OFDM系統(tǒng)基于雙準則優(yōu)化的導頻設計新方法

王華華，湯 帥，張鐵嚴

(重慶郵電大學通信與信息工程學院，重慶 400065)

高速寬帶移動通信中，信道多呈現(xiàn)稀疏特性［1］?；趬嚎s感知的OFDM系統(tǒng)信道估計算法充分利用信道的內(nèi)在稀疏性，能夠以遠少于傳統(tǒng)信道估計的導頻符號［2］取得理想的信道估計效果。在實際應用中，利用導頻子載波可以可靠地估計信道狀態(tài)信息。由于信道估計的質(zhì)量取決于導頻位置分布，因此OFDM系統(tǒng)中導頻設計的優(yōu)化問題得到了廣泛的研究［3］。

目前基于壓縮感知（Compressed Sensing，CS）的OFDM系統(tǒng)信道估計主要有兩個研究方向。首先是稀疏信號重構(gòu)算法，目前被應用于信道估計的重構(gòu)算法有很多，如正交匹配追蹤算法（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）［4］、 l1范數(shù)最小化算法［5］和稀疏度自適應匹配追蹤算法［6］等。其次是通過搜索最優(yōu)的導頻序列，進而準確估計信道。導頻的放置位置和導頻符號的取值會很大程度上影響稀疏信道估計的性能，因此選取最優(yōu)的導頻序列是重構(gòu)質(zhì)量高的前提。對于傳統(tǒng)的OFDM系統(tǒng)信道估計算法，最優(yōu)的導頻圖案是子載波等間隔放置［7］。但等間隔的子載波放置并不適合壓縮感知的信道估計，因此需要研究適用于CS信道估計的導頻圖案。

對于OFDM系統(tǒng)，可以通過窮舉法從N個子載波中選取Np個導頻構(gòu)成一幅導頻圖案，即列舉CNpN種導頻的可能性，但這種方法需要很大的計算量，因此，在實際工程中不適用。為了減少算法的復雜度，文獻［8］提出了一種隨機序列搜索算法（Stochastic Search Schemes，SSS）來設計最優(yōu)導頻序列。SSS算法通過內(nèi)外循環(huán)對序列進行搜索優(yōu)化，外循環(huán)通過隨機產(chǎn)生導頻序列作為內(nèi)循環(huán)的初始導頻圖案，內(nèi)循環(huán)以互不相關(guān)（Mutual Incoherence Property，MIP）準則為基礎，通過貪婪迭代的方式不斷更新互相關(guān)值最小的導頻圖案。文獻［9］提出了設置接收端誤碼率閾值并反饋給導頻設計環(huán)節(jié)的方法，進一步提升了最優(yōu)導頻設計的穩(wěn)定性。文獻［10］中提到具有最小互相關(guān)的導頻序列不一定有好的信道估計性能，因此提出格拉姆矩陣準則，即恢復矩陣對應的格拉姆矩陣的元素大部分較小時，相應導頻序列會有較好的信道估計性能。但是這兩種隨機搜索方法都是對一個分支進行迭代優(yōu)化，這樣容易陷入局部最優(yōu)問題。為了得到全局最優(yōu)解，文獻［11］提出了一種樹狀隨機搜索方法。該方法通過一個根節(jié)點下產(chǎn)生若干個分支節(jié)點，再從分支節(jié)點選取下一次迭代根節(jié)點的方式，經(jīng)過多次循環(huán)迭代后找出最優(yōu)導頻序列，從而避免產(chǎn)生局部最優(yōu)解。

本文提出一種基于雙準則的雙分支隨機搜索算法來解決OFDM系統(tǒng)信道估計的導頻設計問題。該方法采用內(nèi)外循環(huán)雙準則雙分支的導頻優(yōu)化方式。外循環(huán)隨機生成多個隨機導頻構(gòu)成隨機導頻組，并采用MIP準則和格拉姆矩陣準則選出兩個導頻序列，作為內(nèi)循環(huán)的初始導頻圖案。內(nèi)循環(huán)中兩個初始導頻分別按照MIP準則和格拉姆矩陣準則，以雙分支的結(jié)構(gòu)進行更新迭代選擇各自最優(yōu)的導頻圖案，將最終優(yōu)化迭代出來的兩種導頻圖案應用于仿真系統(tǒng)比較兩者的誤碼率，選擇誤碼率更小的導頻圖案作為全局最優(yōu)導頻圖案。相比文獻［8］和文獻［10］，本文算法根據(jù)二叉樹的特性，同時考慮兩個分支上導頻的性能，避免了陷入局部最優(yōu)的問題。相比文獻［11］的單一準則的TSS算法，本文算法每個分支采用不同的準則進行迭代的方式，解決了對于不同隨機導頻，兩種準則設計的導頻圖案互有好壞的情況，提高了導頻優(yōu)化的穩(wěn)定性。

