新工科背景下線性代數(shù)的教學(xué)改革

◎?qū)O英特 (揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225009)

大學(xué)數(shù)學(xué)教育是高等教育的基礎(chǔ)性環(huán)節(jié)，其中線性代數(shù)課程又是該基礎(chǔ)性環(huán)節(jié)的重要組成部分.近年來(lái)，國(guó)家為了進(jìn)一步加快產(chǎn)業(yè)變革，支撐創(chuàng)新發(fā)展而不斷推進(jìn)“新工科”建設(shè).在以互聯(lián)網(wǎng)和工業(yè)智能為核心的“新工科”專(zhuān)業(yè)中，線性代數(shù)的課程內(nèi)容對(duì)于其專(zhuān)業(yè)人才的培養(yǎng)具有極為重要的支撐作用.

線性代數(shù)課程主要探討了行列式、矩陣、線性方程組、線性映射等概念和內(nèi)容.大多數(shù)的大學(xué)新生在中學(xué)階段都未曾接觸過(guò)上述概念，故而他們?cè)诮佑|這些概念后，往往會(huì)覺(jué)得其抽象復(fù)雜，難以掌握.在這些主客觀因素的影響下，普通的工科大學(xué)生對(duì)于這門(mén)課程的學(xué)習(xí)和掌握情況往往并不理想.因此許多專(zhuān)家學(xué)者在該課程的課堂設(shè)計(jì)、教學(xué)探究上做出了很多卓有成效的探索和思考.而在強(qiáng)調(diào)“新工科”專(zhuān)業(yè)建設(shè)的新背景下，本文嘗試從“新工科”專(zhuān)業(yè)人才培養(yǎng)目標(biāo)出發(fā)的角度，對(duì)線性代數(shù)課程的教學(xué)進(jìn)行一些新的思考和探索，主要可以分為對(duì)于傳統(tǒng)的線性代數(shù)教學(xué)的局限性的思考，“新工科”背景下的教育管理者的教學(xué)改革的探索，以及對(duì)于一線教學(xué)工作者教學(xué)實(shí)踐的建議.

一、“新工科”專(zhuān)業(yè)建設(shè)背景下，線性代數(shù)教學(xué)的局限性

近年來(lái)，教育部不斷推進(jìn)以新興產(chǎn)業(yè)為主導(dǎo)的“新工科”專(zhuān)業(yè)建設(shè)，線性代數(shù)的課程內(nèi)容在“新工科”專(zhuān)業(yè)的人才培養(yǎng)中有著基礎(chǔ)性的地位.對(duì)于“新工科”專(zhuān)業(yè)而言，其培養(yǎng)的人才需要具備將數(shù)學(xué)知識(shí)在其專(zhuān)業(yè)的實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用的能力.這對(duì)于以知識(shí)傳授為主要目標(biāo)的傳統(tǒng)教學(xué)模式而言，有著巨大的挑戰(zhàn).筆者從下述兩方面，對(duì)傳統(tǒng)的線性代數(shù)教學(xué)模式的局限性給予一些分析.

(一)教學(xué)目標(biāo)不明確，未能有效地服務(wù)于培養(yǎng)學(xué)生的主體目標(biāo)

近年來(lái)高校教師的新老交替在日益加速，因此線性代數(shù)是大多數(shù)青年數(shù)學(xué)教師需要教授的一門(mén)公共課程.由于教師群體在認(rèn)知和經(jīng)歷上存在差異，因此他們對(duì)該課程教學(xué)目標(biāo)的認(rèn)知必然存在一些差異.在當(dāng)下不斷強(qiáng)調(diào)“新工科”建設(shè)的背景下，高校如果無(wú)法在教師群體中樹(shù)立一個(gè)合理的教學(xué)目標(biāo)，那么對(duì)“新工科”人才的培養(yǎng)無(wú)疑具有一定的消極作用.

一些富有經(jīng)驗(yàn)的高校數(shù)學(xué)教師在線性代數(shù)的課堂教學(xué)中會(huì)不斷強(qiáng)調(diào)行列式、矩陣和線性方程組計(jì)算的重要性，并認(rèn)為工科學(xué)生的主要學(xué)習(xí)目標(biāo)是以掌握計(jì)算為主，理解為輔.而青年數(shù)學(xué)教師則認(rèn)為過(guò)于強(qiáng)調(diào)計(jì)算的教學(xué)目標(biāo)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理念是有所沖突的，但相對(duì)淺薄的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)又讓其難以梳理出合適、合理的教學(xué)目標(biāo).

