諧波齒輪傳動(dòng)的柔性雙連桿機(jī)械臂定位

莊志忠，褚伯貴

（1.福建船政交通職業(yè)學(xué)院機(jī)械與智能制造學(xué)院，福建 福州 530023；2.武漢理工大學(xué)物流工程學(xué)院，湖北 武漢 535011）

1 引言

近年來，全球工業(yè)市場(chǎng)對(duì)協(xié)作式機(jī)器人產(chǎn)生了濃厚的興趣，這種機(jī)器人通常具備由輕量化連桿和諧波齒輪構(gòu)成的柔性機(jī)械臂［1-3］。緊湊、輕便和靈活的結(jié)構(gòu)使這些柔性機(jī)械臂能夠安全地與人類互動(dòng)，而諧波齒輪被廣泛認(rèn)為是精確定位系統(tǒng)中的理想機(jī)構(gòu)［4-5］。然而，由于連桿和傳動(dòng)系統(tǒng)的低剛度而引起的彈性變形可能會(huì)極大地激發(fā)機(jī)械振動(dòng)。因此，柔性機(jī)械臂的高速高精度控制性能往往難以實(shí)現(xiàn)。

為了解決振動(dòng)抑制問題，人們對(duì)兩質(zhì)量和三質(zhì)量系統(tǒng)（又稱兩慣量和三慣量系統(tǒng)）進(jìn)行了各種控制方案的研究，它們是振動(dòng)模式柔性系統(tǒng)的典型模型［6］。特別是由反饋（feedback，F(xiàn)B）和前饋（feedforward，F(xiàn)F）控制器組成的2-DOF控制框架被認(rèn)為是實(shí)現(xiàn)高伺服性能的一種有效且實(shí)用的方法。文獻(xiàn)［7-8］5119-5121已提出將2-DOF控制應(yīng)用于柔性機(jī)械臂的方法，但大多數(shù)情況下僅限于單個(gè)連桿。因?yàn)樵谶@些方法中，控制系統(tǒng)是由兩個(gè)FB環(huán)路和基于互質(zhì)因子分解表達(dá)式的FF補(bǔ)償器［9］組成的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)。因此，將該方法應(yīng)用到具有兩個(gè)或多個(gè)桿件的機(jī)械臂，最具挑戰(zhàn)性的問題是桿件之間存在耦合轉(zhuǎn)矩。雖然耦合轉(zhuǎn)矩可被視為一個(gè)擾動(dòng)，然后通過魯棒的FB控制器來處理，但是很難實(shí)現(xiàn)期望的快速響應(yīng)。實(shí)際上，耦合轉(zhuǎn)矩在很大程度上依賴于被控變量，因此應(yīng)將其納入系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)，而不應(yīng)將其視為擾動(dòng)。由于機(jī)械臂表現(xiàn)為一個(gè)多變量系統(tǒng)，因此應(yīng)采用解耦策略。

文獻(xiàn)［10］提出了一種機(jī)器人耦合與解耦線性狀態(tài)空間控制方法，該方法基于高階微分方程計(jì)算補(bǔ)償輸入，但是忽略了粘性摩擦，沒有明確給出解耦增益的選取方法和表達(dá)式。該方法的研究結(jié)果表明用于合成柔性系統(tǒng)2-DOF控制器的互素分解表達(dá)式也適用于傳遞函數(shù)表示。因此，本研究嘗試將原始的解耦控制思想應(yīng)用于柔性多連桿機(jī)械臂的2-DOF控制方法。本研究通過應(yīng)用由傳遞函數(shù)表示計(jì)算出的解耦控制器，并采用2-DOF控制框架，為具有諧波齒輪的柔性雙連桿機(jī)械臂構(gòu)建高性能的定位系統(tǒng)。最終通過原型機(jī)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的有效性。

2 連桿三慣量系統(tǒng)建模

柔性機(jī)械臂的每個(gè)連桿都表現(xiàn)為一個(gè)帶有兩個(gè)彈性彈簧的三慣性系統(tǒng)，其中一個(gè)彈簧描述齒輪中的彈性，另一個(gè)表示連桿中的彈性變形。因此，被控對(duì)象可以是所謂的雙連桿三慣量系統(tǒng)。雙連桿三慣量機(jī)械臂的物理模型，如圖1所示。

