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    一道高考解析幾何題引發(fā)的頭腦風(fēng)暴
    ——探究圓錐曲線中定點(diǎn)、定值之間的微妙關(guān)系*

    2022-11-24 17:35:06胡蓓蓓江蘇省無錫市市北高級(jí)中學(xué)214000
    中學(xué)數(shù)學(xué)月刊 2022年10期
    關(guān)鍵詞:壓軸定值斜率

    胡蓓蓓 (江蘇省無錫市市北高級(jí)中學(xué) 214000)

    今年新高考全國I卷的解析幾何大題讓人頗感熟悉,筆者在二輪復(fù)習(xí)備考中,就曾以2020年新高考全國I卷的解幾壓軸題為引,在課堂上借助思維導(dǎo)圖,組織了一場(chǎng)關(guān)于“探究圓錐曲線中定點(diǎn)、定值之間微妙關(guān)系”的頭腦風(fēng)暴,帶領(lǐng)學(xué)生大膽猜想、驗(yàn)證,師生共同經(jīng)歷定點(diǎn)、定值問題的“前世今生”,從而深刻理解了這類經(jīng)典問題的來龍去脈.

    1 問題提出

    綜觀近年的高考試卷,圓錐曲線與方程的考點(diǎn)變化不大,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,同時(shí)需要學(xué)生在較短時(shí)間內(nèi)選擇合理的路徑,快速、準(zhǔn)確解題.高三復(fù)習(xí)時(shí)要強(qiáng)化這方面能力的訓(xùn)練,如果學(xué)生能夠?qū)馕鰩缀蔚牡湫徒Y(jié)論有所了解,常能快速捕捉到解題關(guān)鍵,找到解題思路,順利攻破壓軸題.

    (1)求橢圓C的方程;

    (2)點(diǎn)M,N在橢圓C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D為垂足,證明:存在定點(diǎn)Q,使得DQ為定值.

    作為高考考場(chǎng)上的壓軸題,如何最完美地完成這道題目是我們平時(shí)學(xué)習(xí)過程中需要共同探尋的,而如何完美地給學(xué)生呈現(xiàn)這道高質(zhì)量的高考?jí)狠S題,讓他們能夠更好地理解題意,以一題通百解,則正是我們?yōu)槿藥熣邞?yīng)該去思考的.

    2 問題分析

    引例已知A,B為拋物線y2=4x上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn),且滿足以AB為直徑的圓過頂點(diǎn).求證:直線AB過定點(diǎn).

    師生(分析):當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),易得過定點(diǎn);當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)lAB:y=kx+m,要證明直線過定點(diǎn),解題目標(biāo)就是設(shè)法建立k和m的關(guān)系,從而尋找到條件中的唯一等量關(guān)系——垂直.(板書詳細(xì)解題過程,略)

    師:接下來請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成2007年的山東高考解幾題——

    橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3,最小值為1.

    (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

    (2)若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)(A,B不是左右頂點(diǎn)),且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn),求證:直線l過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

    師:如果我們把橢圓方程一般化,定點(diǎn)還存在嗎?

    學(xué)生如醍醐灌頂:原來這個(gè)結(jié)論是可以一般化的.學(xué)生受到啟發(fā),進(jìn)一步思考:如果是雙曲線,是不是也有同樣的結(jié)論呢?教師首先肯定了學(xué)生的想法,繼而鼓勵(lì)他們繼續(xù)猜想.

    師:同學(xué)們,類比、歸納、猜想都是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要的思維方式,我們要學(xué)會(huì)利用已有的一些知識(shí)進(jìn)行大膽猜想,這樣我們就可以獲得更多更新的知識(shí),而這正是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的體現(xiàn).同學(xué)們?nèi)绻谄綍r(shí)就能注意這樣去思考、解決問題,我相信大家的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一定會(huì)越來越好,解決問題的能力也會(huì)越來越強(qiáng)!在猜想過程中,同學(xué)們可以橫向、縱向地進(jìn)行比較猜想,也可以正向、逆向進(jìn)行思考,還可以從特殊到一般地進(jìn)行歸納猜想,等等.好了,現(xiàn)在就請(qǐng)同學(xué)們插上思考的翅膀,一起盡情地猜想吧!

    3 問題推廣

    猜想1 若在圓錐曲線頂點(diǎn)處相互垂直的兩條直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),則直線AB必過定點(diǎn).

    猜想2 若圓錐曲線任意點(diǎn)處相互垂直的兩條直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),則直線AB必過定點(diǎn).

    猜想3 在圓錐曲線任意點(diǎn)處作兩條直線分別交圓錐曲線于A,B兩點(diǎn),若斜率之積為定值,則直線AB必過定點(diǎn).

    猜想4 在圓錐曲線任意點(diǎn)處作兩條直線分別交圓錐曲線于A,B兩點(diǎn),若直線AB過定點(diǎn),則兩條直線的斜率之積為定值.

    ……

    板書(即直線過定點(diǎn)?斜率之積為定值)

    師:恭喜同學(xué)們,你們的猜想都是正確的!剛才我們從特殊到一般進(jìn)行猜想,當(dāng)然也可以尋找特殊情況來驗(yàn)證自己的猜想是否正確,如猜想3.類比圓的圖象性質(zhì),橢圓的結(jié)論便一目了然(圖1).

