn)生25 種實(shí)際模型。以下以其中一個實(shí)際模型為例，進(jìn)行求解。設(shè)該模型的加熱器設(shè)置在第一層，傳感器設(shè)置在第五水層，模型中所涉及的傳熱方程如式（16）所示。

對上述式子進(jìn)行拉普拉斯變換[6]后，可在Simulink中建立上述模型的閉環(huán)傳遞函數(shù)。同理，可得其余24種水箱模型在simulink 中的閉環(huán)傳遞函數(shù)。由于本模型主要研究的問題是傳感器和加熱器放置在何種位置時，出水口水溫的控制效果最好，從前文的分析可知，影響出控制效果的因素可能有傳感器和加熱器的時間常數(shù)以及加熱器的加熱功率，故本模型運(yùn)用Simulink模擬，找出不同時間常數(shù)和加熱功率下產(chǎn)生最好控制效果時，傳感器和加熱器的放置位置。本模型分別設(shè)置加熱器時間常數(shù)Th=5s、10s、30s；加熱器功率Q=2000W、3000W、3500W；傳感器時間常數(shù)Ts=2s、10s、100s。

3 計算結(jié)果與分析

通過Simulink 對模型進(jìn)行仿真，發(fā)現(xiàn)當(dāng)傳感器置于加熱器所在水層之下時，加熱器底部水層溫度較低，上層水溫較高，水層之間的傳熱系數(shù)很低，導(dǎo)致底層水溫?zé)o法達(dá)到加熱器停止加熱的溫度，故加熱器一直處于開啟狀態(tài)，此時的出水口處水溫遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離設(shè)定值，故不可以將傳感器放于加熱器所在水層之下。

對傳感器放于加熱器水層之上的所有情況進(jìn)行仿真后發(fā)現(xiàn)，傳感器所在水層越接近加熱器所在水層則出口處的水溫波動越小。但也會導(dǎo)致加熱器的啟停周期越小，綜合考慮后取傳感器在加熱器上一層水層中為較優(yōu)放置位置，能在保證出水口溫度波動較為穩(wěn)定的同時減小加熱器的啟停頻率。

將所有傳感器位于加熱器上一層水層的仿真結(jié)果進(jìn)行對比后發(fā)現(xiàn)，改變加熱器的時間常數(shù)和加熱量，或者改變傳感器的時間常數(shù)，都是加熱器在第一水層，傳感器在第二水層時，出水口水溫的波動最?。辉赥h、Q、Ts不變時，只要加熱器和傳感器的相對位置不變，則不論加熱器和傳感器的具體位置如何變化，出水口處的水溫波動周期近似相等，即在加熱器和傳感器相對位置不變時，加熱器的啟停頻率與加熱器的具體位置放置水層無關(guān)。

4 結(jié)語

通過Simulink 對水箱中加熱器的加熱功率、加熱器和溫度傳感器的放置位置以及時間常數(shù)的多種組合進(jìn)行模擬分析，結(jié)果表明，加熱器放置在溫度傳感器的上一水層時，水箱的出水溫度最穩(wěn)定；當(dāng)加熱器與溫度傳感器的相對位置不發(fā)生變化時，水箱的出水溫度波動周期相似，但加熱器放置在出水口相同水層時，水箱出水溫度的波動范圍最小。因此，當(dāng)認(rèn)為水箱水溫不均勻時，要只通過加熱器的on/off 控制來保證出水口處水溫較恒定，加熱器最好設(shè)置在水箱出水口相同水層，溫度傳感器則設(shè)置在加熱器下一水層。