一類非線性三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的全局結(jié)構(gòu)

張 瑞 燕

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 蘭州 730070)

正解的全局結(jié)構(gòu), 其中r>0是一個(gè)參數(shù), 0<η<1, α,β>0, 且非線性項(xiàng)f∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞))在0處和∞處均滿足漸近線性增長(zhǎng)條件.

0 引 言

近年來(lái), 對(duì)帶各種邊界條件的二階和四階常微分方程邊值問(wèn)題的研究已被廣泛關(guān)注[1-6], 但對(duì)三階常微分方程邊值問(wèn)題的研究則相對(duì)較少. 三階邊值問(wèn)題是常微分方程中的經(jīng)典問(wèn)題, 關(guān)于其正解的存在性研究目前已有一些結(jié)果[7-11]. 特別地, Guo等[10]研究了非線性三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題

(1)

其中0<η<1, 1<α<1/η, 用錐拉伸與壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理得到下列結(jié)果.

定理1[10]設(shè)f∈C([0,∞),[0,∞)),a∈C([0,1],[0,∞))且在t∈[η/α,η]上不恒為零.若f滿足下列條件之一:

1)f0=0,f∞=∞; 2)f0=∞,f∞=0.

Feng等[11]研究了非線性三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題

(2)

用Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理證明了問(wèn)題(2)至少存在一個(gè)正解, 其中λ是一個(gè)正參數(shù), 0<η<1,α,β>0,q∈C((0,1),[0,∞)),f∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞)).

文獻(xiàn)[10-11]均基于錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理獲得了所討論問(wèn)題正解的存在性, 但并未得到關(guān)于正解集全局結(jié)構(gòu)的任何信息.本文用全局分歧定理考察三階邊值問(wèn)題

(3)

正解集的全局結(jié)構(gòu).

本文總假設(shè):

(H2)f: [0,1]×[0,∞)→[0,∞)連續(xù)且存在常數(shù)a,b∈(0,∞), 使得當(dāng)u→0時(shí),f(t,u)=au+o(u)對(duì)于?t∈[0,1]一致成立; 當(dāng)u→∞時(shí),f(t,u)=bu+o(u)對(duì)于?t∈[0,1]一致成立;

(H3) 當(dāng)t∈[0,1]且u∈(0,∞)時(shí),f(t,u)>0;

(H4) 存在常數(shù)a0∈(0,∞), 使得f(t,u)≥a0u, (t,u)∈[0,1]×[0,∞).

1 正映射的分歧定理

設(shè)(E,‖·‖)是一個(gè)實(shí)Banach空間,K?E是E中的一個(gè)錐,A: [0,∞)×K→E是一個(gè)非線性映射.若A([0,∞)×K)?K, 則稱A是正的.若A是連續(xù)的, 且將[0,∞)×K中的有界子集映成E中的相對(duì)緊集, 則稱A是K-全連續(xù)的.若一個(gè)正線性算子V滿足A(λ,u)≥λV(u), (λ,u)∈[0,∞)×K, 則稱V是E上對(duì)于A的線性弱函數(shù).設(shè)B是E上的一個(gè)連續(xù)線性算子,r(B)為B的譜半徑.定義本征值集合為ck(B)={λ∈[0,∞): ?x∈K, ‖x‖=1,x=λBx}.

引理1[12]假設(shè)下列兩個(gè)條件成立:

2)A: [0,∞)×K→E是K-全連續(xù)且正的,A(λ,0)=0,λ∈;A(0,u)=0,u∈K, 且A(λ,u)=λBu+F(λ,u), 其中B:E→E是E上一個(gè)強(qiáng)正的線性緊算子, 且r(B)>0,F: [0,∞)×K→E滿足當(dāng)‖u‖→0時(shí), ‖F(xiàn)(λ,u)‖=o(‖u‖) 對(duì)λ局部一致成立.

則存在

DK(A)={(λ,u)∈[0,∞)×K:u=A(λ,u),u≠0}∪{r(B)-1,0}

的一個(gè)無(wú)界連通分支C, 使得(r(B)-1,0)∈C.此外, 若A有一個(gè)線性弱函數(shù)V, 且存在(μ,y)∈(0,∞)×K, 使得‖y‖=1且μVy≥y, 則C?{DK(A)∩([0,μ]×K)}.

引理2(Krein-Rutman定理)[13]設(shè)E是一個(gè)Banach空間,K?E是一個(gè)錐且滿足K0≠?.設(shè)T∈L(E)是一個(gè)緊的強(qiáng)正算子, 且T的譜半徑r(T)>0, 則r(T)是T的一個(gè)具有正特征函數(shù)φ∈K0的簡(jiǎn)單特征值, 并且T再無(wú)其他正特征值.

2 正特征值

引理3[11]假設(shè)(H1)成立, 且h(t)∈X.若u∈C3[0,1], 則邊值問(wèn)題

(4)

(5)

引理4[11]G1(t,s)滿足下列性質(zhì):

1) 0≤t2G1(1,s)≤G1(t,s)≤G1(1,s), (t,s)∈[0,1]×[0,1];

2)G1(η,s)≤(-η2+2η)G1(1,s);

注1由式(5)及引理4可得:

1) 0≤t2G(1,s)≤G(t,s)≤G(1,s), (t,s)∈[0,1]×[0,1];

令

(6)

定義算子Tλa:P→X,

引理6假設(shè)u(t)∈C([0,1],[0,∞)), 則Tλa:P→P是全連續(xù)的.

