考慮剪力滯的波形鋼腹板連續(xù)曲線箱梁內(nèi)力求解方法

楊美良,袁以鑫,鐘揚(yáng),樊林杰,劉陽(yáng)帆

（1. 長(zhǎng)沙理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410114；2. 湖南機(jī)場(chǎng)建設(shè)指揮部，長(zhǎng)沙 410114）

近年來(lái)，波形鋼腹板箱梁因具有自重小、可以提高底板的有效預(yù)應(yīng)力等優(yōu)勢(shì)正不斷地被應(yīng)用到實(shí)際工程中。然而，現(xiàn)在關(guān)于波形鋼腹板箱梁的研究工作大多圍繞直線梁，對(duì)曲線梁的研究仍然存在很大不足。仝波等[1]推導(dǎo)了波形鋼腹板曲線箱梁（CCBG(CSWs)）的彎扭耦合計(jì)算公式，并得到了CCBG(CSWs)簡(jiǎn)支結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化求解公式；楊丙文等[2]基于力法對(duì)在恒載和活載作用下的三跨等截面連續(xù)波形鋼腹板曲線箱梁進(jìn)行研究，得到了波形鋼腹板連續(xù)曲線箱梁的邊中跨合理比值；田寶升[3]依據(jù)烏曼斯基縱向翹曲位移理論，考慮曲梁彎扭耦合影響，推導(dǎo)了CCBG(CSWs)簡(jiǎn)支結(jié)構(gòu)的約束扭轉(zhuǎn)控制微分方程；杜勛[4]通過(guò)能量法得到了CCBG(CSWs)簡(jiǎn)支結(jié)構(gòu)的約束扭轉(zhuǎn)微分方程，并依據(jù)伽遼金法得到該方程的求解解析式，最后通過(guò)力法提出了多跨波形鋼腹板連續(xù)曲線箱梁的受力求解方法；劉蓓[5]基于能量變分法，考慮剪力滯、彎扭耦合以及剪切畸變等影響推導(dǎo)了彈性階段CCBG(CSWs)簡(jiǎn)支結(jié)構(gòu)的約束扭轉(zhuǎn)控制微分方程。在對(duì)CCBG(CSWs)簡(jiǎn)支結(jié)構(gòu)的橫截面翼板縱向位移分析中，已有研究要么忽略了剪滯效應(yīng)引起的翹曲位移[4]，要么在豎向彎曲位移中忽略了豎向剪力產(chǎn)生的剪切變形影響[5-6]；而對(duì)于波形鋼腹板連續(xù)曲線箱梁的研究均未考慮剪力滯的影響，且在內(nèi)力分析求解過(guò)程中還是基于傳統(tǒng)力學(xué)方法，給計(jì)算帶來(lái)極大不便。筆者基于文獻(xiàn)[4-7]和能量法對(duì)CCBG(CSWs)一次簡(jiǎn)支超靜定結(jié)構(gòu)的約束扭轉(zhuǎn)微分方程進(jìn)行補(bǔ)充修正，結(jié)合三彎矩法,運(yùn)用該微分方程對(duì)某三跨等截面波形鋼腹板連續(xù)曲線箱梁進(jìn)行受力性能研究，構(gòu)建有限元模型檢驗(yàn)理論的適用性，并將本文方法與曲桿結(jié)構(gòu)力學(xué)法進(jìn)行分析比較。

1 控制微分方程的建立

1.1 剪力滯引起的梁體應(yīng)變能

假設(shè)CCBG(CSWs)的豎向撓度為ω，豎向剪力引起的剪切變形為θ，則橫截面的縱向位移函數(shù)μ可表示為[5,7]

式中：x軸沿橋縱向；y軸沿橋橫向；z軸沿橋豎向。

根據(jù)式(1)縱向位移函數(shù)，可得截面的彈性應(yīng)變

式中：zi為梁橫截面形心距頂?shù)装逍涡牡拈g距；δ為翼緣板剪切轉(zhuǎn)角的最大差值；Ψ為截面的扭轉(zhuǎn)角；R為曲線半徑；?為剪滯翹曲位移函數(shù)[5]。

