回焊爐的爐溫曲線方程及其數(shù)值解法

楊佳運(yùn)，朱 昊，郭 瑤，譚代倫

(1.西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川南充 637009；2.西華師范大學(xué)計(jì)算方法及應(yīng)用軟件研究所,四川南充 637009)

0 引言

隨著電子技術(shù)的發(fā)展，回焊爐作為集成電路表面貼裝工藝[1]生產(chǎn)的一個(gè)主要設(shè)備,在電子產(chǎn)品的生產(chǎn)過(guò)程中有著很重要的作用.回焊爐的爐溫曲線實(shí)時(shí)記錄著焊接過(guò)程溫度的變化，根據(jù)錫膏和元件的最佳可焊性及其平衡指標(biāo)，可檢測(cè)印刷電路板(Printed Circuit Boards,PCB)上的溫度分布情況.焊接過(guò)程[2]則是把裝有各種電子元件的印刷電路板放置在回焊爐中，利用加熱，將電子元件自動(dòng)焊接到電路板上.在此過(guò)程中，讓回焊爐各部分保持工藝要求的溫度，對(duì)爐溫曲線嚴(yán)格控制，可大大減少焊接缺陷[3]，提高表面組裝質(zhì)量[4].

對(duì)此，不少學(xué)者對(duì)如何控制和優(yōu)化回焊爐的爐溫做了大量研究，馮志剛等研究了回流焊工藝參數(shù)對(duì)爐溫曲線的影響[5];蔡海濤、高金剛等對(duì)回流焊接溫度控制曲線進(jìn)行了研究[6-7];雷翔霄提出了徑向基網(wǎng)絡(luò)(RBF)與PID算法相結(jié)合的溫度控制方法[8];洪健等基于有限元理論對(duì)回流焊進(jìn)行了工藝仿真研究[9];宋巍對(duì)回流焊接工藝參數(shù)及無(wú)鉛材料的溫度曲線展開(kāi)了研究[10];曾馳鶴設(shè)計(jì)了一種SMT回流爐溫度控制系統(tǒng),可實(shí)現(xiàn)對(duì)溫度的實(shí)時(shí)監(jiān)控和參數(shù)的設(shè)定[11];劉曉輝應(yīng)用ANSYS.ICEPAK軟件建立單溫區(qū)爐腔模型，利用不同時(shí)間加載確定的氣流溫度及速率載荷進(jìn)行模擬焊接過(guò)程[12-13].本文以2020年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模A題[14]為背景，對(duì)回焊爐的結(jié)構(gòu)與工作過(guò)程進(jìn)入深入分析，通過(guò)機(jī)理建模法研究回焊爐傳熱機(jī)理，建立控制爐溫變化的微分方程，并根據(jù)已知實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)傳熱參數(shù)進(jìn)行擬合，進(jìn)而用改進(jìn)歐拉法[15]求解出PCB板上的中心溫度，得到各溫度環(huán)境下?tīng)t溫曲線的變化情況，繼而控制和提高電子元件與PCB板的焊接質(zhì)量和效率.

1 回焊爐的結(jié)構(gòu)與工作過(guò)程

用于PCB板焊接的回焊爐一般由加熱場(chǎng)和傳送帶組成.PCB板被安裝在傳送帶上，以一定速度被傳送進(jìn)入加熱場(chǎng).加熱場(chǎng)從總體上被劃分為四個(gè)區(qū)域：爐前區(qū)、加熱區(qū)、冷卻區(qū)和爐后區(qū)，爐前區(qū)是加熱前的過(guò)渡階段，爐后區(qū)是加熱后的等待轉(zhuǎn)移階段，而加熱區(qū)和冷卻區(qū)是焊接最主要的工作場(chǎng)所，如圖1所示.