    圖1

    請(qǐng)同學(xué)們課后完成兩個(gè)作業(yè):(1)運(yùn)用今天學(xué)習(xí)到的解析幾何通法證明一下自己的猜想或者其他同學(xué)的猜想;(2)從我們做過的高考真題或模擬題中,尋找一道與我們猜想的結(jié)論一致的解析幾何題,并把它解答出來,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)原來我們同學(xué)也是可以做命題老師的,而那些神秘的高考題,其實(shí)就是我們平時(shí)遇到的問題,并不可怕.

    最后老師也來猜想一個(gè)結(jié)論:如果我們把斜率之積改為斜率之和,又會(huì)有怎樣的結(jié)論呢?還是直線過定點(diǎn)嗎?

    我們同樣可以遵循前面的研究方法繼續(xù)探究.先從特殊的斜率之和為0的情況開始思考,會(huì)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)交點(diǎn)所在的直線并不過定點(diǎn),但是這條直線的斜率卻是一個(gè)定值.證明方法如圖2所示.

    圖2

    這正是解析幾何問題最典型的兩條思考途徑,今天的第三個(gè)作業(yè)就是請(qǐng)同學(xué)們課后把這兩種證明方法完整地書寫出來.而這恰恰正是今年新高考全國I卷解析幾何大題的出題背景.

    4 問題解決

    (1)求l的斜率;

    5 問題反思

    通過上述對(duì)定值、定點(diǎn)之間千絲萬縷微妙關(guān)系的梳理,我們?cè)賮砜?022年新高考I卷的這道解析幾何大題,發(fā)現(xiàn)它的身上同樣承載著啟動(dòng)一場(chǎng)盛大頭腦風(fēng)暴的重要使命:它是2021年新高考全國I卷的解幾壓軸題結(jié)構(gòu)的一個(gè)退化情形,其本質(zhì)相同.2021年的這道解析幾何題是圓錐曲線中的一個(gè)經(jīng)典性質(zhì),也是一個(gè)老生常談的結(jié)構(gòu),在以前諸多的數(shù)學(xué)聯(lián)賽及全國高考卷中屢見不鮮,大家可以查閱研究,如2011年全國II卷、2014年大綱卷等.而2022年考查的退化情形也是高考中的常見問題,如2009年遼寧卷、高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽卷中還考查了它的逆命題等.

    由此可見,在高三最后臨近高考的寶貴時(shí)間里,教師要精選典型例題,以高考題為載體,帶領(lǐng)學(xué)生跳出題海,唯有讓思維跳躍,才能讓學(xué)生從千頭萬緒的復(fù)習(xí)中抽身出來,獲得對(duì)問題的真知灼見,從而以不變應(yīng)萬變,從容應(yīng)對(duì)高考試題!

    6 教學(xué)反思

    最后筆者對(duì)本堂課的設(shè)計(jì)作如下簡單的教學(xué)反思:

    ·在課堂上開展問題探究活動(dòng),增強(qiáng)學(xué)生解決圓錐曲線問題的信心與能力,鞏固圓錐曲線的相關(guān)知識(shí)與方法.問題探究活動(dòng)的過程,不是簡單的一題多解,而是不斷優(yōu)化求解思路、促進(jìn)思維發(fā)展、提升核心素養(yǎng)的過程.

    ·探究活動(dòng)以小組形式開展,大家既有分工又有合作,還有小組交流和全班交流.每位學(xué)生都有參與學(xué)習(xí)和交流的機(jī)會(huì),即便一些基礎(chǔ)與學(xué)力較弱的學(xué)生也能獲得積極的情感體驗(yàn),提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣與動(dòng)力;而數(shù)學(xué)能力較強(qiáng)的學(xué)生更能發(fā)揮自己的特長與優(yōu)勢(shì),在帶領(lǐng)小組學(xué)習(xí)、交流的同時(shí),獲得成功的體驗(yàn).對(duì)教師而言,預(yù)估了學(xué)生提出的大部分解法和猜想,但也有很多學(xué)生的思維火花超出了教師準(zhǔn)備的教學(xué)內(nèi)容,屬于生成性教學(xué)資源,彌足珍貴.

    ·作業(yè)設(shè)計(jì)多元化.本節(jié)課安排的課后作業(yè)中既有反思類作業(yè)又有實(shí)際操作類作業(yè),既有研究類作業(yè)又有分層類作業(yè).通過開發(fā)多元化的作業(yè)任務(wù),既讓學(xué)生把課堂內(nèi)容回顧一遍,又能有所延伸,把很多課上來不及仔細(xì)思考的內(nèi)容變成學(xué)生的作業(yè),充分發(fā)揮其自主學(xué)習(xí)力,一箭雙雕,讓作業(yè)與課堂一起熠熠生輝.

    ·課堂活動(dòng)評(píng)價(jià)采用自評(píng)、小組成員互評(píng)和教師評(píng)價(jià)的綜合評(píng)價(jià)方式,能夠更加客觀地對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)行為進(jìn)行評(píng)價(jià),形成較為完善的評(píng)價(jià)機(jī)制.

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