非退化Gevrey勢能下擬周期Jacobi算子Lyapunov指數(shù)的正性與連續(xù)性

胡苗苗, 陶 凱

(河海大學(xué) 理學(xué)院, 南京 210098)

1 引言與主要結(jié)果

考慮如下定義在l2()上的擬周期解析Jacobi算子Hx,ω:

(1)

其中a: T=/→是一個復(fù)解析函數(shù)且不恒為0;V: T→是一個實(shí)Gevrey函數(shù), 常稱為勢能;x∈T稱為初相;ω稱為頻率, 是一個無理數(shù).如果存在MK>0, 使得對任意的x∈T, 均有

(2)

則稱C∞函數(shù)V是一個Gevrey類Gs(T).

設(shè)

Gs,K(T)={V∈C∞(T,): ‖V‖s,K<∞}.

目前, 離散Hamilton算子Lyapunov指數(shù)的連續(xù)性問題得到廣泛關(guān)注. 文獻(xiàn)[1]使用大偏差定理和雪崩原理研究了定義在一維環(huán)面上的解析離散Schr?dinger方程

(Sx,ωφ)(n)=φ(n+1)+φ(n-1)+v(x+nω)φ(n),n∈,

(3)

證明了當(dāng)勢能v是一維解析函數(shù)、 頻率ω為強(qiáng)Diophantine數(shù)且算子的Lyapunov指數(shù)L(E,ω)為正時,L(E,ω)關(guān)于能量E是H?lder連續(xù)的. 此后, 文獻(xiàn)[2-9]利用該方法分別研究了相關(guān)算子的Lyapunov指數(shù)各類問題. 文獻(xiàn)[2-5]考慮了各種其他類型的頻率, 其中: 文獻(xiàn)[4]研究了解析Schr?dinger算子(3)在任意無理數(shù)頻率下的H?lder連續(xù)性問題; 文獻(xiàn)[5]將文獻(xiàn)[4]這一結(jié)果推廣到了更一般的解析Jacobi算子(1)上. 文獻(xiàn)[6]研究了Schr?dinger算子的Lyapunov指數(shù)在一種相比于環(huán)面旋轉(zhuǎn)更復(fù)雜映射下的性能; 文獻(xiàn)[7-8]分別將方程(3)中的解析勢能換成了一維和高維Gevrey勢能, 得到了新算子Lyapunov指數(shù)的正性和連續(xù)性; 文獻(xiàn)[9]討論了對Schr?dinger算子(3)的解析勢能做Gevrey類的擾動, 首次證明了Lyapunov指數(shù)關(guān)于勢能的連續(xù)性.

本文主要使用動力系統(tǒng)的方法研究算子Hx,ω的性質(zhì).注意到, 其特征方程Hx,ωφ=Eφ可寫成

因此, 可定義

(4)

為系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移矩陣.則

上述過程定義了一個斜積流系統(tǒng).即對于固定的E和ω, 稱在T×2上的一個映射

是一個Jacobi斜積流.

顯然, 如果定義

為系統(tǒng)的n步轉(zhuǎn)移矩陣, 則

注意到一維環(huán)面上的解析函數(shù)最多只有可數(shù)個零點(diǎn), 因此矩陣M(x,E,ω)和Mn(x,E,ω)在環(huán)面上是幾乎處處有意義的.本文主要考慮系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)的正性和連續(xù)性問題.

首先, 定義有限Lyapunov指數(shù)

顯然, 其滿足次可加性, 即對任意大于零的正整數(shù)m,n, 均有nLn+mLm≥(m+n)Lm+n.則當(dāng)頻率ω為無理數(shù)時, 根據(jù)Kingman的次加性遍歷定理, 其極限

(5)

總存在, 且對全測度的x∈T, 有

此即為該系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù).

本文選取頻率ω為一維強(qiáng)Diophantine數(shù)Dc,A, 即滿足對于任意的n≠0, 均有

(6)

本文主要結(jié)果如下:

定理1考慮擬周期解析Jacobi算子(1).設(shè)ω∈Dc,A,a是一維環(huán)面T上不恒為0的復(fù)解析函數(shù),V=λv, 其中v∈Gs,K(T)且滿足如下非退化條件:

?x∈T, ?m, s.t.V(m)(x)≠0.

(7)

則存在λ0=λ0(v,c,A,s,K), 使得當(dāng)系數(shù)λ>λ0時, Lyapunov指數(shù)L(E,ω)>0且滿足如下log-H?lder連續(xù)性:

其中γ是一個正的小常數(shù).

2 預(yù)備知識

命題1(雪崩原理)[1]令A(yù)1,…,An為2×2矩陣的序列, 其行列式滿足

(8)

假設(shè)

(9)

且

(10)

則

(11)

其中C為某個絕對常數(shù).對于Lyapunov指數(shù)的連續(xù)性問題, 只考慮算子譜集上的能量E即可.這是因?yàn)樵陬A(yù)解集上, 其為一個C∞函數(shù).注意到, 該算子的譜必然在如下閉區(qū)間中:

E∶=[-2‖a(x)‖L∞(T)-λ‖v(x)‖L∞(T), 2‖a(x)‖L∞(T)+λ‖v(x)‖L∞(T)].

(12)

所以本文只需考慮E∈E上的證明即可.