筆者認(rèn)為，掌握熟練的計(jì)算能力和準(zhǔn)確理解概念都不是“新工科”專(zhuān)業(yè)學(xué)生在線性代數(shù)課程上真正的學(xué)習(xí)目標(biāo).教學(xué)目標(biāo)的設(shè)定，應(yīng)該與人才的專(zhuān)業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)和發(fā)展需求息息相關(guān).完全從數(shù)學(xué)教師的角度去理解“新工科”專(zhuān)業(yè)人才的發(fā)展目標(biāo)不免有些妄自尊大.教師們只有真正理解了線性代數(shù)課程在學(xué)生自身的專(zhuān)業(yè)發(fā)展中的地位和作用，才能夠真正地樹(shù)立一個(gè)明確合理的教學(xué)目標(biāo).

(二)教學(xué)內(nèi)容偏向形式化、抽象化，教學(xué)目標(biāo)脫離實(shí)際應(yīng)用背景

在傳統(tǒng)的課堂教學(xué)中，線性代數(shù)課程內(nèi)容與數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的高等代數(shù)課程內(nèi)容幾乎是一致的，其主要的差異體現(xiàn)在部分內(nèi)容的刪減以及對(duì)邏輯推理的淡化.因此在課堂教學(xué)中，教師們往往會(huì)用與數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)相似的教學(xué)方式來(lái)教授課程中抽象的定義和概念.對(duì)于“新工科”專(zhuān)業(yè)學(xué)生，這樣的教學(xué)模式難以激發(fā)學(xué)生對(duì)該課程內(nèi)容的認(rèn)可和學(xué)習(xí)主動(dòng)性.

值得注意的是，線性代數(shù)課程內(nèi)容在“新工科”專(zhuān)業(yè)中往往具有極其重要的作用.以計(jì)算機(jī)科學(xué)專(zhuān)業(yè)中兩個(gè)重要的研究方向?yàn)槔涸谌斯ぶ悄艿闹匾芯糠较颉吧窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)”中，研究者們往往將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為高維向量，并將模型的所有參數(shù)儲(chǔ)存在多個(gè)矩陣當(dāng)中；在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，工程師會(huì)使用一個(gè)特殊的矩陣來(lái)表達(dá)其對(duì)應(yīng)的像素點(diǎn)信息，并通過(guò)矩陣運(yùn)算來(lái)改變?cè)撓袼攸c(diǎn)的位置.

筆者認(rèn)為，傳統(tǒng)的線性代數(shù)教學(xué)模式缺乏將數(shù)學(xué)概念與實(shí)際工程問(wèn)題相結(jié)合的主動(dòng)性.這也就容易導(dǎo)致工科學(xué)生學(xué)而無(wú)味，并覺(jué)得學(xué)而無(wú)用，從而難以激發(fā)其學(xué)習(xí)主動(dòng)性.

二、“新工科”背景下，線性代數(shù)教學(xué)改革的一些新思路

教育部自2017年以來(lái)，不斷強(qiáng)調(diào)“新工科”建設(shè)，目標(biāo)是培養(yǎng)出實(shí)踐能力強(qiáng)、創(chuàng)新能力強(qiáng)、具備國(guó)際競(jìng)爭(zhēng)力的高素質(zhì)復(fù)合型新工科人才.作為工科人才培養(yǎng)的基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)課程之一，線性代數(shù)的教學(xué)改革也需要有新的思路，只有這樣才能為“新工科”背景下的人才培養(yǎng)提供新的動(dòng)力，為“中國(guó)制造2025”注入新的活力.

(一)改變教材建設(shè)觀點(diǎn)，打破傳統(tǒng)教材建設(shè)怪圈

教材建設(shè)一直是課程改革的重點(diǎn)，而線性代數(shù)作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，其教材建設(shè)一直都受到高校和出版社的重視.線性代數(shù)教材雖然種類(lèi)繁多，但是卻較難脫離出傳統(tǒng)教材建設(shè)的怪圈，即重復(fù)性高、適應(yīng)性低、應(yīng)用性低.所謂重復(fù)性高，是指不同的教材盡管在知識(shí)框架的編排上具有一定的區(qū)別，但是組織方式和內(nèi)容表達(dá)上并沒(méi)有本質(zhì)差異.所謂適應(yīng)性低，是指該類(lèi)教材的編著者大多出自傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)院系，缺乏將課程知識(shí)與工程應(yīng)用相結(jié)合的教育背景，這樣使得教學(xué)模式偏向于數(shù)學(xué)化.所謂應(yīng)用性低，指的是在教材建設(shè)中，編著者沒(méi)有注重將課程內(nèi)容與實(shí)際工程問(wèn)題相結(jié)合，這就使得學(xué)生只是掌握了大量的抽象概念，但缺乏應(yīng)用能力的支撐，壓制了“新工科”專(zhuān)業(yè)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性.