圖1 回焊爐的結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of reflow oven

為便于精細(xì)控制爐內(nèi)溫度，加熱區(qū)通常由寬度相等的一定溫度的小溫區(qū)組成，每個(gè)小溫區(qū)有獨(dú)立的外加恒溫?zé)嵩?，用于向小溫區(qū)提供熱量，小溫區(qū)之間留有適當(dāng)?shù)拈g隙.為保證效果，相鄰的若干個(gè)小溫區(qū)分別構(gòu)成預(yù)熱區(qū)、恒溫區(qū)、回流區(qū)，以便對(duì)傳送帶上勻速移動(dòng)的電路板上下兩側(cè)進(jìn)行加熱，同時(shí)通過(guò)回流風(fēng)機(jī)使用熱風(fēng)對(duì)電路板上的焊點(diǎn)進(jìn)行回流傳熱，在不同的區(qū)域完成加熱熔化和冷卻凝固焊接膏，以此達(dá)到焊接元器件[16-17]的目的.

回焊爐開(kāi)啟后，爐內(nèi)空氣溫度會(huì)在短時(shí)間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定，此后可進(jìn)行焊接工作.爐前區(qū)域、爐后區(qū)域以及小溫區(qū)之間的間隙不做特殊的溫度控制，其溫度與相鄰溫區(qū)的溫度有關(guān)，各溫區(qū)邊界附近的溫度也可能受到相鄰溫區(qū)溫度的影響.在設(shè)定各溫區(qū)的溫度和傳送帶的過(guò)爐速度后，可以通過(guò)溫度傳感器測(cè)試某些位置上焊接區(qū)域中心的溫度.溫度傳感器在焊接區(qū)域中心的溫度達(dá)到一定數(shù)值時(shí)(如30 ℃)開(kāi)始工作，電路板進(jìn)入回焊爐開(kāi)始計(jì)時(shí).實(shí)際生產(chǎn)時(shí)可以通過(guò)調(diào)節(jié)各溫區(qū)的設(shè)定溫度和傳送帶的過(guò)爐速度來(lái)控制產(chǎn)品質(zhì)量，為此需要獲得回焊爐的最佳爐溫控制方程.

2 回焊爐的爐溫曲線方程

由圖1可知，PCB板進(jìn)入爐前區(qū)域之前是常溫狀態(tài)，進(jìn)入爐前區(qū)域后，就會(huì)受到爐內(nèi)溫度的影響而逐漸升溫；進(jìn)入加熱區(qū)后，電路板的溫度將快速升高，使得焊接劑熔化；之后電路板進(jìn)入冷卻區(qū)進(jìn)行降溫，焊接劑逐漸凝固，完成焊接[18]；當(dāng)進(jìn)入爐后區(qū)域后電路板逐漸恢復(fù)到常溫狀態(tài).可以看到，電路板在回焊爐中經(jīng)歷了升溫與降溫過(guò)程，其受熱機(jī)理[19]是建立爐溫控制方程的關(guān)鍵.

2.1 回焊爐各區(qū)域空氣介質(zhì)的溫度分布

PCB板從進(jìn)入爐前區(qū)開(kāi)始，到最后從爐后區(qū)出來(lái)，都會(huì)受到爐內(nèi)空氣中熱量的影響，與其發(fā)生熱交換，為此，首先需要確定回焊爐各區(qū)域內(nèi)空氣介質(zhì)的溫度分布情況.

由回焊爐的結(jié)構(gòu)與工作過(guò)程可知，加熱區(qū)內(nèi)的各個(gè)小溫區(qū)有獨(dú)立的熱源，其內(nèi)溫度可以在短時(shí)間內(nèi)達(dá)到恒溫狀態(tài).除此之外，回焊爐的其他區(qū)域沒(méi)有獨(dú)立熱源，區(qū)域內(nèi)的空氣介質(zhì)溫度主要受相鄰區(qū)域的自然傳熱影響，根據(jù)熱學(xué)知識(shí)[20]，對(duì)這些區(qū)域內(nèi)，從傳送帶的線性運(yùn)動(dòng)方向上來(lái)看，空氣介質(zhì)的溫度分布可以認(rèn)為是線性的.

