整體建構視角下概念教學實踐與思考
——以“函數(shù)”教學為例

王 明 (江蘇省昆山市第二中學 吳海寧初中數(shù)學名師工作室 215316)

《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》(以下簡稱《課標》)提出：數(shù)學知識的教學，要注重知識的“生長點”與“延伸點”，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結構和體系，處理好局部與整體知識的關系，引導學生感受數(shù)學的整體性．其中，數(shù)學概念形成是以學生的直接經(jīng)驗為基礎用歸納的方法抽取出一類實物的共同屬性，從而達到對概念的理解．因此，我們在日常數(shù)學教學活動中必須基于學生已有知識經(jīng)驗，找到知識生長點，設計好生長架構，規(guī)劃好生長路徑，攀登思維生長高點，改變我們過去課堂教學中“課時孤立化”“知識碎片化”“方法技巧化”的現(xiàn)象．筆者在一次市級展示課活動中執(zhí)教了一節(jié)蘇科版八年級上冊第六章第1節(jié)“函數(shù)”的概念課，回顧此次活動歷程，將教學備課、教學實施及反思整理成文，與同行分享．

1 關于備課的一些思考

1.1 學情分析

八年級學生具備一定的邏輯推理能力和歸納提煉能力，但對現(xiàn)實問題的抽象能力仍處于低思維層次．因此，基于教材整體案例，深度挖掘素材的價值，通過情境問題的創(chuàng)設，埋下具有生命力的思維種子，逐步培養(yǎng)學生認知能力和思維能力．

1.2 備課思考

概念生成是概念學習的一個重要歷程，是思維形成過程中的復雜一環(huán)，需要用情境的創(chuàng)設和問題的驅動來達成．如何引導學生從生活實際出發(fā)設置新問題，展開知識的生長和思維的彰顯，從而培養(yǎng)學生的思維能力？基于以上思考，本節(jié)課從學生熟悉的情境入手，讓學生通過活動討論提煉概念屬性，歸納概括出函數(shù)概念．在過程經(jīng)歷中，學生探索新知，體悟思想方法，深化對知識的整體理解與運用，從而培養(yǎng)學生自主學習能力．

2 教學實踐

2.1 情境初探，拋磚引玉

情境1從上海到蘇州，在某一段勻速行駛的高鐵上，幾位同學談論著關于車速、路程和時間因素的數(shù)量變化和位置變化話題．請大家猜猜，他們會說些什么？

學生經(jīng)過討論，匯總如下結論：列車的行駛速度不變；甲乙兩地的路程不變；列車行駛的時間不斷變化；列車離甲乙兩地的路程不斷變化．

追問：上述結論中，大家發(fā)現(xiàn)有哪些是描述數(shù)學中與“量”有關的詞語呢？

生：“不變”“變化”．

師生歸納生成，“不變”即常量：在某一變化過程中，數(shù)值保持不變的量；“變化”即變量：在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量．

教學分析從高鐵行駛背景出發(fā)，結合學生熟知的路程、時間與速度的關系，喚醒其認知，尋找關鍵詞，進而歸納生成常量和變量的概念，為后續(xù)問題情境的學習作好鋪墊．設計的情境低起點、寬入口，問題設置能聚焦學生的課堂注意力，引發(fā)學生學習興趣和討論，點明接下來的課堂生長與發(fā)展將基于“某一變化過程”，圍繞著“常量”和“變量”展開．

2.2 情境深入，探索屬性

情境2學校打算用16 m長的籬笆圍成長方形的生物園來飼養(yǎng)小兔.

(1)當一邊長是1 m時，另一邊長是多少？

(2)當一邊長是2 m時，另一邊長是多少？

(3)當一邊長分別是3,4,…,7,8 m時，另一邊長呢？

追問1：通過上述計算，大家思考一下用什么方式能比較清晰地描述上述問題？你是怎么想到的?