筆者認(rèn)為若想在源頭上釋放出新工科的活力，則一定要打破傳統(tǒng)教材建設(shè)怪圈，并在下述兩個(gè)方面有所發(fā)展.第一，注重教材編著人員的交叉化和多元化.傳統(tǒng)的線性代數(shù)教材的編著基本都依賴(lài)于數(shù)學(xué)教師.而新時(shí)代，“新工科”背景下的線性代數(shù)課程的教材建設(shè)應(yīng)更加依賴(lài)于數(shù)學(xué)教師與各工科教師之間的交融，從而編纂出更具有專(zhuān)業(yè)針對(duì)性的教材.第二，注重教材編纂與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合.以線性方程組及其相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)為例.傳統(tǒng)的課堂教學(xué)注重讓學(xué)生理解方程組解的結(jié)構(gòu)以及求解.這確實(shí)是正確的,但也需要注重在課堂中引入線性方程組在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.如果教師能夠讓學(xué)生借助于方程組知識(shí)和編程語(yǔ)言(例如Python)去解決一些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，那么所能得到的教學(xué)效果更為理想.

(二)因材施教，依據(jù)學(xué)生的專(zhuān)業(yè)和發(fā)展方向，精準(zhǔn)培養(yǎng)人才

在人才的培養(yǎng)中做到因材施教是教育者們的共識(shí)，也是一個(gè)目標(biāo).但在大學(xué)教育中如何貫徹這一共識(shí)，教育者們有著自己的觀點(diǎn).筆者在此以線性代數(shù)的教學(xué)為例談一談個(gè)人的認(rèn)知.

近年來(lái)，伴隨著高等學(xué)校擴(kuò)招而來(lái)的是在校學(xué)生人數(shù)的不斷攀升，數(shù)學(xué)公共課程的教師們很難在課堂上就不同學(xué)生的個(gè)體特異性采取具有針對(duì)性的教學(xué)方式.但就線性代數(shù)的教學(xué)而言，就不同專(zhuān)業(yè)和類(lèi)別的學(xué)生群體做到某種程度上適中的因材施教是有可能的.筆者認(rèn)為這需要注意如下兩點(diǎn).

針對(duì)不同專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，傳統(tǒng)的線性代數(shù)教學(xué)有著明顯同質(zhì)化的傾向.由于不同專(zhuān)業(yè)的學(xué)生的需求有著明顯差別，因此教育者們需要關(guān)注所教授專(zhuān)業(yè)的學(xué)生所需，從而在教學(xué)內(nèi)容和方式上有所取舍.以信息科學(xué)專(zhuān)業(yè)的大學(xué)生為例，教師們應(yīng)更注重于培養(yǎng)學(xué)生們對(duì)于向量、矩陣等概念的幾何直觀，并能夠在課堂上幫助學(xué)生將其與數(shù)據(jù)科學(xué)、信息科學(xué)中的重要概念建立起直觀聯(lián)系.

針對(duì)同一專(zhuān)業(yè)，不同學(xué)習(xí)目標(biāo)的學(xué)生.首先，教學(xué)人員應(yīng)該提升課程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)要求，保證較高的教學(xué)目標(biāo).其次，教學(xué)人員應(yīng)在課程教學(xué)過(guò)程中有針對(duì)性地介紹課程知識(shí)的應(yīng)用背景，拓寬學(xué)生視野.最后，高校需要有針對(duì)性地開(kāi)設(shè)進(jìn)一步深化學(xué)習(xí)的連貫課程，例如線性代數(shù)進(jìn)階、線性代數(shù)的計(jì)算方法等課程，保障有著較高學(xué)習(xí)目標(biāo)的學(xué)生的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì).

(三)改變傳統(tǒng)教師培訓(xùn)思路，拓寬教師視野，結(jié)合人才培養(yǎng)需求

教師培養(yǎng)是現(xiàn)代大學(xué)教育中的一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié).一位青年教師的成長(zhǎng)必然伴隨著其教學(xué)能力的提升和教學(xué)思想的完善.近年來(lái)，由于諸多高校在不斷強(qiáng)調(diào)教師回歸到立德樹(shù)人本職工作的重要性，因此加大對(duì)教師的培訓(xùn)力度在諸多教育部門(mén)的計(jì)劃表中.針對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)公共課程線性代數(shù)，筆者認(rèn)為除了傳統(tǒng)的一些培訓(xùn)目標(biāo)外，還應(yīng)拓展教師專(zhuān)業(yè)視野，加深教師對(duì)于線性代數(shù)在工程科學(xué)中的認(rèn)知.

