Shuhan圖分類及其應(yīng)用

吳 偉 才， 劉 俊 吉， 謝 衛(wèi) 軍

( 湖南理工學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 湖南 岳陽(yáng) 414006 )

0 引 言

圖論在數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)物理的很多領(lǐng)域，特別是在代數(shù)的分類方面有著廣泛的應(yīng)用．復(fù)數(shù)域上的有限維單李代數(shù)和Kac-Moody代數(shù)的分類都可以用Dynkin圖給出[1-2]．在文獻(xiàn)[3-4]中，Heckenberger 利用廣義Dynkin圖給出了對(duì)角型Nichols代數(shù)對(duì)應(yīng)的算術(shù)根系的分類．Wang等在文獻(xiàn)[5]中利用帶參數(shù)的交換圖給出了秩2的任意域上對(duì)角型Nichols代數(shù)的分類．在文獻(xiàn)[6-7]中，Wang等利用帶參數(shù)的交換圖分類了所有的秩3、4的任意域上對(duì)角型的有限維Nichols代數(shù)．文獻(xiàn)[8]利用樹(shù)圖給出了有限維單李代數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)Lyndon路．在Kac-Moody代數(shù)的研究中，仿射Lie代數(shù)分為非扭仿射Lie代數(shù)和扭仿射Lie代數(shù)兩種，其中非扭單邊仿射Lie代數(shù)因其對(duì)應(yīng)的廣義Cartan矩陣是對(duì)稱矩陣而有良好的性質(zhì)．本文證明連通的非扭單邊仿射Lie代數(shù)對(duì)應(yīng)的Dynkin圖恰好是全部的最小點(diǎn)數(shù)為1的連通Shuhan圖．

1 基本定義

令I(lǐng)={1，2…，n}，現(xiàn)在回顧一下圖論的基本概念[9]．令Γ1是一個(gè)非空集合且Γ2?{{u，v}|u，v∈Γ1，u≠v}?2Γ1，則Γ=(Γ1，Γ2)稱為一個(gè)圖；Γ1稱為圖Γ的頂點(diǎn)集；Γ2稱為圖Γ的邊集；元素{u，v}∈Γ2稱為一條邊，寫(xiě)作λu，v．如果G=(G1，G2)是一個(gè)圖且滿足G1?Γ1和G2?Γ2，則G稱為圖Γ的子圖．如果?≠H1?Γ1且H2={λu，v∈Γ2|u，v∈H1}，則H=(H1，H2)是一個(gè)子圖，稱為由圖Γ中H1生成的子圖．λumum-1…λu3u2λu2u1稱為從u1到um的一條路．可以定義Γ1上面的等價(jià)關(guān)系如下：對(duì)任意的u，v∈Γ1，u和v是等價(jià)的當(dāng)且僅當(dāng)存在一條從u到v的路或者u=v．Γ1的每一個(gè)等價(jià)類生成的子圖都叫做圖Γ的連通部分．

Shuhan圖是一個(gè)滿足下列條件的無(wú)向圖Γ(只有頂點(diǎn)有標(biāo)記)：

(i)存在I到圖Γ頂點(diǎn)的雙射φ；

(ii)對(duì)任意的i∈I，頂點(diǎn)φ(i)上標(biāo)記為xi，xi∈N，N為正整數(shù)集；

(iii)對(duì)任意的i≠j∈I，φ(i)和φ(j)之間的邊數(shù)為λi，j，這里λi，j=λj，i∈{0，1}；

通俗來(lái)講，Shuhan圖就是任何一個(gè)頂點(diǎn)上面的標(biāo)記恰好是所有與它相連的頂點(diǎn)上面的標(biāo)記之和的一半的圖．Shuhan圖的子圖是一個(gè)圖，但不一定是Shuhan圖．

為了表述方便，本文把頂點(diǎn)上面的標(biāo)記a直接表述成頂點(diǎn)a，標(biāo)記數(shù)記成點(diǎn)數(shù)．

2 主要結(jié)果

首先給出連通Shuhan圖的分類．

(ii)如果a

證明(i)是顯然的．

如果沒(méi)有特殊說(shuō)明，下文中圖的頂點(diǎn)上最少的點(diǎn)數(shù)記為a，a∈N．

證明由圖Γ的定義，若頂點(diǎn)a與另外的頂點(diǎn)相連，則只能連總數(shù)為2a-b的頂點(diǎn)，而2a-b

引理4對(duì)于?l∈N，0

(ii)若給出的圖是Shuhan圖的連通部分，則點(diǎn)數(shù)為la+ra的頂點(diǎn)要與總點(diǎn)數(shù)為2ra的頂點(diǎn)相連，由于a最小，則r=0.5且點(diǎn)數(shù)為la+0.5a的頂點(diǎn)只能與點(diǎn)數(shù)為a的頂點(diǎn)相連，這與引理2矛盾．