為此，若第i個(gè)區(qū)域?yàn)闊o(wú)熱源區(qū)域，不妨設(shè)其區(qū)域?qū)挾葹閣i，區(qū)域左右兩端的溫度分別為T(mén)il,Tir，則該區(qū)域內(nèi)按傳送帶運(yùn)動(dòng)方向任意一點(diǎn)x∈[0,wi]的溫度Tix可表示為：

(1)

若第i個(gè)區(qū)域?yàn)橛袩嵩吹膮^(qū)域，即是加熱區(qū)內(nèi)的小溫區(qū)，則其溫度為恒溫，不妨設(shè)為T(mén)i.

(2)

2.2 升溫時(shí)的爐溫曲線方程

當(dāng)電路板進(jìn)入回焊爐的加熱區(qū)后，電路板在外加熱源作用下會(huì)不斷吸收熱量，使自身的溫度不斷升高，直到焊接物被熔化.根據(jù)熱平衡原理，任意相同時(shí)間內(nèi)電路板上吸收的熱量Qin應(yīng)等于外加熱源傳遞的熱量Qcr，即：

Qin=Qcr

(3)

根據(jù)熱學(xué)知識(shí)，電路板在一段時(shí)間內(nèi)吸收的熱量可表示為：

Qin=cpm(Tf-To)

(4)

其中cp為定壓熱容量，m為電路板質(zhì)量，To為電路板焊接區(qū)域中心的起始溫度，Tf為電路板焊接區(qū)域中心的最終溫度.

在加熱區(qū)中，熱量的傳熱過(guò)程[21]一般分為熱傳導(dǎo)，熱輻射和熱對(duì)流三種.由于電路板在傳送帶上通過(guò)熱傳導(dǎo)得到的熱量較少，所以主要考慮熱對(duì)流和熱輻射兩種方式[22].

對(duì)熱對(duì)流，設(shè)h1為對(duì)流傳熱系數(shù)，A為電路板面積，T為電路板焊接區(qū)域的中心點(diǎn)溫度，Ta為空氣的溫度，一定時(shí)間內(nèi)通過(guò)熱對(duì)流傳遞的熱量為Q1，則有：

Q1=h1A(Ta-T)

(5)

對(duì)熱輻射，設(shè)σ為輻射常數(shù)，ε1、ε2分別為爐腔和電路板某一點(diǎn)的發(fā)散系數(shù)，A分別為傳熱面的面積，Ta1為爐腔壁的絕對(duì)溫度(其值可近似等于空氣溫度Ta)，一定時(shí)間內(nèi)通過(guò)熱輻射傳遞的熱量為Q2，則有：

(6)

對(duì)熱源，通過(guò)熱輻射散熱的過(guò)程，也是一個(gè)降溫的過(guò)程，因此也服從牛頓冷卻定律，即：

Q2=h2A(Ta1-T)

(7)

其中h2為輻射傳遞系數(shù).

聯(lián)立式(6)和(7)可得：

(8)

可解得：

(9)

并且，回焊爐內(nèi)一定時(shí)間內(nèi)由熱輻射傳遞的熱量Q2可進(jìn)一步表示為：

Q2=h2A(Ta1-T)≈h2A(Ta-T)

(10)

聯(lián)立上述式(3)(4)(5)(10)，可得：

cpm(Tf-T0)=(h1+h2)A(Ta-T)

(11)

將m=ρV，V=Al代入上式，將其微分化并整理得：

(12)

其中，T為電路板焊接區(qū)域的中心點(diǎn)溫度，h2為輻射傳熱系數(shù)，ρ為電路板平均密度，l為電路板厚度，h1為對(duì)流傳熱系數(shù)，Ta為爐內(nèi)空氣的溫度,t為時(shí)間.

式(12)體現(xiàn)了回焊爐內(nèi)加熱區(qū)瞬時(shí)的傳熱狀態(tài)，方程具有非線性特征.