1 系統(tǒng)模型

1.1 壓縮感知理論模型

壓縮感知理論認為當信號滿足稀疏性時，就可以以遠低于奈奎斯特頻率對信號進行采樣，并且在接收端較完美地恢復出原始信號。

然而在實際的生活場景中大部分信號X并不滿足稀疏性，因此需要將信號X投影到某稀疏基矩陣 Ψ ＝ ［ψ1，ψ2，ψ3，…，ψn］ 上進行表示，產(chǎn)生一個由投影系數(shù)θn構(gòu)成的N×1維的投影向量Θ，即

當Θ中元素大部分為零值只有K個較大值時，可以稱信號X對于Ψ是K稀疏的。M×N維的觀測矩陣Φ可以從信號X中獲得M個觀測值。這M個觀測值可以通過式（2）得出。

式中，測量向量y為M×1維列向量，恢復矩陣T為M×N維矩陣。接收端通過這M個觀測值對信號進行重構(gòu)。

1.2 基于壓縮感知技術(shù)的OFDM系統(tǒng)模型

本文選取具有代表性的頻率選擇性多徑衰落信道作為信道模型。因為沖激響應在一個OFDM符號內(nèi)是時不變的，所以設沖激響應為h（n）。 其在離散時間上的信道模型可以表示為

式中，h＝［h（1），h（2），…，h（L）］T是長度為L 的等間隔信道脈沖響應采樣，｛hl｝是一組均值為零的復高斯分布隨機變量，nl為每條路徑上的時延。當h中僅有m個較大的非零值（m?L），而其余值都是零或接近于零時，則稱信道h呈現(xiàn)稀疏性，m稱為信道的稀疏度。

考慮一個OFDM系統(tǒng)，這個系統(tǒng)的子載波總個數(shù)為N，選擇其中Np個子載波作為導頻，其他子載波用于傳輸數(shù)據(jù)。假設一個OFDM符號周期內(nèi)，對應的傳輸導頻符號記為1≤k1≤k2≤…≤kNp≤N，對應的發(fā)送端傳輸導頻符號為： x（k1），x（k2），…，x（kNp）。 接收端收到的帶有 導 頻 的 子 載 波 定 義 為： y（k1），y（k2），…，y（kNp）。 于是，可以得到導頻信號在收發(fā)兩端頻域上的表現(xiàn)形式為

在接收端Y和FNp×L是已知的，X作為導頻載波圖案也是已知的，將A＝X FNp×L定義為恢復矩陣。由于只需要用觀測值Y準確地恢復出稀疏矩陣h，上述的信道估計問題就可以轉(zhuǎn)化為壓縮感知問題。想要精確地恢復出稀疏矩陣h需要有好的恢復矩陣，而恢復矩陣的好壞由導頻的設計來決定。因此，導頻圖案的優(yōu)劣決定了信道估計的性能。

2 導頻優(yōu)化算法

2.1 算法準則

根據(jù)CS理論，為了大概率重建稀疏矩陣h，恢復矩陣A需要滿足限制等距特性（RIP），即

但RIP準則作為導頻圖案的設計準則復雜度太高且不易實現(xiàn)。因此，現(xiàn)在通常使用復雜度較低的互相關(guān)最小準則（MIP）作為導頻設計的設計準則?；謴途仃嘇的互相干性為矩陣A的不同列之間互相關(guān)的最大絕對值，即

式中，A（m）和A（n）分別為A的第m列和第n列。

對于任意給定的導頻序列： P ＝ ｛p1，p2，…，pNp｝其中1≤p1≤p2≤…≤pNp≤N。 由式（10）可得

式中，非對角線元素gij（i≠j）表示矩陣A不同列之間的內(nèi)積，它表示不同兩列的相似度，即｜gij｜值越大時，第i列和第j列越相似。

擁有最小μ（A）值的恢復矩陣重構(gòu)性能不一定好，因此同時考慮格拉姆矩陣上三角元素平均值，定義ν＝αμ（A）＋（1－α）ξ，其中0＜α≤1，α的取值在3.1節(jié)仿真得到取0.6為最佳，并稱采用ν值的準則為格拉姆矩陣準則。因為引入了所有不同列內(nèi)積的平均值ξ。 因此，較小的ν值可以保證在恢復矩陣A整體的相關(guān)性較小的同時μ（A）也較小，從而使得重構(gòu)算法的性能更好，這一點將在3.1節(jié)進行仿真證明。

