一類(lèi)交錯(cuò)擴(kuò)散型Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性

汪建俏

(浙江師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,浙江金華321004)

在過(guò)去的幾十年里,反應(yīng)擴(kuò)散方程被頻繁地作為基本模型解決與空間生態(tài)和進(jìn)化相關(guān)的問(wèn)題，其中最重要的例子是兩物種的Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)-擴(kuò)散系統(tǒng).[1-8]近來(lái)，資源空間分布不均勻所帶來(lái)的空間異質(zhì)現(xiàn)象對(duì)兩物種的Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)-擴(kuò)散系統(tǒng)產(chǎn)生了較大的影響,當(dāng)平流項(xiàng)被納入這些經(jīng)典的Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)-擴(kuò)散系統(tǒng)時(shí),所產(chǎn)生的反應(yīng)-擴(kuò)散-平流系統(tǒng)的全局動(dòng)力學(xué)還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒(méi)有被完全理解,因此，這一系列問(wèn)題引起了許多生物學(xué)者和數(shù)學(xué)學(xué)者的關(guān)注.

1 相關(guān)研究與假設(shè)

本文聚焦在非均勻環(huán)境中的Lotka-Volterra反應(yīng)-擴(kuò)散-平流系統(tǒng)下的兩個(gè)物種擴(kuò)散的動(dòng)力學(xué)行為:

(1)

首先，做如下假設(shè)：

其中?是梯度算子.u、v分別代表兩物種在位置為x、時(shí)間為t的情況下的種群密度,mi(x)∈C2(Ω)表示非均勻資源的密度,?m表示考慮沿資源梯度遷移的定向運(yùn)動(dòng).?·(?)是求div(?)，即意味著具有擴(kuò)散現(xiàn)象.非負(fù)函數(shù)aij(x)∈C2(Ω)是兩物種在位置為x處的強(qiáng)度.這里的擴(kuò)散系數(shù)d1(x)、d2(x)和平流率α1(x)、α2(x)分別代表的是物種u、v在位置x處的隨機(jī)擴(kuò)散率和平流速率.擴(kuò)散系數(shù)、平流系數(shù)、資源函數(shù)和競(jìng)爭(zhēng)率都是空間異質(zhì)的.集合Ω?N代表的是封閉環(huán)境同時(shí)有光滑的邊界條件?Ω.為邊界?Ω上的單位外法向量.齊次無(wú)通量邊界條件表明,該系統(tǒng)是自包含的,且跨越邊界的總體通量為0.其中，在生物學(xué)上，假設(shè)(H2)、(H3)、(H4)意味著兩物種的平流率和擴(kuò)散率之比是一個(gè)常數(shù).

最近,文獻(xiàn)[11]研究了空間擴(kuò)散和資源空間變異對(duì)種群持久性和排斥性的綜合影響,提出了擴(kuò)散的Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)模型

(2)

文獻(xiàn)[11]在di、mi和aij是空間非齊次的情況下,用一種新的李雅普諾夫函數(shù)方法證明了模型(2)中非常數(shù)正平衡解的全局穩(wěn)定性.

在上述工作的基礎(chǔ)上,在第2節(jié)中,我們給出了一些預(yù)備知識(shí).在第3節(jié)中,我們首先給出了一個(gè)標(biāo)量空間異質(zhì)擴(kuò)散Logistic模型的非常數(shù)平衡解的全局穩(wěn)定性(見(jiàn)定理1),其次分別考慮在條件(H1)、(H2)和條件 (H1)、(H3)下,系統(tǒng)(1)的正平衡解的全局穩(wěn)定性(見(jiàn)定理2和定理3).

2 預(yù)備知識(shí)

首先，回顧一個(gè)關(guān)于二階拋物方程一致估計(jì)的結(jié)果：

(3)

(h3) 對(duì)于特定的σ1<σ2,f∈L∞(Ω×[0,∞)×[σ1,σ2])且存在C(σ1,σ2)>0，使得

|f(x,t,u)-f(x,t,v)|≤C(σ1,σ2)|u-v|,?(x,t)∈Ω×[0,+∞),u,v∈[σ1,σ2],

事實(shí)上，公式(3)的正有界解存在性可以通過(guò)文獻(xiàn)[12]中的方法得到，對(duì)于公式(3)的全局定義的解u(x,t)，可以得到全局有界性的結(jié)果，這一點(diǎn)可以通過(guò)文獻(xiàn)[13-14]中方法推導(dǎo)出來(lái).

引理1令u(x,t)是系統(tǒng)(3)的一個(gè)解并且對(duì)于特定的σ1、σ2∈,σ10使得

回顧標(biāo)量演化方程如下：

(4)

(5)

的唯一正解，其中α>0.θd,α,m,a的存在和唯一性可以由文獻(xiàn)[1]推導(dǎo)出來(lái).

3 主要結(jié)果和證明

考慮式(4)的非恒定穩(wěn)態(tài)的全局穩(wěn)定性，也就是式(5)的解θd,α,m,a.

