實二次型的主軸化的一種幾何解釋

趙杰玲，張 鴿

（平頂山技師學(xué)院，河南 平頂山 467000）

科學(xué)認(rèn)識活動的過程是：從具體客體出發(fā)，經(jīng)過思維加工，達(dá)到抽象客體。然后，從抽象客體的種種概念出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，形成關(guān)于抽象客體的理論體系。隨后，利用關(guān)于抽象客體的理論體系對具體客體的過去、現(xiàn)在的表現(xiàn)進(jìn)行解釋，對具體客體的未來的表現(xiàn)進(jìn)行預(yù)測。最后，利用理論體系的解釋和預(yù)測功能的現(xiàn)實表現(xiàn)確定抽象客體是否是對具體客體的正確把握。

而現(xiàn)實客體是復(fù)雜多變的，主體在研究客體的過程當(dāng)中，如何把握客體的主要方面，以濃縮的形式反映客體的本質(zhì)的東西，舍棄非本質(zhì)的東西，進(jìn)而獲得一類事物的理論體系，從而將理論體系運用于同類事物上，達(dá)到對同類其他事物的認(rèn)識，往往成為主體研究客體的關(guān)鍵。

本論文探討實二次型主軸問題，進(jìn)而加深對高等代數(shù)的理解。

1 實二次型的主軸問題

平面解析幾何告訴我們，在平面直角坐標(biāo)系下，中心在原點的有心二次曲線，不管坐標(biāo)軸與其相對位置如何，它的方程為：

而且，我們總可以通過坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)得到一個新的坐標(biāo)系，在新坐標(biāo)系內(nèi)，有心二次曲線的方程具有標(biāo)準(zhǔn)形式（只含變數(shù)的平方項）

這叫做把有心二次曲線化到主軸上去。

現(xiàn)在我們問，在直角坐標(biāo)系下，由方程

表示的有心二次曲線，能否通過坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)化為除常數(shù)項外只含變數(shù)平方項的形式？

2 旋轉(zhuǎn)直角坐標(biāo)系，把實二次型化為主軸形式

所以，在直角坐標(biāo)系下，由方程（3）表示的曲線能夠通過坐標(biāo)系繞原點的旋轉(zhuǎn)化簡為除常數(shù)項外只含變數(shù)平方項的形式。我們稱它為將（3）化到主軸上去。也就是說，當(dāng)我們選擇以曲線的焦點所在直線為一坐標(biāo)軸建立新直角坐標(biāo)系，新坐標(biāo)系可以由舊坐標(biāo)系通過旋轉(zhuǎn)得到，即它們之間的變換為正交變換。

因為方程的常數(shù)項在坐標(biāo)系繞原點的旋轉(zhuǎn)變化下不變，所以上述事實也可以用下面的形式描述：

3 結(jié)語

本論文通過對平面直角坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)變換化二元二次型為主軸形式的討論，探究獲得元實二次型主軸形式存在的認(rèn)識。在加深對知識理解的過程當(dāng)中，初步領(lǐng)略了科學(xué)認(rèn)識活動的具體過程。