以信息科學(xué)中的一些專(zhuān)業(yè)為例，線性代數(shù)中的向量和矩陣的概念具有極為重要的作用.例如在圖像處理中，一般是將圖像以高階矩陣的形式進(jìn)行保存，在處理的時(shí)候再將該矩陣?yán)斐蔀橐粋€(gè)向量進(jìn)行處理；在人工智能的“深度學(xué)習(xí)”模型中，模型的所有參數(shù)都會(huì)被儲(chǔ)存在許多個(gè)“并串聯(lián)”的矩陣中.通過(guò)這些簡(jiǎn)單的例子，大家已經(jīng)可以感受到線性代數(shù)中的基本概念在工程科學(xué)中具有其獨(dú)特的含義和應(yīng)用，而這些含義和應(yīng)用往往并不為傳統(tǒng)的教學(xué)工作者所熟知.故而筆者認(rèn)為在未來(lái)的高校數(shù)學(xué)教師培養(yǎng)中，我們應(yīng)該按照教學(xué)對(duì)象的專(zhuān)業(yè)需求、有針對(duì)性地對(duì)教師們進(jìn)行細(xì)化的專(zhuān)業(yè)培訓(xùn).例如，對(duì)于信息科學(xué)、智能制造、智能建造等專(zhuān)業(yè)的實(shí)際背景加大了解，并對(duì)這些專(zhuān)業(yè)中的具體的線性代數(shù)的應(yīng)用案例加以學(xué)習(xí).這樣的教師培養(yǎng)思路，既提升了教師的實(shí)際能力，也能為“新工科”的人才培養(yǎng)提供新的動(dòng)力.

三、“新工科”背景下，線性代數(shù)的教學(xué)實(shí)踐中的一些新的教學(xué)方法

前面所提到的教材建設(shè)中的新思路主要是針對(duì)教育管理者在線性代數(shù)課程的教學(xué)改革中的一些建議.而對(duì)于承擔(dān)一線教學(xué)工作的教師們，他們也需要在日常的課堂教學(xué)中具備新的教學(xué)觀點(diǎn)，應(yīng)用新的教學(xué)方式，從而取得更好的教學(xué)效果.

(一)從注重形式化、邏輯化的教學(xué)方式向注重圖像化、直觀化轉(zhuǎn)變

在傳統(tǒng)的線性代數(shù)教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師們傾向于依托知識(shí)體系中內(nèi)蘊(yùn)的形式化邏輯進(jìn)行講授.依照著常規(guī)的引例、定義、性質(zhì)、應(yīng)用的知識(shí)構(gòu)成方式的講解對(duì)于非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生而言，其接受的效果往往難以達(dá)到教師們的心理預(yù)期.因此在教學(xué)的過(guò)程中如何有效地限制住不斷提高的知識(shí)內(nèi)容的抽象性要求，而又不影響核心內(nèi)容的傳授就成了教學(xué)工作者們需要解決的一個(gè)重要的問(wèn)題.就這個(gè)問(wèn)題，筆者認(rèn)為教師們?cè)谡n堂教學(xué)中應(yīng)該注意以下兩點(diǎn).

首先，應(yīng)該注重概念的圖像化處理，而非抽象化.例如，對(duì)線性代數(shù)中的向量、向量的正交、向量的分解等重要概念的介紹中，教師們應(yīng)該充分借助于現(xiàn)代化的電子教學(xué)工具，以大量清晰、生動(dòng)的三維幾何圖像進(jìn)行解釋?zhuān)⒉灰詫で笠粋€(gè)嚴(yán)格的形式化定義為目標(biāo).當(dāng)學(xué)生們充分理解了二維、三維這些可以圖像化的對(duì)象后，教師們可以嘗試推廣到一般的n維向量中.這樣的教學(xué)方式能夠極大降低學(xué)生們對(duì)于這些概念的理解難度，但不會(huì)降低學(xué)生們對(duì)核心知識(shí)的掌握要求.

