周期情形下水波系統(tǒng)解映射的不一致連續(xù)性

王海權(quán), 種鴿子

(1. 太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 太原 030024; 2. 西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 西安 710127)

1 引言與主要結(jié)果

本文主要考慮如下周期情形下水波系統(tǒng)的初值問題:

(1)

2 預(yù)備知識

為估算方便, 取α=0將問題(1)化為如下形式:

(2)

其中a≠1.

定義1[11-12]設(shè)s∈, 1≤p,r≤∞.非齊次的Besov空間d)定義為

命題1[13-14]設(shè)s∈, 1≤p,r,pi,ri≤∞,i=1,2, 則有:

4) 若(un)n∈是中的有界序列且在S′中趨于u, 則且

6) 令m∈,f是一個(gè)Sm乘子, 則f(D)是從到的連續(xù)算子.

對于輸運(yùn)方程的初值問題:

?tu+v·u=g,u|t=0=u0,

(3)

有以下結(jié)論.

1) 若r=1或者s≠1+1/p, 則

2) 若s>0, 則

對于問題(3)的一維情形, 有如下結(jié)論.

引理3[7]令σ,α∈, 若n∈+,n?1, 則對任意的1≤r≤∞, 有

引理4[13]假設(shè)1≤p,r≤∞, 則下列結(jié)論成立:

注3若在引理7中令μ(r)=r(1-lnr), 則M(x)=ln(1-lnx); 進(jìn)一步, 對d>0, 有

注4上述命題、 引理及定義對于周期情形也成立.

下面給出問題(2)解的局部適定性結(jié)果.

(4)

3 定理1的證明

下面通過構(gòu)造近似解[5-6]的方法證明定理1.

3.1 近似解估計(jì)

首先, 構(gòu)造如下近似解:

uω,n(t)=ωn-1+n-3/2cos(nx-ωt),ρω,n(t)=ωn-1+n-1/2cos(nx-ωt),

其中ω=±1,n∈+,n?1.將構(gòu)造的近似解代入問題(2)的方程, 并設(shè)

從而

于是有下列結(jié)論:

引理9若ω=±1,n∈+,n?1, 則有

3.2 近似解與解的差估計(jì)

設(shè)zω,n(t)=(uω,n(t),ρω,n(t))是如下問題的解, 即滿足

(5)

其中

由引理3可知,

再根據(jù)引理8可知,zω,n(t)是問題(5)的唯一解, 并且解的最大存在時(shí)間

為估算近似解與解的差, 設(shè)σ=uω,n-uω,n,η=ρω,n-ρω,n, 將其代入問題(5), 可得

(6)

其中

由命題1中2)和引理8可得

對問題(6)的第一個(gè)方程和第二個(gè)方程分別使用引理1中1)和引理2, 可得

由命題1中2)可得

由引理4可得

由引理5可得

根據(jù)引理3和引理8可知,

由引理6可得

進(jìn)一步, 根據(jù)引理3和引理8可知, 存在M>0, 使得

(7)

(8)

(9)

引理10若ω=±1,n∈+,n?1, 則有

3.3 定理1的證明

(10)

利用命題1中2)和引理4分別估算式(10),(11)的每一項(xiàng), 可得

(12)

(13)

對于任意的0≤t≤T1

再結(jié)合引理3對式(14)兩邊同時(shí)取極限, 可得

定理1證畢.