生：可以列一個表格匯總，因為表格可以把分散的數(shù)據(jù)匯總在一起，看起來不凌亂．

(4)再算一算上述問題情境下，長方形的面積分別是多少？(表1)

表1

(5)在上述變化過程中，哪些是常量？哪些是變量？它們之間有什么關系？

追問2：若一邊長記為x，另一邊長記為y，面積記為S，則y,S兩者與x之間有什么關系？

學生回答：y=8-x，S=x(8-x)=8x-x2．

教學分析通過問題串的設計，學生根據(jù)情境從具體計算入手，從數(shù)量變化中體會“變化”這一特征和從每一次變化中體會“唯一”和“對應”．追問1對學生處理大量數(shù)據(jù)提出了較高的要求，但通過最近聯(lián)想?yún)^(qū)可使用表格的方式羅列解決，學生能夠嘗試畫出表格，通過觀察、對比，深入感知“對應”與“唯一”，這也是對學生數(shù)學素養(yǎng)能力的一種要求．問題(5)是對問題(1)～(4)的提升和歸納，思辨上述問題中的變量與常量以及它們之間的數(shù)量關系，嘗試探索概念屬性．追問2將變量抽象化，用字母代替，從代數(shù)表達式的角度進一步讓學生體悟變量間的“對應關系”，厘清問題發(fā)展方向：用字母表示數(shù)，從具體到抽象．此處情境問題串的設計有效建構出概念的屬性，為后續(xù)學生歸納提煉概念埋下伏筆．在整個關聯(lián)知識體系中，此處設計為本節(jié)課的核心，是知識生長源，也是課堂教學的重難點，因此把握好此處情境教學，體現(xiàn)知識內在聯(lián)系，建構函數(shù)概念的“骨架”，能讓學生對函數(shù)概念有一個初步整體的認識和感受．

情境3在平靜的水盆中投下一石子，便會形成以落點為圓心的一系列的圓．在這一變化過程中，哪些是變量？它們之間有什么關系？

生：變量有圓的半徑、圓周長、圓面積；關系是C=2πr，S=πr2．

教學分析通過觀察圖形，結合生活實際經(jīng)驗，基于抽象思維層次尋找變量和常量，從中抽象出兩個變量(周長和半徑或者面積和半徑)之間的關系．讓學生結合自身已有經(jīng)驗，模仿表1，通過合作討論探索數(shù)量關系，從抽象到具象地再次體會“對應”和“唯一”的本質屬性：在水波不斷擴張(變化過程中)的情況下，當半徑變化時，周長或面積也隨之變化；當半徑確定時，周長或面積也隨之唯一確定．通過活動體會半徑是引起周長和面積變化的“主動因素”，也為函數(shù)“自變量”“因變量”的引入設好鋪墊．從抽象到具體以深刻體驗的方式呈現(xiàn)給學生，揭示函數(shù)概念的本質屬性，加深“變量說”對應關系的理解．

2.3 模型探索，生成概念

問題1 表1中的長方形邊長之間的關系、面積與邊長之間的關系，水滴激起的波紋問題中周長與半徑、面積與半徑的關系，這些問題有哪些共同屬性？

教學分析讓學生討論總結，初步歸納函數(shù)本質屬性：①一個變化過程；②有兩個變量；③當其中一個量變化時另一個量隨之變化，當一個量確定時另一個量也隨之確定，即“唯一對應”．

問題2 你還能舉出一些與上述有共同屬性的實際問題的例子嗎？像這樣的例子舉得完嗎？

追問：有必要對這類新事物引入一個新的概念嗎？如有，該如何描述？

教學分析對事物屬性有初步認識后，嘗試尋找周圍具有相同或類似屬性的實例，來體悟數(shù)學概念生成的必要性和必然性．將舉例安排在概念生成之前，目的是讓學生弄清函數(shù)模型的內涵和外延，使函數(shù)本質在學生頭腦中更加深刻，為生成概念作好充分準備．進一步，如何描述函數(shù)的概念？由于前面有鋪墊、有“情境問題”的共識、有“舉例子”的經(jīng)驗，其實函數(shù)模型的本質已為學生所熟悉，此時讓學生給模型下定義就容易多了．但要引導學生用較簡潔、精準的語言來描述概念絕非易事．“該如何描述”需要師生共同探討，當教師引導學生說出用“符號化的思想”[2]分別給兩個變量起名字后，函數(shù)概念自然而然能被闡述清楚，余下就是函數(shù)概念的“延伸點”，即核心要素的分析與強化以及在實際情境中辨析概念的基本規(guī)范．