2.2 算法實現(xiàn)步驟

本文算法的目的是如何在N個子載波中選擇Np個子載波承載導頻，即設計最優(yōu)的導頻圖案，使得接收端重構(gòu)算法的性能更好。相較于現(xiàn)有算法的單一準則或單一的優(yōu)化方向，本文結(jié)合兩個準則并沿著多個分支方向進行優(yōu)化，尋找更好的導頻圖案。

本文結(jié)合文獻［11］分支結(jié)構(gòu)的思想，從兩個方面對導頻進行優(yōu)化。首先設置外循環(huán)次數(shù)M1，內(nèi)循環(huán)次數(shù)M2，外循環(huán)隨機生成多個隨機導頻，組成隨機導頻組P1，再從P1中分別選出μ（A）值最小和ν值最小的導頻圖案作為兩個內(nèi)循環(huán)分支的初始導頻。在以MIP準則和格拉姆矩陣準則為基礎的內(nèi)循環(huán)分支中，分別對導頻圖案的第m根導頻進行替換，得到2×（N－Np＋1）個導頻圖案，計算2×（N－Np＋1）個導頻圖案的μ（A）值和ν值，并選擇最小的μ（A）值和ν值作為下次迭代的初始導頻。迭代更新m個導頻后，獲得本次內(nèi)循環(huán)的最優(yōu)導頻圖案。然后經(jīng)過多次內(nèi)循環(huán)迭代后，將MIP準則分支設計出來的導頻圖案P2和格拉姆矩陣準則設計出來的導頻圖案P3放入矩陣Z的（2×l－1）列和2×l列中，對應的最小μ（A）值和ν值放入矩陣Y的（2×l－1）列和2×l列中，至此，一次內(nèi)外循環(huán)結(jié)束。最后，從多次內(nèi)外循環(huán)得出的矩陣Z中選出最小μ（A）值和最小ν值對應的導頻圖案min（P2）和min（P3）。 因為，MIP準則和格拉姆矩陣準則對于不同的隨機導頻優(yōu)化效果并不是絕對的，即兩種準則對于不同隨機導頻是互有好壞的。因此，將最終優(yōu)化得出的兩個導頻圖案應用于仿真系統(tǒng)，選擇誤碼率最低的導頻圖案作為全局最優(yōu)導頻圖案。DCDB?RSS導頻優(yōu)化算法的具體步驟如下。

算法1 DCDB?RSS導頻優(yōu)化算法

初始化：OFDM總子載波數(shù)N，導頻數(shù)Np，設置外循環(huán)次數(shù)M1，內(nèi)循環(huán)數(shù)M2，隨機導頻數(shù)組P1包含的導頻圖案個數(shù)i，令l＝1；

1：從N個子載波中選擇Np個子載波構(gòu)成隨機導頻圖案，迭代i次構(gòu)成含i個導頻圖案的隨機導頻數(shù)組P1；

2：令內(nèi)循環(huán)次數(shù) n＝1；

3：計算數(shù)組P1中導頻圖案的μ值和ν值，選擇最小值μ對應的導頻圖案Pμ1，以及最小值ν對應的導頻圖案Pν1，作為內(nèi)循環(huán)的初始導頻；

4：令需要替換的導頻圖案的導頻序號m＝1；

5：集合F1由進行到第l次外循環(huán)時生成的導頻圖案Pμ1，除了第 m 根導頻aμ1之外剩下的集合元素所構(gòu)成，即F1＝ Pμ1／aμ1， 候選集Cl由N個子載波減去F1中子載波后，剩余的子載波所構(gòu)成。每次按順序從集合Cl中取出一根導頻，替換Pμ1中的第m根導頻，一共可以產(chǎn)生N－Np＋1個新的導頻圖案；