圖1 雙連桿三慣量機(jī)械臂的物理模型Fig.1 Physical Model of Two-Link Three-Inertia Manipulator

圖中：τmi—電機(jī)扭矩（i=1，2）；θmi，θai，θli—角位置；Jmi，Jai，Jli—慣性矩；Dmi，Dai，Dli—粘性摩擦系數(shù)；Dgi—齒輪阻尼常數(shù)；Kgi—齒輪的剛度；Kli—連桿的剛度；Jgi—齒輪的慣性常數(shù)。其中，下標(biāo)“m”、“a”和“l(fā)”分別表示電機(jī)側(cè)的第一慣性、齒輪臂側(cè)的第二慣性和連桿端側(cè)的第三慣性，而下標(biāo)“1”和“2”表示連桿索引。

第i個(gè)連桿模型的框圖，如圖2所示。

圖2 第i個(gè)連桿模型的框圖Fig.2 Block Diagram of i-th Link’s Model

式中：β、γ—耦合慣性因子。

fi可通過電機(jī)速度的平滑雙曲正切函數(shù)來建模：

式中：Fci—庫(kù)侖摩擦力矩；vci—速度閾值。

θTEi可以表示為傅立葉級(jí)數(shù)：

式中：N—齒數(shù)比。

然后對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行快速傅立葉變換，忽略幅度小于2 arcsec的諧波分量，得到角傳動(dòng)誤差模型。模型參數(shù)，如表1所示。

表1 模型參數(shù)Tab.1 Model Parameters

3 所提解耦定位控制方法

3.1 2-DOF控制框架

2-DOF控制框架是獨(dú)立設(shè)計(jì)的FB和FF組件的組合。雙慣性對(duì)象的FB系統(tǒng)通常由兩個(gè)級(jí)聯(lián)回路組成：一個(gè)是電機(jī)速度反饋的內(nèi)環(huán)，另一個(gè)是電機(jī)或負(fù)載側(cè)位置反饋的外環(huán)。如果電機(jī)側(cè)位置用于外環(huán)，則FB結(jié)構(gòu)稱為“半閉環(huán)”；否則，如果應(yīng)用負(fù)載側(cè)位置，則稱為“全閉環(huán)”。這些概念也可以推廣到三慣性對(duì)象的控制系統(tǒng)。文獻(xiàn)［8］5120-5122 對(duì)“半閉環(huán)”控制系統(tǒng)進(jìn)行了研究結(jié)果，并且提出了一種帶角傳動(dòng)誤差補(bǔ)償?shù)摹鞍腴]環(huán)”結(jié)構(gòu)，能夠消除由于角傳動(dòng)誤差引起的穩(wěn)態(tài)誤差。因此，第i個(gè)連桿的傳統(tǒng)2-DOF控制框架，如圖3所示。

圖3 第i個(gè)連桿的傳統(tǒng)2-DOF控制框架Fig.3 Conventional 2-DoF Control Frame for i-th Link

圖中：Nmi(s)、Di(s)—基于互素分解表達(dá)式法計(jì)算的FF補(bǔ)償器；

CPi(s)—位置FB控制器；

Cvi(s)—速度FB控制器；

G(s)—三慣性對(duì)象。

當(dāng)只有一個(gè)連桿運(yùn)動(dòng)時(shí)，耦合轉(zhuǎn)矩小到可以忽略不計(jì)，那么為獨(dú)立三慣性對(duì)象設(shè)計(jì)的常規(guī)控制系統(tǒng)就可以有效地工作。然而，當(dāng)各連桿同時(shí)旋轉(zhuǎn)時(shí)，由于各連桿之間的強(qiáng)相互作用。兩條水平虛線表示所需的精度，而垂直虛線表示預(yù)期穩(wěn)定時(shí)間0.1s。可以看出，多連桿運(yùn)動(dòng)的控制性能會(huì)出現(xiàn)惡化。因此，這里提出了一種新的控制方法，即使在多連桿運(yùn)動(dòng)中也能實(shí)現(xiàn)預(yù)期的性能。

