不變量

苗煒專欄作家Columnist讀書，寫字，旅游，鍛煉

有一道經(jīng)典題目：三個(gè)女人去一家汽車旅館，入住一個(gè)標(biāo)價(jià)27美元的房間，她們每人給行李工10美元，讓他去交錢。行李工到前臺(tái)，發(fā)現(xiàn)房?jī)r(jià)實(shí)際上是25美元，他給前臺(tái)25美元，回到房間交給客人每人1美元，他隱瞞了實(shí)際的房?jī)r(jià)，侵吞了2美元。每個(gè)客人付出9美元，一共27美元，再加行李工侵吞的2美元，一共是29美元。那么剩下的一美元去哪里？從數(shù)學(xué)運(yùn)算上來說，這不超過小學(xué)一年級(jí)的水平，但這里頭的陷阱，小孩子還無(wú)法識(shí)破。

我是在《怎樣解題：數(shù)學(xué)競(jìng)賽攻關(guān)寶典》中看到這個(gè)題目的，作者指出，這道題故意將讀者引到思考行李工所得到的錢和客人所付出的錢應(yīng)該等于30美元這個(gè)思路上。作者說：“我們應(yīng)該思維引申，如果房費(fèi)是0美元呢？行李工可以把27美元獨(dú)吞，客人還是付出了27美元，兩者相加是54美元了?！?/p>

我們看看作者怎么講解30美元的那道題。這里面涉及一個(gè)概念叫“恒定不變量”，不變量是問題中不隨其他量變化而改變的量，通常是一個(gè)數(shù)值。出題目的人誘導(dǎo)你誤以為30美元是恒定不變的，其實(shí)，三個(gè)人入住一家汽車旅館，設(shè)g，p，d 分別代表顧客所有花費(fèi)的總量，收銀員收取的費(fèi)用以及行李工拿走的錢，g減去p再減去d等于0，這是一個(gè)不變量。

《怎樣解題》一書的作者叫保羅·蔡茨，曾經(jīng)參加過1974年的國(guó)際奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽，現(xiàn)在是舊金山大學(xué)的教授。他說，“練習(xí)題”跟“問題”不是一回事，善于“解題”的人總顯得鶴立雞群，好像他們的大腦和別人不一樣，“他們更堅(jiān)韌，對(duì)問題的敏感程度也比常人高，思維也更活躍。具備這些優(yōu)秀品質(zhì)的人并不很多，但從現(xiàn)在開始擁有這些品質(zhì)并不是件難事”。

面對(duì)問題的第一步是“心理戰(zhàn)略”，要做到永不放棄，嘗試不同的路徑。

蔡茨說，面對(duì)問題的第一步是“心理戰(zhàn)略”，要做到永不放棄，嘗試不同的路徑，也要大膽地把別人的思想方法拿過來?yè)?jù)為己有。很多初學(xué)者缺乏堅(jiān)韌的意志，不夠自信，不夠?qū)Ｐ模鎸?duì)問題時(shí)過早地放棄，這是學(xué)不好數(shù)學(xué)的。初學(xué)者要進(jìn)步，在學(xué)習(xí)各種解題技巧前，首先要做到堅(jiān)韌不拔。

蔡茨引用了喬治·波利亞的一段話，喬治·波利亞說——老鼠看起來像是知道要發(fā)生什么，瘋狂地在籠子里蹦著，使勁地朝柵欄上撞著，一會(huì)兒朝這邊，一會(huì)兒朝那邊，在最后一剎那它終于成功地?cái)D了出去。捕鼠器某一邊的柵欄中間肯定有一個(gè)縫隙比較寬。我默默地為老鼠慶幸，它解決了一個(gè)很大問題。這也就是解題的途徑。我們必須一試再試，直到最后我們看出各種縫隙之間的細(xì)微差別為止。我們必須不斷更換我們的試驗(yàn)，使得我們能探測(cè)到問題的各個(gè)方面。鼠類和人所使用的基本方法是一樣的，一再地去試，多次變化方法，不致錯(cuò)過那少許的可能性。人不需要用肉體去撞障礙物，他用智力去撞，人能夠比老鼠更多地變化其方法且能從挫折中學(xué)到更多的東西。

喬治·貝利亞這段話出自《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》。我從我的書架上找到《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》第一卷，內(nèi)蒙古人民出版社1979年11月第一版，1980年9月第一次印刷。定價(jià)0.94元，印數(shù)42300冊(cè)。第二卷1982年8月第一次印刷，定價(jià)1.10元，印數(shù)6100冊(cè)。這兩本書，都是我上初中時(shí)買的，里面夾著一張紙，上面是初中數(shù)學(xué)小組指導(dǎo)老師的筆跡，是在解一個(gè)方程。這兩本書跟著我四十年，不斷搬家，雖然當(dāng)年我就沒有讀下去，但一直留著，證明自己也曾喜歡過數(shù)學(xué)。