6：同理對Pν1進行第m根導頻的替換，產(chǎn)生2×（N－Np＋1）個導頻圖案組成的導頻集合X；

7：計算集合X中導頻圖案μ值和ν值，用MIP準則選取最小μ值導頻圖案更新Pμ1，用格拉姆矩陣準則選取最小ν值導頻圖案更新 Pν1；

8：判斷m是否為Np，若為真，跳轉(zhuǎn)至步驟9；若為假，則使m＝m＋1并跳轉(zhuǎn)至步驟5繼續(xù)迭代；

9：判斷內(nèi)循環(huán)次數(shù)n是否為M2，若為真，則分別記錄最小μ值和最小ν值對應的導頻圖案在Z矩陣的第（2×l－1）列和2×l列中，對應的最小μ值和ν值放入矩陣Y的（2×l－1）列和2×l列中，并跳出內(nèi)循環(huán)執(zhí)行步驟10；若為假，則使n＝n＋1并跳轉(zhuǎn)至步驟4；

10：判斷l(xiāng)是否等于M1，若為真，則執(zhí)行步驟11；若為假，則使得l＝l＋1并跳轉(zhuǎn)至步驟1執(zhí)行；

11：結(jié)果輸出。從矩陣Z中選出最小μ值和ν值對應的導頻圖案應用于仿真系統(tǒng)進行誤碼率比較，選擇誤碼率最小的導頻圖案作為全局最優(yōu)導頻。

3 仿真結(jié)果

為驗證算法的有效性，首先對比MIP準則的μ（A）值和不同α取值對應的ν值對同一組隨機導頻的優(yōu)化性能。然后，比較各文獻算法和DCDB?RSS算法運行時間。最后，將本文的DCDB?RSS算法與各文獻算法性能進行比較。將不同準則或算法設計的導頻圖案應用在信道估計中，把計算出的均方誤差（Mean Squared Error，MSE）和 OFDM 系統(tǒng)的誤比特率曲線（Bit Error Ratio，BER）作為評判導頻圖案優(yōu)劣的標準。

3.1 α取值的仿真分析與兩種準則的誤碼率比較

為了確定α的取值，將不同α取值對應的ν值應用于文獻［8］中的SSS算法，然后對隨機生成的200組隨機導頻進行迭代優(yōu)化，在接收端采用OMP算法進行信道估計，最終比較200組導頻的平均誤碼率。各個ν值對應的平均誤碼率結(jié)果如圖1所示。具體仿真參數(shù)為：OFDM子載波數(shù)目N＝256，發(fā)射天線的導頻數(shù)Np＝16，外循環(huán)次數(shù)M1＝1，內(nèi)循環(huán)次數(shù) M2＝3，最大多徑延遲 L＝50，稀疏度K＝4。

從圖 1可以得出 α ＝0.6時，對應的 ν＝0.6μ（A）＋0.4ξ所取得的導頻圖案優(yōu)化效果最好。

圖1 各ν值平均誤碼率比較

為了比較兩種準則對不同導頻圖案的優(yōu)化效果。 采用 ν ＝ 0.6μ（A） ＋ 0.4ξ代替 MIP 準則中的μ（A）值得到格拉姆矩陣準則。然后，將格拉姆矩陣準則和MIP準則分別用于SSS算法，再對100組隨機導頻圖案進行迭代優(yōu)化，最后在接收端都采用OMP算法進行信道估計。表1給出了兩種準則優(yōu)化后導頻圖案用于信道估計后BER的優(yōu)劣情況。

表1 MIP準則和格拉姆矩陣準則優(yōu)化后導頻誤碼率優(yōu)劣情況

從表1可以看出，對于不同隨機導頻圖案，兩種準則的優(yōu)化效果都不是絕對的，是互有優(yōu)劣的，甚至會出現(xiàn)效果相同的情況，所以只采用MIP準則對導頻圖案進行優(yōu)化，難以穩(wěn)定取得全局最優(yōu)導頻圖案。

為了更直觀地看到兩種準則對不同隨機導頻的優(yōu)化效果。圖2和圖3分別仿真分析了兩個未優(yōu)化的初始隨機導頻圖案Q1＝［74 204 37 128 154 177 96 182 221 14 35 212 103 100 233 181］和Q2＝［164 34 116 166 209 78 101 221 174 60 187 72 68 2 91 106］，在采用MIP準則和格拉姆矩陣準則優(yōu)化導頻圖案后系統(tǒng)的BER。