3.2 解耦控制

解耦控制的基本原理是應(yīng)用稱為解耦器的前饋?zhàn)饔?，使多輸入多輸出（MIMO）系統(tǒng)傳遞矩陣是對(duì)角的。使用近似雙連桿二慣性模型是獲取機(jī)械臂傳遞矩陣的一種更實(shí)用的方法。實(shí)際上，在定位波形中觀察到的振動(dòng)頻率通常為10Hz左右，即，振動(dòng)主要是由連桿柔性引起的。因此，在假定機(jī)械臂關(guān)節(jié)是剛性的并且非線性分量不重要的前提下，可以認(rèn)為機(jī)械臂是線性雙連桿雙慣性系統(tǒng)。簡(jiǎn)化后的模型框圖，如圖4所示。

圖4 簡(jiǎn)化后的模型框圖Fig.4 Simplified Model Block Diagram

圖4中模型的等效參數(shù)計(jì)算如下：

雙連桿雙慣性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可以寫成以下矩陣形式：

其中，

對(duì)式（6）進(jìn)行拉普拉斯變換，可得到：

因此，從τ到x的傳遞矩陣如下所示：

可以分為兩個(gè)2×2的子矩陣：

式中：Gm(s)—電機(jī)角度子矩陣；

Gl(s)—負(fù)載角度子矩陣。

3.3 帶解耦器和角傳動(dòng)誤差補(bǔ)償器的2-DOF半封閉控制方法

該方法的基本思想是應(yīng)用解耦器來產(chǎn)生兩個(gè)解耦，然后基于全閉或半閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)為每個(gè)對(duì)象構(gòu)造一個(gè)2-DOF控制器。對(duì)于使用全閉的選擇，受控對(duì)象的傳遞矩陣是式（14）、式（15）中所示的整個(gè)G(s)?；诎腴]環(huán)框架，被控對(duì)象只接收式（15）中的（2×2）子矩陣Gm(s)作為其傳遞矩陣。然后，可以應(yīng)用解耦器。提出的帶解耦器和角傳動(dòng)誤差補(bǔ)償器的2-DOF 半閉環(huán)控制框架，如圖5所示。

圖5 提出的帶解耦器和角傳動(dòng)誤差補(bǔ)償器的2-DOF半閉環(huán)控制框架Fig.5 Proposed 2-DOF Semi-Closed-Loop Control Framework with Decoupling and Angular Drive Error Compensator

圖5中FF補(bǔ)償器是基于互質(zhì)分解表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算的，Gij(s)是整個(gè)G(s)經(jīng)過MIMO處理的傳遞函數(shù)。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

4.1 實(shí)驗(yàn)機(jī)械臂

為了驗(yàn)證所提解耦定位控制方法的有效性，制作了一個(gè)具有輕量級(jí)連桿和彈性關(guān)節(jié)的平面串聯(lián)雙連桿機(jī)械臂，每個(gè)連桿都由一個(gè)帶諧波齒輪的交流伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)，其中兩個(gè)高分辨率編碼器安裝在齒輪的輸入和輸出側(cè)。實(shí)驗(yàn)機(jī)械臂實(shí)物，如圖6所示。

圖6 實(shí)驗(yàn)機(jī)械臂實(shí)物Fig.6 Experimental Mechanical Arm

實(shí)驗(yàn)機(jī)械臂的配置參數(shù)，如表2所示。

表2 實(shí)驗(yàn)機(jī)械臂的配置參數(shù)Tab.2 Configuration Parameters of Experimental Manipulator

伺服性能指標(biāo)的設(shè)計(jì)目標(biāo)是使機(jī)械臂末端定位精度達(dá)到±0.1mm，定位時(shí)間快于0.1s。由于目標(biāo)機(jī)械臂的連桿是旋轉(zhuǎn)的，因此需要將所需的精度換算為角度單位。根據(jù)連桿長(zhǎng)度，對(duì)第一連桿和第二連桿所需的精度分別為±0.022°和±0.019°。

