一道截面問題的探究之旅*

林清利 吳曉明 曾獻峰 (福建省莆田第一中學(xué) 351100)

在我校近期的一次考試中，學(xué)生在一道作截面圖問題上得分不夠理想．在批閱試卷過程中發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生未作答或得分很低，同時發(fā)現(xiàn)存在多種解法，但有些解法是錯誤的．這引起了筆者的思考：為何一道看似簡潔、直觀、普通的試題得分情況卻不理想？下面我們一同探個究竟．

題目如圖1，三棱柱ABC-A1B1C1中，M是AA1的中點，過MC1作該三棱柱的截面α，使A1B∥α，寫出作圖步驟，并證明．

圖1

1 錯解分析

錯解1 如圖2，設(shè)AB中點為N，連結(jié)MN，則截面為△C1MN．

圖2 圖3 圖4

經(jīng)了解，不少考生對于截面的概念模糊不清，錯誤地認為截面就是平面，只要能找到截面上的三個不共線的點，那么這三個點確定的三角形就是截面．事實上，截面是指平面與幾何體的面相交所圍成的平面圖形．所以截面的每條邊均在幾何體的表面，而圖2中C1N在幾何體內(nèi)部，從而截面不是△C1MN．

錯解2 如圖3，設(shè)AB,BB1中點分別為N,D，連結(jié)MN,ND,DC1，則截面為四邊形C1MND．

錯解3 如圖4，設(shè)AB,BC中點分別為N,D，連結(jié)MN,ND,DC1，則截面為四邊形C1MND．

有的考生憑感覺取中點D，想當(dāng)然認為截面就是四邊形C1MND，然而C1，M，N，D四點不共面．事實上C1M與ND是異面直線．這些考生缺少對平面的直觀想象，對兩條異面直線缺乏直觀的判斷經(jīng)驗．普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊(A版)第131頁例2告訴我們一種判斷異面直線的方法：與一個平面相交的直線和這個平面內(nèi)不經(jīng)過交點的直線是異面直線[1]．若學(xué)生能運用這個方法來判斷，就可以避免犯這種錯誤．

2 解法探究

作幾何體的截面，往往是先找到截面與幾何體的三個不共線的公共點，這三點確定一個三角形，再對這個三角形進行延展．延展的基本手法是延長某條邊，或者過一點作對邊的平行線．其理論依據(jù)是平面的三個基本事實．若涉及平行、垂直的問題，還需要線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理，以及三垂線定理等．

本題中要作出截面，考慮從線段C1M的端點下手作直線，但可能還是不清楚如何作直線．我們可以把最終目標A1B平行截面α當(dāng)作條件考慮，可以想象讓A1B平行移動起來，不難發(fā)現(xiàn)在平面A1AB內(nèi)，設(shè)AB中點為N，連結(jié)MN，則MN∥A1B，MN?α,A1B?α，從而A1B∥α，接下來再作截面．

思路1通過延長直線來延拓平面

分析1 圖2中平面C1MN與平面C1CBB1有一個公共點C1，直觀想象MN的延長線與平面C1CBB1相交，此交點與點C1的連線就是平面C1MN與平面C1CBB1的交線．

解法1 如圖5，延長MN,B1B，設(shè)MN∩B1B=D，連結(jié)C1D，交BC于點E，連結(jié)EN得截面MNEC1．

圖5 圖6

分析2 同分析1，考慮作平面C1MN與平面ABC的交線．

解法2 如圖6，分別延長CA,C1M，設(shè)CA∩C1M=D，連結(jié)DN并延長交BC于點E，連結(jié)C1E得截面MNEC1．

思路2通過作平行直線來延拓平面.

分析3 要延拓△C1MN所在平面，可以從其頂點下手，作對邊的平行線．基于圖形的直觀，嘗試過點C1作MN的平行線．

解法3 如圖7，過B作直線BD//AC,設(shè)BD=AC,易證BD平行且等于A1C1,則四邊形A1BDC1是平行四邊形，從而A1B//DC1.又MN//A1B，所以MN//C1D，那么M,N,C1,D共面．連結(jié)DN交BC于E，連結(jié)EC1得截面MNEC1．

圖7 圖8 圖9

分析4 從其頂點下手，作對邊的平行線．嘗試過點N作MC1的平行線,但這條平行線與平面BCC1B1的交點F不易直觀確定,故考慮讓MC1“落地”，即取CC1中點D，則AD//MC1，那么在△ABD中，易知點F的準確位置．

解法4 如圖8，取CC1中點D，連結(jié)BD，取BD中點F，連結(jié)C1F并延長交BC于E.易證MC1//AD,AD//FN，那么MC1//FN，從而M,C1,F,N共面，連結(jié)EN得截面MNEC1．