結(jié)合文獻(xiàn)[6,8-9]，由剪力滯引起的梁體應(yīng)變能Wq為

1.2 其他應(yīng)變能

根據(jù)文獻(xiàn)[4,10]，約束扭轉(zhuǎn)翹曲應(yīng)變能Wω為

根據(jù)文獻(xiàn)[4,7]，腹板剪切應(yīng)變能Wf為

根據(jù)文獻(xiàn)[4,10-11]，約束扭轉(zhuǎn)剪切應(yīng)變能WT為

考慮到畸變引起的變形不參與到CCBG(CSWs)的內(nèi)力求解，并且畸變引起的變形與上述5種變形相互獨(dú)立。因此，在對(duì)波形鋼腹板連續(xù)曲線箱梁的內(nèi)力求解中不考慮畸變產(chǎn)生的影響。

1.3 外荷載勢(shì)能

外荷載勢(shì)能W外可表示為

式中：q、m分別為豎向分布荷載和豎向分布扭矩。

1.4 總勢(shì)能

根據(jù)文獻(xiàn)[4-5]，結(jié)構(gòu)的總勢(shì)能可表示為

1.5 補(bǔ)充修正的約束扭轉(zhuǎn)控制微分方程

由最小勢(shì)能原理可知：彈性體在外力作用下結(jié)構(gòu)實(shí)際產(chǎn)生的變形是系統(tǒng)總勢(shì)能變分為零，即ΔW=0。可推得補(bǔ)充修正的CCBG(CSWs)一次簡(jiǎn)支超靜定結(jié)構(gòu)的控制微分方程為

式中：Ec、Gc分別為混凝土的彈性模量和剪切模量；As為波形鋼腹板橫截面面積；Au為箱梁翼板剪滯翹曲面積；Iω為廣義扇形慣性矩；Iy為箱梁橫斷面對(duì)y軸的慣性矩；I1、I2分別為翼板剪滯翹曲慣性積和翼板剪滯翹曲慣性矩；Id、Iρ分別為箱梁截面抗扭慣性矩和極慣性矩；β為扭轉(zhuǎn)翹曲廣義位移；θ為波形鋼腹板剪應(yīng)變；q、m分別為豎向分布荷載和分布扭矩。Ge為波形鋼腹板有效剪切模量為波形鋼腹板實(shí)際剪切模量；a、b、α為波形鋼腹板的幾何參數(shù)[12-14]，如圖1所示。

圖1 波形鋼腹板示意圖Fig. 1 Sketch of corrugated steel webs

通過(guò)伽遼金法[4,15]對(duì)約束扭轉(zhuǎn)控制微分方程求解。假設(shè)各未知位移及應(yīng)變的函數(shù)為

荷載q和m可表示為

式中：l為簡(jiǎn)支波形鋼腹板曲線梁跨徑分別為豎向荷載系數(shù)和豎向扭矩系數(shù)。

把式（10）、式（11）代到式（9）中，再利用MatLab進(jìn)行求解，便可求得各未知變量。進(jìn)而可求得CCBG(CSWs)一次簡(jiǎn)支超靜定結(jié)構(gòu)任意截面的內(nèi)力。

2 連續(xù)曲線箱梁內(nèi)力求解

采用多跨連續(xù)波形鋼腹板曲線箱梁的支座全部為抗扭支座，圖2為多跨連續(xù)平面曲線梁原結(jié)構(gòu)。為了減少贅余力的個(gè)數(shù)，將波形鋼腹板連續(xù)曲線箱梁在各墩墩頂支點(diǎn)處切開，而各墩支座仍維持抗扭簡(jiǎn)支固定，將多孔的CCBG(CSWs)一次簡(jiǎn)支超靜定結(jié)構(gòu)作為基本結(jié)構(gòu)，見圖3。