其次, 文獻(xiàn)[1]創(chuàng)造性地給出了一種證明Lyapunov指數(shù)連續(xù)性的方法. 研究表明, 只要得到了所研究動力系統(tǒng)對應(yīng)的大偏差定理, 再使用雪崩原理, 即可得到Lyapunov指數(shù)的連續(xù)性.因此, 只要得到如下大偏差定理, 再利用文獻(xiàn)[10]中的第三部分即可得到本文的主要結(jié)果.

定理2當(dāng)λ>λ0時, 存在常數(shù)0<σ∶=σ(v,a,s,K,c,A)<1和N0=N0(λ,v,a,s,K,c,A), 使得對任意的N>N0, 均有

再次, 需要對Gevrey函數(shù)做進(jìn)一步介紹.注意到已經(jīng)假設(shè)V=λv, 此時條件(2)等價(jià)于如下Fourier系數(shù)的弱指數(shù)衰減性:

(13)

顯然, 對任意的正整數(shù)n, 有

(14)

定義與Mn相關(guān)的兩類矩陣:

(15)

設(shè)

則通過簡單計(jì)算可知, 存在只依賴于v,a的常數(shù)λ1(v,a), 使得對任意的x∈T,E∈E以及無理數(shù)ω, 有

于是由式(14)以及文獻(xiàn)[9]中的引理A.2可知, 對任意的x∈T、 正整數(shù)n及E∈E、 無理數(shù)ω, 均有

(16)

最后, 介紹次調(diào)和函數(shù).設(shè)u(z)是定義在復(fù)區(qū)域Ω?上的實(shí)值函數(shù).

定義1[11]如果函數(shù)u(z)滿足下列條件：

1)u(z):Ω→[-∞,+∞);

2)u(z)是從Ω映入[-∞,+∞)的上半連續(xù)函數(shù);

3) 對任意的z1∈Ω, 總存在r1=r1(z1)>0, 使得對任意的0

(17)

則u(z)稱為定義在區(qū)域Ω上的次調(diào)和函數(shù).

注1當(dāng)f(z)是解析函數(shù)時, 由Jensen公式

引理1[10]設(shè)u:Ω→為復(fù)區(qū)域Ω?上的次調(diào)和函數(shù), 區(qū)域的邊界?Ω由有限多條C1組成, 且Tρ?Ω.則存在Ω上的一個測度μ, 使得對Ω中的任意緊子區(qū)域Ω1, 均有

(18)

其中h是子區(qū)域Ω1上的調(diào)和函數(shù), 且測度μ在上述性質(zhì)下是唯一的.進(jìn)一步,μ和h滿足如下邊界:

(19)

(20)

其中Ω2是Ω1的任意子區(qū)域.

命題2[12]設(shè)u:Ω→為復(fù)區(qū)域Ω?上的次調(diào)和函數(shù), 區(qū)域的邊界?Ω由有限多條C1組成, 且Tρ?Ω.如果且ω∈Dc,A, 則存在兩個正的小常數(shù)c1=c1(c,A)和C3=C3(c,A), 使得對任意的正整數(shù)n和偏差均有

(21)

‖u0-〈u0〉‖L∞(T)≤ε0, ‖u1‖L1(T)≤ε1.

(22)

則存在只依賴于ρ的常數(shù)Cρ, 使得

引理3(John-Nirenberg不等式) 設(shè)f是T上的BMO函數(shù), 則存在絕對常數(shù)C和c, 使得對任意的γ>0, 均有

(23)

3 主要結(jié)果的證明

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明核心的大偏差定理, 即定理2.首先, 證明其初始情況.

引理4[7]設(shè)v(x)是滿足非退化條件(7)的Gevrey函數(shù), 則存在只依賴于v的常數(shù)α=α(v), 使得對任意的δ>0和任意的γ, 均有meas{x: |v(x)-γ|<δ}<δα.

(24)

(25)

其中B=10s2,s為Gevrey指數(shù).

證明: 注意到

并記矩陣

Dn(x,E,ω)=diag(λv(x+ω)-E,λv(x+2ω)-E,…,λv(x+nω)-E),

Bn=(HN(x,ω)-E)-Dn,

函數(shù)fn(x,E,ω)=det(Hn(x,ω)-E), 則‖Bn(x,E,ω)‖≤C, 且

由引理4可得,

(26)

(27)

并且

則利用式(26)可得,

因此, 存在一個測度不超過ne-αρ+nλ-α的集合, 使得當(dāng)x∈T不在該集合上時, 有

(29)

另一方面, 由數(shù)學(xué)歸納法可得

(30)

注意到解析函數(shù)a(x)顯然滿足引理4, 故結(jié)合式(29),(30)可得式(24).最后, 利用H?lder不等式可得式(25).

下面證明歸納步驟.

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

證明： 不對頻率ω和能量E進(jìn)行討論.因此為簡便, 將其在符號中省去.

首先, 使用命題1.注意到條件(9), 先定義如下行列式為1的矩陣:

(37)

(38)

(39)

又由式(31)可得,

此時, 命題1的所有條件都滿足, 故當(dāng)x?Bi時, 有

其中

其中

類似地, 對于任意的0≤k

其中

(41)

故有

(42)

(43)

(44)

利用式(16), 可得

(45)

‖u1‖L2(T)≤n-3s.

由引理3, 注意到B=10s2, 則對任意的δ>0, 均有

(46)

再利用式(16)做替換, 可得