證明: 下面分兩步證明Tλa:P→P是全連續(xù)算子:

1) 證明Tλa在P中有定義.對(duì)?t∈[0,1], 有

故

另一方面, 對(duì)?t∈[η,1], 由引理4可得

從而(Tλau)(t)∈P, 進(jìn)而Tλa(P)?P.

2) 證明Tλa是一個(gè)緊算子.定義B={u∈X: ‖u‖≤r, ?r>0}.

首先證明Tλa(B)在C[0,1]上一致有界.對(duì)?u(t)∈B, 由于

所以Tλa(B)在C[0,1]上一致有界.

其次證明Tλa(B)在C[0,1]上等度連續(xù).對(duì)任意的t1,t2∈[0,1], 不妨假設(shè)t1

由于G(·,s)連續(xù), 故對(duì)?ε>0, 存在δ=δ(ε), 使得當(dāng)|t2-t1|<δ時(shí), 有

|(Tλau)(t1)-(Tλau)(t2)|<ε,

因此Tλa(B)在C[0,1]上等度連續(xù).由Arzela-Ascoli定理知,Tλa:P→P是全連續(xù)算子.證畢.

引理7Tλa(P{0})?intP.

(Tλau)?(t)=λau(t)>0,t∈[0,1],

(Tλau)(0)=α(Tλau)′(0), (Tλau)(1)=β(Tλau)(η), (Tλau)′(1)=0.

由注1知,G(t,s)關(guān)于t是遞增的, 故有

令u∈(P{0}),t∈[η,1], 則由引理6的證明可得

因此Tλa(P{0})?intP.證畢.

由引理6知,Tλa是緊算子, 由引理7知,Tλa是強(qiáng)正算子, 再結(jié)合引理2知,Tλa有一個(gè)正特征值λ1,a,φ1,a(t)>0是λ1,a對(duì)應(yīng)的特征函數(shù).同理可知線性特征值問(wèn)題

(7)

有一個(gè)正特征值λ1,b,φ1,b(t)>0是λ1,b對(duì)應(yīng)的特征函數(shù).

3 主要結(jié)果

定理2假設(shè)(H1)～(H4)成立, 若下列條件之一成立:

定義L:D(L)→X,Lu∶=-u?,u∈D(L), 其中

D(L)={u∈C3[0,1]:u(0)=αu′(0),u(1)=βu(η),u′(1)=0},

易驗(yàn)證L-1:X→Y是緊的.

設(shè)ζ,ξ∈C([0,1]×[0,∞)), 使得f(t,u)=au+ζ(t,u),f(t,u)=bu+ξ(t,u), 由條件(H2)可知, 當(dāng)u→0時(shí),f(t,u)=au+o(u)對(duì)于?t∈[0,1]一致成立; 當(dāng)u→∞時(shí),f(t,u)=bu+o(u)對(duì)于?t∈[0,1]一致成立.

下面考慮

Lu=λrau+λrζ(t,u)

(8)

從平凡解u恒為0處產(chǎn)生的分歧問(wèn)題.由引理3知, 問(wèn)題(8)等價(jià)于

定義B:Y→Y,

定義F: [0,∞)×Y→Y,

則對(duì)于?λ∈[0,∞), 有

故

即‖F(xiàn)(λ,u)‖Y=o(‖u‖Y)關(guān)于λ局部一致.

下面證明定理2.顯然, 當(dāng)λ=1時(shí), 問(wèn)題(8)的任意一個(gè)解(1,u)均為問(wèn)題(3)的解u.若證明C穿過(guò)超平面{1}×Y∈×Y, 則只需證明C連接和.設(shè)(μn,yn)∈C滿足μn+‖yn‖Y→∞, 注意到對(duì)任意的n∈, 有μn>0, 因?yàn)?0,0)是λ=0時(shí)問(wèn)題(8)的唯一解且C∩({0}×Y)=?.

首先, 證明若存在一個(gè)常數(shù)M>0, 使得

μn∈(0,M],

(9)

其次, 證明確實(shí)存在一個(gè)常數(shù)M, 使得對(duì)于?n∈, 有μn∈(0,M].由引理1知, 僅需證明A有一個(gè)線性弱函數(shù)V, 且存在(μ,y)∈(0,∞)×P, 使得‖y‖Y=1且μVy≥y.由假設(shè)(H4), 存在常數(shù)a0∈(0,∞), 使得

f(t,u)≥a0u, (t,u)∈[0,1]×[0,∞).

且({1}×E)∩ C≠?.假設(shè)存在M>0, 使得對(duì)所有的n∈, 均有μn∈(0,M], 則由情形1)的證明過(guò)程同理可得

推論1假設(shè)(H1)～(H4)成立, 若下列條件之一成立:

則非線性常微分方程邊值問(wèn)題

(10)

至少存在一個(gè)正解.

證明: 由定理2可知, 當(dāng)r=1時(shí)結(jié)果仍然成立, 所以結(jié)論成立.