分析5 除了直觀地平移A1B至頂點M或C1，嘗試平移至△C1MN內(nèi)部的某個位置．考慮平面A1BC與截面必相交，則A1B平行該交線．

解法5 如圖9，連結(jié)A1C，設(shè)A1C∩C1M=O，設(shè)BC∩α=E，因為A1B//α,A1B?平面A1BC,α∩平面A1BC=OE，則A1B//OE.易得E是線段BC的三等分點(靠近點B)，連結(jié)EC1,EN得截面MNEC1．

分析6 由于上下底面平行，故截面與它們的交線必平行，這樣可輕松作出交線C1D和EN確定截面．

解法6 如圖10，延長NM,B1A1，設(shè)NM∩B1A1=D，設(shè)P,Q,E分別為C1B1,CB的三等分點，連結(jié)C1D,A1P,AQ,PQ,EN，易證C1D//A1P,A1P//AQ,AQ//EN，則C1D//EN，從而C1,D,E,N共面，連結(jié)EC1得截面MNEC1．

圖10 圖11

分析7 平面C1MN可轉(zhuǎn)化為面面平行，容易想到過A1作直線平行于C1M．再利用平行平面被第三個面截得的交線平行，進而延拓平面C1MN．

解法7 如圖11，延長CC1至D，使得C1D=A1M，易證A1D//C1M，又A1B//MN，從而平面C1MN//平面A1BD，則平面C1CBB1與它們的交線平行，設(shè)截面與BC交于點E，那么C1E//BF，易知E為CB的三等分點(靠近點B)．連結(jié)EC1,EN得截面MNEC1．

思路3向量法

分析8 文[2]基于平面、空間向量基本定理，用向量法輕松作出截面圖，令人拍案叫絕，故嘗試之．

圖12

3 追根溯源

從上面的求解過程我們可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對截面問題的思考必須經(jīng)歷識圖、想圖到構(gòu)圖的過程，要通過觀察、分析、想象、推理、計算才能加以求解.這是立體幾何教學(xué)所要求的核心素養(yǎng)，能很好地體現(xiàn)新課程背景下要求學(xué)生自主探究的理念．課程標準為幫助教師更好地理解數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與內(nèi)容、教學(xué)、評價、考試命題的關(guān)系，提供了一些范例，其中的案例11便是一個有關(guān)截面的問題——《正方體截面的探究》，結(jié)合正方體的截面設(shè)計問題串引導(dǎo)學(xué)生分類找出所有可能的截面、研究截面的形狀、獲取截面的方法、畫出截面的示意圖、研究截面面積最大的三角形等．在全國卷高考試題命制中也有所體現(xiàn)，如2016年理科卷I題11、2018年理科卷I題12(具體試題見下方)都是有關(guān)正方體截面的問題，試題難度較大，對學(xué)生空間思維能力要求比較高；2015年理科卷II題19是有關(guān)長方體截面的問題，要求學(xué)生敢于試驗、敢于探究，當(dāng)判斷錯誤時能改進試驗，試題的設(shè)計突出了操作與實踐性．

(2016年新課標Ⅰ卷理科第11題)平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A，α//平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，則m,n所成角的正弦值為( )．

(2018年新課標Ⅰ卷理科第12題)已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為( )．

圖13

以上三道真題直接或間接地考查作截面圖形的問題，圖形直觀、條件簡潔、解法多樣，值得細品．前兩道選擇題以正方體為載體，以面面平行為條件，考查作交線及截面問題．學(xué)生能比較熟練地作出圖形，可直接作平面進而得交線，也可以轉(zhuǎn)化，或不作出交線．當(dāng)然亦可不作圖，建立空間直角坐標系坐標化求解交線的方向向量，進而用向量夾角表示空間角．第三道解答題以線面平行為條件，可利用向量轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運算問題，也可以轉(zhuǎn)化為面面平行，先作出平面再確定直線．

人教版教材第140頁例題4和第171頁12題分別給出了我們熟知的正方體中的面面平行與線面垂直．“直線與平面平行”一節(jié)中第138頁上的例題3木料畫線問題本質(zhì)上也是一個截面問題．

(第140頁例題4)如圖14，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，求證：平面AB1D1//平面BC1D．[1]

圖14 圖15

(第171頁第12題)如圖15，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：(1)B1D⊥平面A1BC1;(2)B1D與平面A1BC1的交點H是△A1BC1的重心．[1]

我們不難發(fā)現(xiàn)，上面的幾道高考題源于教材并高于教材，題在書外、根在書內(nèi)．立體幾何中的作截面圖形問題，往往需要先直觀想象圖形的結(jié)構(gòu)，分析其特征，再幾何論證或者代數(shù)運算，以充分發(fā)展學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運算和邏輯推理等素養(yǎng)．我們要堅持讓學(xué)生多動手，重視畫圖，學(xué)會轉(zhuǎn)化，引導(dǎo)其思考并提出問題，感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)．