2.4 情境欣賞，學以致用

例1如圖1，搭1條小魚需要8根火柴棒，每多搭一條小魚需要多6根火柴棒，如果搭n條小魚需要S根火柴棒，那么S是n的函數(shù)嗎？為什么？

圖1

例2表2中y是x的函數(shù)嗎？為什么？

表2

例3圖2中溫度T是時間t的函數(shù)嗎？為什么？

圖2

教學分析三個例題的設計讓學生從不同角度再次辨析函數(shù)的概念，體悟函數(shù)的三種表達形式：解析式，表格，圖象．這樣的整體設計讓學生能系統(tǒng)而全面地體悟函數(shù)模型的多樣性，從具象到抽象實現(xiàn)認識提升，符合八年級學生的認知規(guī)律，通過概念的應用，形成概念判斷的“操作程序”和“思考路徑”，是一次新的概括能力的提升．學生在不斷體會和提煉的過程中逐漸內化概念，整體設計又拉長了其思維長度，從而提升課堂的效度．

2.5 歸納總結，體悟思想

總結回顧：談談你收獲了哪些知識？經(jīng)歷了今天的學習過程，你體會到了什么數(shù)學思想方法？

教學分析讓學生回顧教學過程，厘清學習主線：情景問題—探索屬性—舉一反三—生成概念—辨析提升．通過自我歸納，自我建構知識體系，讓學生從點到線、從局部到整體形成一種認知模式下的思維方式，從中體會由特殊到一般、抽象化和整體建構的思想．通過這樣的生長教學和深度思考，促使學生的思維水平向高層次發(fā)展，而提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)．

3 教學思考

3.1 關注結構生長，彰顯本質屬性

數(shù)學知識的形成、發(fā)展和應用是有內在聯(lián)系的，是基于數(shù)學體系，在知識板塊結構上生成與發(fā)展的．概念教學的核心是“概括”[3]，在數(shù)學實踐中要引導學生展開分析各種事例屬性，抽象概括共同本質屬性，歸納提煉數(shù)學概念．因此，教師在進行教學設計時要從系統(tǒng)觀和整體觀視角出發(fā)，在學生已有知識經(jīng)驗的基礎上，在學生熟悉的情境中創(chuàng)設新問題、提出新觀點，對教學素材進行合理的重構，溯源求新，讓知識能夠自然生長．

細節(jié)決定成敗．概念教學過程必須“通俗化”“深加工”“精致化”．本節(jié)課通過學生熟知的行程問題，探索路程、速度、時間反映出的不變量和變化量，提煉“常量”和“變量”的概念，在此基礎上，由學生熟悉的“飼養(yǎng)小兔”問題，到水波中周長與半徑、面積與半徑的關系，創(chuàng)設新問題串，由淺入深，逐步引導，辨析常量與變量，并進一步挖掘變量間的關系，探索“變化過程”“兩個變量”“唯一對應”這些函數(shù)屬性，逐步生成函數(shù)概念(函數(shù)模型)．通過內容環(huán)節(jié)的環(huán)環(huán)相扣，將抽象知識的來龍去脈闡述清楚，揭示知識的本來面目，即在二元方程概念下的新認知和新視角．