圖2 原結(jié)構(gòu)Fig. 2 Original structure

圖3 基本結(jié)構(gòu)Fig. 3 Basic structure

為了使變換后的結(jié)構(gòu)與原結(jié)構(gòu)的變形最終能保持一致，在切分處的梁端變形必須能滿足變形協(xié)調(diào)條件，從而便求出各支點(diǎn)橫斷面的贅余彎矩。根據(jù)力法原理，取一次簡(jiǎn)支超靜定曲線箱梁作為基本體系，且考慮到每個(gè)基本結(jié)構(gòu)的單位彎矩只對(duì)相鄰梁跨的內(nèi)力有影響，因此，每個(gè)典型方程都只包含3個(gè)贅余彎矩，所得典型方程為[16]

式中：δii、Δip分別為在單位荷載和已知外荷載作用下基本結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的位移，可通過(guò)式（13）求得。

進(jìn)而再通過(guò)疊加原理便可計(jì)算出各橋跨內(nèi)所有橫斷面的內(nèi)力。從典型方程可以看出，與文獻(xiàn)[4]的傳統(tǒng)力法相比，采用三彎矩法求解波形鋼腹板連續(xù)曲線箱梁的內(nèi)力不但減少了未知荷載的數(shù)量，而且每個(gè)典型方程的柔度系數(shù)都只有3個(gè)，大大減少了計(jì)算工作量，也保證了計(jì)算過(guò)程中的準(zhǔn)確性。

3 算例分析

3.1 有限元模型

將某三跨等截面波形鋼腹板連續(xù)曲線箱梁作為算例進(jìn)行分析。該橋跨徑為（35 m+50 m+35 m），中軸線在半徑為110 m的圓曲線上?；炷另?shù)装鍨镃60混凝土。波形鋼腹板為Q345C型鋼材，1600型波形。其中，波高22 cm，腹板厚12 mm，直板段寬a=43 cm，斜板段水平寬b=37 cm。箱梁橫斷面的具體尺寸可見圖4。在建模和理論計(jì)算時(shí)，采用將橫截面高度取平均值簡(jiǎn)化為等高度的截面形式，混凝土頂、底板按照面積相等的原則等效為等厚度的截面，換算可得頂、底厚度皆為t=0.3 m。換算后的截面尺寸如圖5所示。

圖4 箱梁截面實(shí)際尺寸圖（單位：cm）Fig. 4 Actual size drawing of box girder section（Unit:cm）

圖5 箱梁截面簡(jiǎn)化尺寸圖（單位：cm）Fig. 5 Simplified size drawing of box girder section（Unit:cm）

為了檢驗(yàn)方法的適用性，利用Ansys構(gòu)建算例模型。頂、底板和橫隔板選用Solid45號(hào)實(shí)體單元，其中橫隔板只在橋梁兩端設(shè)置；鋼腹板選用Shell93號(hào)殼單元。兩種單元在連接處使用同一個(gè)節(jié)點(diǎn)，不管二者間的相對(duì)滑移。邊界約束條件為：最左端兩個(gè) 支 點(diǎn) 為ux、uy、uz和roty，其 余 支 點(diǎn) 為ux、uz和roty。建立的模型如圖6所示。

圖6 波形鋼腹板連續(xù)曲線箱梁有限元模型Fig. 6 Finite element model of continuous curved box girder with corrugated steel webs