2.3 降溫時(shí)的爐溫曲線方程

電路板進(jìn)入冷卻區(qū)后，開(kāi)始冷卻降溫，冷卻到一定溫度后，再傳送到爐后區(qū)等待處理.因此，在冷卻區(qū)中電路板成為熱源，空氣成為吸熱介質(zhì)，其溫度下降過(guò)程可以用牛頓冷卻定律予以刻畫(huà)，即在某種介質(zhì)中物體所損失的熱的速率與物體和周?chē)h(huán)境間的溫度差是成正比例的，其方程為：

(13)

其中Ta表示空氣溫度，Ts表示進(jìn)入冷卻區(qū)電路板的初始溫度，Tc表示物體經(jīng)過(guò)時(shí)間tc后所達(dá)到的溫度，k為熱傳遞系數(shù)，T為電路板焊接區(qū)域的中心點(diǎn)溫度，t為時(shí)間.

3 爐溫曲線方程的數(shù)值解法

3.1 數(shù)據(jù)準(zhǔn)備

為便于數(shù)值計(jì)算，設(shè)某回焊爐共有11個(gè)小溫區(qū)，小溫區(qū)1～5的恒溫為175 ℃，小溫區(qū)6的恒溫為195 ℃，小溫區(qū)7的恒溫為235 ℃，小溫區(qū)8～9的恒溫為255 ℃，小溫區(qū)10～11共同構(gòu)成冷卻區(qū)，保持恒溫為25 ℃；另生產(chǎn)車(chē)間的溫度保持在25 ℃.每個(gè)小溫區(qū)寬度為30.5 cm，相鄰小溫區(qū)的間隙區(qū)寬度為5 cm，爐前區(qū)域和爐后區(qū)域?qū)挾染鶠?5 cm；電路板焊接區(qū)域的厚度為0.15 mm，傳送帶的過(guò)爐速度為70 cm/min.

電路板進(jìn)入回焊爐時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，當(dāng)電路板焊接區(qū)域中心溫度達(dá)到30 ℃時(shí)溫度傳感器開(kāi)始工作，且每隔0.5 s測(cè)得一個(gè)溫度值，某次焊接的測(cè)驗(yàn)數(shù)據(jù)參見(jiàn)2020年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模A題的附件[7],時(shí)間上從19 s至373 s，每0.5 s一個(gè)溫度值，共709個(gè)數(shù)據(jù)，為節(jié)省篇幅本文從略.

3.2 回焊爐空氣介質(zhì)溫度分布曲線

根據(jù)3.1節(jié)各區(qū)域設(shè)定的溫度和式(12)，可計(jì)算出沿傳送帶方向各點(diǎn)處的溫度值，繪制出溫度分布曲線如圖2.

圖2 爐內(nèi)空氣溫度分布曲線Fig.2 Air temperature distribution curve in the oven

3.3 爐溫曲線方程參量的確定

在式(12)中ρ,l是常量，cp,h1,h2是與環(huán)境溫度有關(guān)的未知參量，原問(wèn)題并未給出這些參量的取值，只是給出了PCB板通過(guò)回焊爐過(guò)程中在不同時(shí)間下的測(cè)量溫度，為此需要確定爐溫曲線方程中參量的取值.參量ρ,l,cp,h1,h2共同決定了熱傳遞的效果，為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，不妨令：

(14)

這里q(T)可看作是熱傳遞的綜合系數(shù).

于是，式(12)變?yōu)椋?/p>

(15)

再將式(15)差分化，得：

(16)

類(lèi)似地，將式(13)改寫(xiě)為如下差分方程：

(17)

將原問(wèn)題所給的離散數(shù)據(jù)(Ti,ti)代入式(16)(17)，可計(jì)算求得回焊爐內(nèi)各個(gè)區(qū)域內(nèi)的一組離散qi或ki值，再對(duì)這些離散數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，可求得爐溫曲線方程的參量表達(dá)式，如表1所示.