3.2 關注主線引領，蘊涵數(shù)學思想

《課標》指出，在教學實施中“數(shù)學思想蘊涵在數(shù)學知識形成、發(fā)展和應用的過程中，是數(shù)學知識和方法在更高層次上的抽象和概括．學生在積極參與教學活動過程中，通過獨立思考、合作交流，逐步感悟數(shù)學思想．”教師在教學設計中一般會有一條主線來引領，較常見的是知識主線、探索主線，這些是知識生長的明線[4]．此外，教師更要關注暗線貫穿，即知識背后涉及的數(shù)學思想方法的引領．在學習數(shù)學知識的基礎上，引導學生聚焦問題生成，感受知識生長，從過程中體悟數(shù)學思想(特殊到一般，符號抽象)，激發(fā)學生深度思考，促進思維生長．基于學生已有學習經(jīng)驗創(chuàng)設情境，在學生熟知的背景下建構老情境下的新問題，這更加容易獲得經(jīng)驗．對新知識從接觸到消化，更有親切感，更加輕車熟路，能更好地幫助學生進一步理解數(shù)學知識，體會其中蘊涵的數(shù)學思想．長方形生物園的情境在七年級時已經(jīng)接觸過，在這里從具體數(shù)據(jù)的運算入手，引導學生歸納整理數(shù)據(jù)，通過觀察、討論、類比，得出變量間的關系式．情境創(chuàng)設中蘊涵了“特殊到一般”的數(shù)學思想，教學中需要層層引導，讓學生有深入體會．

經(jīng)歷從特殊到一般的探索過程后函數(shù)概念的屬性漸漸浮出水面，需要用簡潔的語言來描述和概括，這是數(shù)學知識在不斷更新發(fā)展過程中必然要經(jīng)歷的進程，必然促使學生知識的自然重構．那就需要對具體事物情境進行抽象，以引導學生更好地表述概念．對于兩個變量，在哪一個主動變化下另一個隨之變化，引導學生用抽象思維的“字母符號化”給兩個變量起名字，這樣就能將問題表達清楚，函數(shù)概念就完美呈現(xiàn)出來了．而在情境2的追問中，“一邊長記為x，另一邊長記為y，面積記為S”，已經(jīng)為兩個變量的“符號抽象化”設好鋪墊．

3.3 關注探索過程，培養(yǎng)整體意識

把握教材整體性，對內容的系統(tǒng)結構了如指掌，做到心中有“聯(lián)絡圖”，才能把握教學的大方向，教學才能有的放矢．情境問題的設計是在整體建構視角與微觀課時設計有效結合后作出的綜合決策．數(shù)學知識并非孤立存在，而是在已有知識體系中，通過動態(tài)創(chuàng)新、深入學習后產(chǎn)生的正向遷移，因此要注重探索過程的體悟．問題串的設計要環(huán)環(huán)相扣、層層推進，在探究過程中讓學生積極思考．學生獲得結論后，

讓其展示思維路徑，鞏固基礎的同時體會思維帶來的成就感，使其能夠更加積極地探索問題．通過設問和追問促進學生對知識的理解和建構、遷移運用和問題解決，獲得深度感悟，形成整體視角下的認識提升．

函數(shù)概念是在整個關聯(lián)知識體系中較為核心的一個概念．教學中不僅要關注其生長由來，還要將其置入各種情境中．例如，情境2中表格的設計為后續(xù)學習函數(shù)圖象作鋪墊；解析式生成的一次函數(shù)、正比例函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，為后續(xù)進一步學習函數(shù)知識做好充分預設．例題辨析中的3個類型包含了三種函數(shù)的表達形式，從整體上布局了概念的全面解讀和運用．這樣一番學習和體悟過程，能讓學生感受函數(shù)家族的整體性，促使學生逐步形成整體視角下考慮問題的格局．

綜上所述，教師在創(chuàng)設生長情境，關注知識的發(fā)展必然性和價值性的同時，也要關注數(shù)學思想方法的滲透和整體視角的教學觀，更要關注學生自主學習能力的培養(yǎng)與核心素養(yǎng)能力的提升．