3.2 剪滯效應(yīng)和剪切變形對(duì)CCBG(CSWs)簡(jiǎn)支結(jié)構(gòu)的影響

取算例的50 m主跨作為CCBG(CSWs)一次簡(jiǎn)支超靜定結(jié)構(gòu)的模型。選用公路-I級(jí)車道荷載進(jìn)行加載。均布荷載為10.5 kN/m，布置于全橋；集中荷載為360 kN，布置于跨中位置處。通過(guò)將曲桿結(jié)構(gòu)力學(xué)法所求內(nèi)力數(shù)據(jù)及微分方程、在忽略剪滯效應(yīng)和剪切變形的情況下所求內(nèi)力數(shù)據(jù)以及微分方程、在考慮剪滯效應(yīng)和剪切變形的情況下所求內(nèi)力數(shù)據(jù)與有限元所求內(nèi)力數(shù)據(jù)比較，結(jié)果見圖7。

從圖7（a）可以看出：微分方程在考慮剪滯效應(yīng)和剪切變形的情況下所求彎矩結(jié)果除了在跨中中點(diǎn)處與有限元所求彎矩結(jié)果差別較大以外，在整個(gè)橋跨內(nèi)，與另外兩種計(jì)算方法相比，所求彎矩結(jié)果更加接近有限元所求彎矩結(jié)果；并且微分方程在忽略剪滯效應(yīng)和剪切變形的情況下所求彎矩結(jié)果與有限元所求彎矩結(jié)果差別最大。從圖7（b）可以看出：在整個(gè)橋跨范圍內(nèi)，除了曲桿結(jié)構(gòu)力學(xué)法所求扭矩結(jié)果在部分橋段內(nèi)與有限元所求扭矩結(jié)果相差比較明顯以外，其余橋段內(nèi)，三者所求扭矩結(jié)果幾乎一致。從圖7（c）可以看出：在整個(gè)橋跨范圍內(nèi)，盡管微分方程在考慮剪滯效應(yīng)和剪切變形的情況下所求剪力結(jié)果與有限元所求剪力結(jié)果差值百分比起伏比較大，但二者的剪力結(jié)果非常接近，并且3種理論所求剪力結(jié)果都與有限元所求剪力結(jié)果非常接近。

由圖7可知，剪滯效應(yīng)和剪切變形對(duì)CCBG(CSWs)簡(jiǎn)支結(jié)構(gòu)的彎矩具有比較明顯的影響，但對(duì)于扭矩和剪力產(chǎn)生的影響比較??；對(duì)于CCBG(CSWs)簡(jiǎn)支結(jié)構(gòu)，運(yùn)用補(bǔ)充修正的微分方程進(jìn)行內(nèi)力求解具有較高的精確度。

圖7 CCBG(CSWs)簡(jiǎn)支結(jié)構(gòu)內(nèi)力比較Fig. 7 Comparison of internal forces of CCBG(CSWs) simply supported structures

3.3 剪滯效應(yīng)和剪切變形對(duì)三跨等截面波形鋼腹板連續(xù)曲線箱梁的影響

選用公路-I級(jí)車道荷載進(jìn)行加載。均布載荷為10.5 kN/m，只布置于中跨；集中載荷為360 kN，布置于中跨跨中。為了檢驗(yàn)該方法的適用性，采用該方法和曲桿結(jié)構(gòu)力學(xué)法對(duì)某波形鋼腹板三跨等截面連續(xù)曲線箱梁進(jìn)行內(nèi)力求解，并采用MatLab編程對(duì)理論進(jìn)行計(jì)算，最后將曲桿結(jié)構(gòu)力學(xué)法的內(nèi)力計(jì)算結(jié)果、該方法的內(nèi)力計(jì)算結(jié)果分別與有限元的內(nèi)力計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析；忽略剪滯效應(yīng)和剪切變形影響將，采用該方法所求內(nèi)力計(jì)算結(jié)果與有限元所求內(nèi)力計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。所得內(nèi)力差值百分比見圖8。