4.2 驗(yàn)證結(jié)果分析

采用離散算法（Tustin）對(duì)控制方法中的所有連續(xù)傳遞函數(shù)進(jìn)行離散化，采樣時(shí)間為250μs。以兩個(gè)典型多連桿運(yùn)動(dòng)為例，對(duì)所提出的控制方案進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。兩個(gè)典型多連桿運(yùn)動(dòng)的配置，如表3所示。

表3 兩個(gè)典型多連桿運(yùn)動(dòng)的配置Tab.3 Configuration of Two Typical Multi-Link Motions

在運(yùn)動(dòng)1中，加減速時(shí)間約為0.125s，其倒數(shù)約為8Hz，接近機(jī)械結(jié)構(gòu)的主共振頻率，這是產(chǎn)生大量機(jī)械振動(dòng)的關(guān)鍵條件。此外，耦合轉(zhuǎn)矩的影響進(jìn)一步惡化了伺服性能。另一方面，在動(dòng)作2中，兩個(gè)連桿的大幅度運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生了很強(qiáng)的相互作用。此外，第一個(gè)連桿的慣性矩和耦合轉(zhuǎn)矩在運(yùn)動(dòng)過程中變化很大。因此，所選擇的動(dòng)作是適合于驗(yàn)證的。對(duì)于運(yùn)動(dòng)1，兩種傳統(tǒng)控制方法都表現(xiàn)出較大的振動(dòng)響應(yīng)，而所提出的解耦方法不僅在位置上而且在扭矩波形上都表現(xiàn)出了良好的振動(dòng)抑制效果。由于該方法基于半閉環(huán)控制，而角傳動(dòng)誤差補(bǔ)償器僅消除了穩(wěn)態(tài)誤差，因此仍存在輕微的殘余振動(dòng)。然而，與傳統(tǒng)方法相比，它們也是可以接受的。對(duì)于運(yùn)動(dòng)2，所提出的方法也顯示出優(yōu)于傳統(tǒng)方法的振動(dòng)抑制性能。特別地，在兩個(gè)連桿的定位響應(yīng)中幾乎沒有表現(xiàn)出超調(diào)。

針對(duì)短行程參考的運(yùn)動(dòng)1和長(zhǎng)行程參考的運(yùn)動(dòng)2，多連桿運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)定位波形，如圖7、圖8所示。

圖7 多連桿運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)定位波形（運(yùn)動(dòng)1）Fig.7 Experimental Positioning Waveforms for Multi-Link Motion（Motion 1）

圖8 多連桿運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)定位波形（運(yùn)動(dòng)2）Fig.8 Experimental Positioning Waveforms for Multi-Link Motion（Motion 2）

總體而言，通過應(yīng)用所提出的解耦控制方法，所考慮的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)都完全滿足了預(yù)期的時(shí)間和精度等定位控制指標(biāo)。

5 結(jié)論

這里提出了一種新穎的解耦控制方法，能夠?yàn)橹C波齒輪傳動(dòng)串聯(lián)柔性雙連桿機(jī)械臂提供高伺服性能的定位。該方法構(gòu)造了基于半閉環(huán)結(jié)構(gòu)的2-DOF串聯(lián)控制系統(tǒng)，補(bǔ)償了傳動(dòng)系統(tǒng)中的角傳動(dòng)誤差。通過多連桿運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)，得出如下結(jié)論：（1）采用該方法可以達(dá)到較好的控制性能指標(biāo)，具體為±0.1mm 的精度和0.1s的穩(wěn)定時(shí)間。（2）由于每個(gè)連桿只有一個(gè)控制輸入扭矩，而解耦方案需要一個(gè)平方傳遞矩陣。因此，該方法不適用于串聯(lián)準(zhǔn)全閉環(huán)和全封閉結(jié)構(gòu)。盡管如此，角傳動(dòng)誤差補(bǔ)償器可以克服半閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)的缺點(diǎn)，因此，該方法仍然能夠?qū)崿F(xiàn)令人滿意的定位伺服性能。但是，這里沒有考慮機(jī)械臂與人相互作用時(shí)，機(jī)械臂末端產(chǎn)生的外部扭矩以及模型誤差。因此，外部干擾和模型魯棒設(shè)計(jì)是后續(xù)工作的改進(jìn)方向。