其次，注重推理過(guò)程中的直觀化處理，而非邏輯化.例如，在講授矩陣與向量的乘法運(yùn)算中，教師們可以將簡(jiǎn)單的二階矩陣和二維向量的運(yùn)算表達(dá)式充分展開(kāi)，從而表現(xiàn)出在這樣的一個(gè)運(yùn)算過(guò)程中是如何實(shí)現(xiàn)了空間基底的變化，以及為何矩陣的各列就成了映射后的新基底.以此為基礎(chǔ)，教師們就可以自然地解釋出為何同樣都是二階方陣，一些方陣將二維的向量空間壓縮為一維空間，而另一些則沒(méi)有.這就可以自然地詮釋出方陣的秩這一概念的思想來(lái)源.在這樣的一個(gè)推導(dǎo)過(guò)程中，不過(guò)度追求推理的邏輯化，而以直觀化的方法解釋運(yùn)算過(guò)程中的作用機(jī)理為主要目標(biāo).

(二)從注重抽象知識(shí)的傳授向提升學(xué)生應(yīng)用能力的轉(zhuǎn)變

傳統(tǒng)的線性代數(shù)課程的主要教學(xué)目標(biāo)是學(xué)生們能夠理解重要概念，具備熟練的計(jì)算能力，以及基本的邏輯推演能力.在國(guó)家大力推進(jìn)“新工科”的教育背景下，這樣的教學(xué)目標(biāo)是否仍然能夠完全適應(yīng)人才培養(yǎng)的需求，是一個(gè)需要廣大教育工作者思考的問(wèn)題.

筆者認(rèn)為，“新工科”背景下的教學(xué)目標(biāo)除了關(guān)注于所傳授的知識(shí)的考核外，還應(yīng)加大對(duì)學(xué)生們能否利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行實(shí)際問(wèn)題處理的能力的考核.此處，以計(jì)算機(jī)科學(xué)、大數(shù)據(jù)科學(xué)這些“新工科”專(zhuān)業(yè)的學(xué)生為例，學(xué)生的考核中除了筆試形式的知識(shí)考核外,還應(yīng)該包含有一些需要進(jìn)行實(shí)際操作的項(xiàng)目的考核.例如，數(shù)據(jù)的降維(減少對(duì)象的特征維度)是這兩個(gè)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生常常需要處理的基本問(wèn)題，而以特征值分解(EVD)和奇異值分解(SVD)為理論基礎(chǔ)的主成分分析法(PCA)就是該問(wèn)題常用的處理方法之一.學(xué)生們應(yīng)該能夠清晰地詮釋出這兩種方法所牽涉的線性映射的數(shù)學(xué)理論，并具備使用Python等計(jì)算機(jī)程序語(yǔ)言將這兩種方法應(yīng)用到一些如商品推薦，圖片壓縮等實(shí)際問(wèn)題中的能力.如果一線教學(xué)工作者能夠在教學(xué)實(shí)踐中堅(jiān)持這樣的教學(xué)目標(biāo)，那么他們將培養(yǎng)出更多的高質(zhì)量的“新工科”專(zhuān)業(yè)人才.

不過(guò)需要注意的是，這樣的教學(xué)考核方式和過(guò)程監(jiān)督將會(huì)對(duì)教育管理者的課程建設(shè)能力和授課教師的專(zhuān)業(yè)能力提出極高的要求.其能否施行，將極大地依賴(lài)于前面所提到的拓展教材建設(shè)、細(xì)化教學(xué)目標(biāo)、深化師資隊(duì)伍培養(yǎng)等幾大教學(xué)改革思路能否得到落實(shí).也只有這樣才能夠真正地實(shí)現(xiàn)以人才分類(lèi)培養(yǎng)為框架，以教師能力培訓(xùn)為引導(dǎo)，以學(xué)生能力提升為目標(biāo)的良性教學(xué)循環(huán).

四、結(jié) 語(yǔ)

上述中所提到的一些看法，是筆者近幾年在對(duì)工科類(lèi)專(zhuān)業(yè)大學(xué)生的線性代數(shù)的課程教學(xué)中的一些感受和思考.筆者認(rèn)為只有對(duì)教學(xué)材料分類(lèi)建設(shè)、教學(xué)目標(biāo)細(xì)化分類(lèi)，以及教師隊(duì)伍深化培訓(xùn)才能夠解決高校的基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)課程在教學(xué)上容易脫離實(shí)際應(yīng)用背景、難以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、缺乏人才培養(yǎng)多元化的一系列痛點(diǎn).同時(shí)，一線的教學(xué)工作者只有注重直觀化的知識(shí)傳授方式和提升學(xué)生實(shí)際應(yīng)用能力的教學(xué)導(dǎo)向，才能夠取得更好的教學(xué)效果，培養(yǎng)出合格的“新工科”專(zhuān)業(yè)人才，徹底地激發(fā)出數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性課程對(duì)“新工科”人才培養(yǎng)的支撐性作用，從而為“中國(guó)制造2025”激發(fā)出巨大的潛能和活力.