圖2 對隨機導頻Q1優(yōu)化后MIP優(yōu)于格拉姆矩陣

圖3 對隨機導頻Q2優(yōu)化后格拉姆矩陣優(yōu)于MIP

表1、圖2和圖3具體仿真參數(shù)為：OFDM子載波數(shù)目N＝256，發(fā)射天線的導頻數(shù)Np＝16，外循環(huán)次數(shù)M1＝1，內(nèi)循環(huán)次數(shù)M2＝3，仿真次數(shù)為5 000次，BER值取5 000次的平均值。

從圖2、3可以看出，格拉姆矩陣準則對于部分隨機導頻圖案的優(yōu)化效果比MIP準則更好，這也證實了算法的可行性。

3.2 算法運行時間分析

表2給出了 DCDB?RSS算法 N＝256，Np＝16，外循環(huán)次數(shù)M1＝1，內(nèi)循環(huán)次數(shù)M2＝1以及TSS算法根節(jié)點個數(shù)為M3＝M1，分支個數(shù)為M4＝2M2時，兩種算法需要的運行時間。這里取2M2是為了兩種算法都保持雙分支，方便對比。因為文獻［10］中算法和SSS算法復雜度相同。文獻［11］也已經(jīng)給出了SSS算法和TSS算法的運算時間比較，所以這里只比較復雜度最低的TSS算法和DCDB?RSS算法的運行時間。因為計算各導頻圖案μ值時會計算恢復矩陣每列的互相關(guān)值，而每列的互相關(guān)值構(gòu)成了格拉姆矩陣的上三角元素，即只需要簡單的加法即可得到ν值，所以本文算法的復雜度主要來源于μ值計算次數(shù)。本文算法μ值計算次數(shù)為M1×（M2×Np×2×（N－Np＋1））。 TSS算法μ值計算次數(shù)M1×（2×M2×Np×（N －Np＋1））。 從表2可以看出，兩個算法計算次數(shù)相同，DCDB?RSS算法運算時間略高于TSS算法，但僅僅相差1.5 s左右。

表2 TSS算法和DCDB?RSS算法復雜度分析

3.3 信道估計MSE比較

圖4給出了當SSS算法的N＝256，Np＝16，外循環(huán)次數(shù)M1＝40，內(nèi)循環(huán)次數(shù)M2＝3，TSS算法根節(jié)點個數(shù)為40，分支個數(shù)為6，DC＿FTSS算法的N＝256，Np＝16，外循環(huán)次數(shù) M1＝40，內(nèi)循環(huán)次數(shù)M2＝3時，不同算法優(yōu)化出的導頻圖案信道估計的均方誤差（MSE）曲線隨信噪比的變化情況。同時，接收端采用OMP算法進行信道估計。從圖4可以看出，本文算法設計的導頻圖案明顯優(yōu)于SSS算法和文獻［10］算法，相較于文獻［11］的 TSS算法，MSE提高了約1 dB。

圖4 各算法的MSE性能比較

3.4 系統(tǒng)BER比較

當各算法參數(shù)配置和3.3節(jié)設置相同時，本文將不同算法設計出來的導頻圖案應用于信道估計，然后將信道估計的結(jié)果進行解調(diào)，這里采用16QAM調(diào)制和解調(diào)，仿真次數(shù)為5 000次，結(jié)果取5 000次的平均值。圖5對比了采用不同算法設計導頻序列時的誤碼率（BER）隨信噪比的變化情況。

圖5 各算法的BER性能比較

從圖5可以看出，采用DCDB?RSS算法設計的導頻序列產(chǎn)生的誤碼率明顯低于其他算法的誤碼率，說明本文算法設計的導頻圖案可以有效降低OFDM系統(tǒng)的誤碼率提高信道估計性能。

4 結(jié)束語

本文研究了基于壓縮感知的OFDM系統(tǒng)信道估計導頻設計方法。提出了一種新的導頻圖案設計方法DCDB?RSS算法和新的優(yōu)化準則。該算法考慮到不同準則對不同隨機導頻優(yōu)化性能問題，通過引入雙準則雙分支的優(yōu)化結(jié)構(gòu)和形式，同時關(guān)注μ值和ν值大小變化，選擇出全局最優(yōu)導頻圖案。仿真結(jié)果表明，本文算法設計的導頻圖案比傳統(tǒng)的隨機搜索算法以及TSS算法的導頻圖案有更低的誤碼率和更小的均方誤差。