證明由Shuhan圖的定義，ai=ia1，1≤i≤n，考慮第n個(gè)頂點(diǎn)的點(diǎn)數(shù)，結(jié)論是顯然的．

若Γ2l+1是Shuhan圖的連通部分，則點(diǎn)數(shù)為(2l+1)a的頂點(diǎn)要與總點(diǎn)數(shù)為2(l+1)a的頂點(diǎn)相連，且由引理1(i)可知，新連頂點(diǎn)的點(diǎn)數(shù)不能少于la+0.5a，又由引理4，只有2種可能：

(1)與點(diǎn)數(shù)為(l+1)a的另外2個(gè)頂點(diǎn)相連，此時(shí)新得到點(diǎn)數(shù)為(l+1)a的頂點(diǎn)都分別要與另外總點(diǎn)數(shù)為a的頂點(diǎn)相連，由于l≥3，與引理1(i)矛盾．

(2)與點(diǎn)數(shù)為2(l+1)a的另外1個(gè)頂點(diǎn)相連，即得到了Γ2(l+1)．

若Γ2(l+1)是Shuhan圖的連通部分，則點(diǎn)數(shù)為2(l+1)a的頂點(diǎn)要與另外總點(diǎn)數(shù)為(2l+3)a的頂點(diǎn)相連，且由引理1(i)可知，新連頂點(diǎn)的點(diǎn)數(shù)不能少于(l+1)a，又由引理4，只有2種可能：

(3)與點(diǎn)數(shù)為(l+1)a和點(diǎn)數(shù)為(l+2)a的另外2個(gè)頂點(diǎn)相連，由引理1(ii)可知，此時(shí)新得到點(diǎn)數(shù)為(l+2)a的頂點(diǎn)只能與另外總點(diǎn)數(shù)為2a的一個(gè)頂點(diǎn)相連，由于l≥3，與引理1(i)矛盾．

(4)與點(diǎn)數(shù)為(2l+3)a的另外1個(gè)頂點(diǎn)相連，即得到Γ2(l+1)+1．

用上面的方法歸納得出，若Γk(k≥7)是Shuhan 圖的一部分，則最終可以得到一個(gè)單鏈的Shuhan圖，這與引理5矛盾．

定理1連通的Shuhan圖是圖1中的1個(gè)(每種情形都有n+1個(gè)頂點(diǎn))．

圖1 連通的Shuhan圖

(1)與點(diǎn)數(shù)為a的另外3個(gè)頂點(diǎn)相連；

(2)與一個(gè)點(diǎn)數(shù)為a和一個(gè)點(diǎn)數(shù)為2a的另外2個(gè)頂點(diǎn)相連；

(3)與點(diǎn)數(shù)為3a的另外1個(gè)頂點(diǎn)相連．

(22)與一個(gè)點(diǎn)數(shù)為2a的另外1個(gè)頂點(diǎn)相連，新得到點(diǎn)數(shù)為2a的頂點(diǎn)要與另外總點(diǎn)數(shù)為2a的頂點(diǎn)相連．只有2種可能…

(3221)與點(diǎn)數(shù)為3a的另外2個(gè)頂點(diǎn)相連，而新得到點(diǎn)數(shù)為3a的兩個(gè)頂點(diǎn)分別要與另外總點(diǎn)數(shù)為a的兩個(gè)頂點(diǎn)相連，這與引理1(i)矛盾．

命題1(i)連通Shuhan圖Γ連接新的頂點(diǎn)得到的圖不是Shuhan圖．

(ii)若Shuhan圖Γ的某個(gè)子圖也是Shuhan圖，則Γ是離散的．

證明(i)圖Γ中連接新的頂點(diǎn)的點(diǎn)數(shù)一定不滿足Shuhan圖的條件．

(ii)由(i)可得．

3 結(jié) 語(yǔ)

本文研究了Shuhan圖的分類與應(yīng)用，得到了5種類型的連通Shuhan圖，研究結(jié)果在矩陣論和Kac-Moody代數(shù)以及圖論領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用．對(duì)于頂點(diǎn)之間邊數(shù)大于1的圖，即廣義Shuhan圖，它們的性質(zhì)和分類也是一個(gè)值得深究的問(wèn)題．