(6)

再利用李雅普諾夫函數(shù)，可以得到關(guān)于式(4)的解θd,α,m,a的全局穩(wěn)定性.

證明由文獻(xiàn)[1]可知方程(4)的解的存在唯一性，通過(guò)引理1可知，存在一個(gè)常數(shù)C>0，使得

(7)

為了簡(jiǎn)便，定義θd,α,m,a=θ.定義函數(shù)F:[0,∞)→如下:

(8)

那么，對(duì)于t≥0,F(t)≥0.F(t)再對(duì)t求導(dǎo)，結(jié)合方程(6)有:

(9)

結(jié)合引理3，簡(jiǎn)化J1和J2如下：

(10)

(11)

將式(10)、式(11)代入式(9)，得到

(12)

利用式(7)，在[1,∞)上對(duì)于某些C>0，有|φ′(t)|≤C.通過(guò)引理2，有

(13)

(14)

故

(15)

定理證畢.

注1：此定理的平流率和擴(kuò)散率之比的負(fù)號(hào)表示該物種沿著與資源梯度遷移相反的方向運(yùn)動(dòng).證明了擁有其能力的物種的解的全局穩(wěn)定性.

(16)

根據(jù)文獻(xiàn)[1,16-17]和極大值原理，式(16)是一個(gè)單調(diào)系統(tǒng)，系統(tǒng)(16)有唯一的共存解.

定理2 若假設(shè)(H1)和(H2)成立，則式(16)有一個(gè)正穩(wěn)態(tài)解(u*(x),v*(x))且存在常數(shù)θ1>0,θ2>0使得

(17)

進(jìn)一步假設(shè)

(18)

證明：利用引理2和引理3的結(jié)果進(jìn)行證明.

假設(shè)式(18)成立.定義一個(gè)函數(shù)V：[0,∞)→，

由式(16)，有如下結(jié)果

類(lèi)似地，也能得到

那么，再由引理3，得到：

(19)

注意到式(17)和(18)，這意味著

(a12u*eμm+ηm+a21v*eμm+ηmξ)2-4ξu*v*a11a22e2μme2ηm<0.

由此可知，可選擇合適的ε(0<ε≤1)使得

(a12u*eμm+ηm+a21v*ξeμm+ηm)2-4ξu*v*e2μme2ηm(a11-ε)(a22-ε)<0.

上式結(jié)合式(19)，可得到

注2：定理2用了新的李雅普諾夫函數(shù)，證明了在一定的條件下，當(dāng)平流率和擴(kuò)散率之比都是正常數(shù)的時(shí)候，兩個(gè)競(jìng)爭(zhēng)物種的平衡解的全局穩(wěn)定性.

(20)

根據(jù)文獻(xiàn)[1,16-17]和極大值原理，式(20)是一個(gè)單調(diào)系統(tǒng)，系統(tǒng)(20)有唯一的共存解.

其中(u,v)是式(20)的解，且式(20)在任意初始條件下有(u(x,0),v(x,0))滿足u0(x),v0(x)≥0且u0(x),v0(x)?0.

證明：與定理2的證明類(lèi)似.定義函數(shù)W:[0,∞)→如下：

結(jié)合式(20)和引理3，有：

注意到式(17)和式(18)，則意味著

(a12u*eμm-ηm+ξa21v*eμm-ηm)2-4ξu*v*a11a22e2μme-2ηm<0.

由此可知，可選擇合適的ε(0<ε≤1)，使得

(a12u*eμm-ηm+ξa21v*ξeμm-ηm)2-4ξu*v*e2μme-2ηm(a11-ε)(a22-ε)<0.

上式結(jié)合式(19)，可以得到

證畢.

注4定理3用了新的李雅普諾夫函數(shù)，證明了在一定的條件下，當(dāng)平流率和擴(kuò)散率之比一個(gè)為正常數(shù)、另一個(gè)為負(fù)常數(shù)(其中負(fù)號(hào)代表該物種有逃離有利于它的競(jìng)爭(zhēng)者的環(huán)境的能力)的時(shí)候，兩個(gè)競(jìng)爭(zhēng)物種的平衡解的全局穩(wěn)定性.

4 結(jié)語(yǔ)

在文獻(xiàn)[10]中，兩個(gè)競(jìng)爭(zhēng)物種的平流率和擴(kuò)散率之比是相同的常數(shù)，物種v沒(méi)有逃離的能力，從而得到物種共存且平衡解的全局穩(wěn)定性的結(jié)論.而本文與文獻(xiàn)[10]的不同之處在于：當(dāng)兩個(gè)物種都生活在異質(zhì)環(huán)境中，都有沿資源梯度遷移的速率，平流率和擴(kuò)散率之比是不同的常數(shù)，其中物種u有沿著有利于自身的環(huán)境移動(dòng)的能力，而物種v有逃離有利于它的競(jìng)爭(zhēng)者的環(huán)境的能力.但在一定的條件下，物種u不能消滅物種v，物種v也不能消滅物種u，從而兩者共存且得到了平衡解的全局穩(wěn)定性的結(jié)果.