表1 各區(qū)域中爐溫曲線方程參量的擬合表達(dá)式Tab.1 Fitting expression of parameters of oven temperature curve equation in each region

3.4 數(shù)值計(jì)算及結(jié)果分析

對(duì)爐溫曲線方程式(13)(15)，其參量q(T),k(T)是非線性的，因此相應(yīng)的微分方程不易求得解析解.為此，考慮采用數(shù)值計(jì)算方法.改進(jìn)歐拉法具有計(jì)算精度高、計(jì)算量較小、編程較為簡(jiǎn)便的特點(diǎn)，在本問(wèn)題中選用此方法.

根據(jù)式(13)(15)以及改進(jìn)歐拉法公式，可分別建立升溫時(shí)和降溫時(shí)爐溫曲線方程所對(duì)應(yīng)的改進(jìn)歐拉法計(jì)算公式，如下：

(18)

改進(jìn)歐拉法偽代碼：

//改進(jìn)歐拉法函數(shù)，T為中心溫度數(shù)組，q為擬合函數(shù)

//t為剖分步長(zhǎng)，Ta為環(huán)境溫度數(shù)組

FunctionEuler(T,q,t,Ta){

fori←1tondo{

K1←q(T[i])*(Ta[i]-T[i])

K2←q(T[i]+t*K1)*(Ta[i]-(T[i]+t*K1))

T[i+1]←T[i]+(t/2)*(K1+K2))

}

}

類(lèi)似地，根據(jù)式(15)和改進(jìn)歐拉法公式，可得到降溫時(shí)的改進(jìn)歐拉法計(jì)算公式和對(duì)應(yīng)的偽代碼.

根據(jù)上述公式及偽代碼編程思想，結(jié)合原問(wèn)題提供的數(shù)據(jù)，可計(jì)算得到回焊爐內(nèi)從爐前區(qū)域開(kāi)始到冷卻區(qū)域結(jié)束的PCB升溫及降溫的實(shí)時(shí)溫度值.數(shù)據(jù)從19 s開(kāi)始，至370 s結(jié)束，每隔0.5 s一個(gè)計(jì)算數(shù)據(jù)，共有709個(gè)數(shù)據(jù)，限于篇幅，僅列出少量數(shù)據(jù)，如表2所示.

表2 部分?jǐn)?shù)值計(jì)算數(shù)據(jù)及誤差Tab.2 Part of numerical calculation data and errors

將測(cè)量數(shù)據(jù)與數(shù)值計(jì)算結(jié)果繪制圖形，結(jié)果如圖3所示.將計(jì)算數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)數(shù)值進(jìn)行對(duì)比，從數(shù)值上看，可得兩者之間最大相對(duì)誤差為0.024 8，兩者差值的方差為0.000 161，以上數(shù)據(jù)可以看出計(jì)算數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差較小，誤差波動(dòng)較為穩(wěn)定.

圖3 數(shù)值計(jì)算結(jié)果與測(cè)量數(shù)據(jù)的對(duì)比圖Fig.3 Comparison diagram of numerical calculation results and measured data

4 結(jié)論

針對(duì)回焊爐的爐溫曲線，對(duì)升溫區(qū)域依據(jù)熱平衡理論建立了瞬態(tài)傳熱的非線性微分方程作為爐溫曲線方程；對(duì)降溫區(qū)域利用牛頓冷卻定律建立了電路板自然冷卻的微分方程模型.針對(duì)爐溫曲線方程的非線性特征，將其差分化，對(duì)每個(gè)小溫區(qū)利用已有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到方程的綜合傳熱系數(shù)，再選用改進(jìn)歐拉法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，得到爐溫變化數(shù)據(jù).并將其與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析比較，兩組數(shù)據(jù)吻合程度很高，說(shuō)明建立的傳熱模型較為合理.此模型可以在不同溫度、不同速度下很好地對(duì)回流焊接過(guò)程進(jìn)行分析，具有較強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值.