從圖8（a）可以看出：在整個(gè)橋跨范圍內(nèi)，與曲桿結(jié)構(gòu)力學(xué)法所得彎矩結(jié)果相比，該方法所得彎矩結(jié)果更加接近于有限元模型所得彎矩結(jié)果；從圖8（b）、（c）可以看出：在中跨范圍內(nèi)，與該方法所得扭矩和剪力結(jié)果相比，曲桿結(jié)構(gòu)力學(xué)法所得扭矩和剪力結(jié)果更加接近于有限元模型所得扭矩和剪力結(jié)果，而在邊跨范圍內(nèi)，正好相反。由圖8可以看出，在整個(gè)橋跨范圍內(nèi)，與曲桿結(jié)構(gòu)力學(xué)法所得內(nèi)力結(jié)果相比，該方法所得內(nèi)力結(jié)果更加接近于有限元所得內(nèi)力結(jié)果。說(shuō)明考慮剪滯效應(yīng)和剪切變形影響，采用該方法對(duì)波形鋼腹板連續(xù)曲線箱梁的內(nèi)力求解具有更好的適用性和更高的準(zhǔn)確性。

從圖8也可以發(fā)現(xiàn)：在整個(gè)橋跨范圍內(nèi)，忽略剪滯效應(yīng)和剪切變形的影響，采用該方法所求內(nèi)力結(jié)果與曲桿結(jié)構(gòu)力學(xué)法所求內(nèi)力結(jié)果非常接近，表明在進(jìn)行實(shí)際橋梁結(jié)構(gòu)理論受力分析計(jì)算時(shí)，需要考慮剪力滯和剪切變形引起的結(jié)構(gòu)變化。

圖8 三跨波形鋼腹板連續(xù)曲線箱梁內(nèi)力比較Fig. 8 Comparison of internal forces of three-span continuous curved box girder with corrugated steel webs

通過(guò)以上分析可以發(fā)現(xiàn)：考慮剪滯效應(yīng)和剪切變形的影響，該方法所求簡(jiǎn)支和三跨波形鋼腹板曲線箱梁內(nèi)力結(jié)果都與有限元所求內(nèi)力結(jié)果最為接近；而忽略剪力滯和剪切變形的影響時(shí)，該方法所求內(nèi)力結(jié)果與曲桿結(jié)構(gòu)力學(xué)法所求內(nèi)力結(jié)果非常接近。以上結(jié)論表明：考慮剪滯效應(yīng)和剪切變形影響，該方法對(duì)CCBG(CSWs)內(nèi)力求解具有更高的精確性和更好的適用性。

4 結(jié)論

1）通過(guò)分別對(duì)比曲桿結(jié)構(gòu)力學(xué)法、考慮剪滯效應(yīng)和剪切變形影響、不考慮剪滯效應(yīng)和剪切變形影響所求CCBG(CSWs)簡(jiǎn)支結(jié)構(gòu)內(nèi)力結(jié)果與有限元所求CCBG(CSWs)簡(jiǎn)支結(jié)構(gòu)內(nèi)力結(jié)果可知：剪滯效應(yīng)和剪切變形對(duì)CCBG(CSWs)簡(jiǎn)支結(jié)構(gòu)的彎矩具有比較明顯的影響，而對(duì)于扭矩和剪力的影響比較小。

2）通過(guò)對(duì)比該方法、曲桿結(jié)構(gòu)力學(xué)法與有限元三者所求某三跨等截面波形鋼腹板連續(xù)曲線箱梁所求內(nèi)力結(jié)果可知：考慮剪滯效應(yīng)和剪切變形的影響，將推導(dǎo)的CCBG(CSWs)一次簡(jiǎn)支超靜定結(jié)構(gòu)約束扭轉(zhuǎn)微分方程，結(jié)合三彎矩法求解波形鋼腹板連續(xù)曲線箱梁內(nèi)力具有更好的適用性和準(zhǔn)確性。

3）剪力滯效應(yīng)和剪切變形對(duì)CCBG(CSWs)的內(nèi)力存在著一定的影響，且對(duì)于多跨CCBG(CSWs)結(jié)構(gòu)內(nèi)力的影響更加明顯。