基于可分離字典的稀疏和低秩表示圖像去噪

張雷，劉叢

（上海理工大學(xué)，上海 200093）

在圖像采集、傳輸?shù)冗^(guò)程中，由于采集設(shè)備和傳感設(shè)備的影響，不可避免地會(huì)產(chǎn)生噪聲圖像。這嚴(yán)重影響了圖像分割、圖像識(shí)別等后續(xù)的圖像解譯工作[1]。圖像質(zhì)量的下降會(huì)影響人們對(duì)圖像的視覺(jué)觀察效果，同時(shí)后續(xù)也會(huì)阻礙對(duì)圖像提取有用的信息[2]。圖像去噪是一種基本的圖像處理技術(shù)，其通過(guò)對(duì)噪聲圖像處理以恢復(fù)原始的清晰圖像。該技術(shù)廣泛地應(yīng)用于圖像處理、信號(hào)處理以及計(jì)算機(jī)視覺(jué)等諸多領(lǐng)域。

傳統(tǒng)的圖像去噪研究利用圖像的先驗(yàn)信息進(jìn)行去噪，如梯度模型[3]、低秩模型[4]和稀疏模型[5]。在稀疏表示去噪中，原始圖像通過(guò)一個(gè)過(guò)完備字典和一組稀疏系數(shù)矩陣的線性組合映射到低維空間以去除噪聲。在該模型中，每個(gè)子圖像都是獨(dú)立的，沒(méi)有考慮到相似子圖像間的相關(guān)性。針對(duì)該問(wèn)題，低秩表示（LRR）[6-7]可以挖掘不同系數(shù)之間的相關(guān)性。LRR將整個(gè)圖像分為多個(gè)子向量，每個(gè)子向量對(duì)應(yīng)一個(gè)系數(shù)，并對(duì)系數(shù)矩陣添加低秩約束以更好地捕捉數(shù)據(jù)的全局結(jié)構(gòu)。LRR 在圖像去噪中獲得了成功，但其自身仍存在一些問(wèn)題。首先，它在去噪過(guò)程中仍然將整個(gè)圖像劃分為多個(gè)圖像塊或者向量操作，不可避免地會(huì)帶來(lái)巨大的計(jì)算量。其次，該模型通常將圖像自身作為字典而缺乏有效的字典表示。針對(duì)上述問(wèn)題，Bahri等[8-9]采用了一種具有Kronecker 結(jié)構(gòu)的低秩可分離字典（SeDiL）。一方面，低秩可分離字典可以克服LRR 中無(wú)結(jié)構(gòu)良好的字典的問(wèn)題，可以很好地反映整幅圖像的低秩性。另一方面，在文獻(xiàn)[8-9]中，它可以出色地完成高水平噪聲下的去噪任務(wù)。針對(duì)該改進(jìn)，文中進(jìn)一步結(jié)合可分離字典的學(xué)習(xí)和低秩表示的優(yōu)點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一種高效的去噪模型以應(yīng)對(duì)高強(qiáng)度噪聲圖像去噪，稱為基于可分離字典的稀疏和低秩表示（SLRR-SD）。該模型首先使用可分離字典代替LRR中的過(guò)完備字典，以解決LRR 無(wú)法尋找合適字典的問(wèn)題。其次，使用Frobenius 范數(shù)對(duì)2 個(gè)分離字典約束，以尋找字典內(nèi)部的低秩性。進(jìn)一步，受Zhang 提出的結(jié)構(gòu)化低秩表示（SLRR）[10-11]的啟發(fā)，為了獲得更有效的表示，使用SLRR 以增加系數(shù)矩陣的稀疏性。大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，提出的算法在面對(duì)高強(qiáng)度噪聲時(shí)，獲得了較好的去噪效果。

1 相關(guān)工作

1.1 低秩表示

雖然LRR 可以在一定程度上緩解SR 的行列信息丟失問(wèn)題，但并沒(méi)有從根本上解決這個(gè)問(wèn)題。在實(shí)際操作中，圖像的表示是從矩陣變?yōu)榱邢蛄俊?/p>

1.2 結(jié)構(gòu)化低秩表示

SLRR 是LRR 的改進(jìn)模型，它在LRR 的基礎(chǔ)上增加了稀疏表示來(lái)建立新的模型。

從這個(gè)新模型中可以看出，低秩分量揭示了全局信息，而稀疏性決定了圖像屬于哪一類[7]。此外，SLRR 還提出了一種學(xué)習(xí)字典的方法，解決了LRR沒(méi)有較好結(jié)構(gòu)字典的問(wèn)題。與LRR 類似，SLRR 仍然不能解決數(shù)據(jù)的維度問(wèn)題。

1.3 可分離字典學(xué)習(xí)

圖1 基于可分離字典表示的二維數(shù)據(jù)Fig.1 Two-dimensional data based on separable dictionary representation

2 基于可分離字典的稀疏和低秩表示

此節(jié)介紹基于可分離字典的稀疏和低秩表示模型。該模型結(jié)合了SLRR 和SeDiL 的優(yōu)點(diǎn)，能有效地去除高密度的噪聲。一方面，對(duì)于模型的優(yōu)化，不僅要考慮某些因素，還要考慮它們之間的相互影響。在彈性網(wǎng)絡(luò)[12-14]中，1L和2L范數(shù)作為聯(lián)合懲罰項(xiàng)，解決了稀疏性和穩(wěn)定性之間的平衡問(wèn)題。壓縮感知理論表明，模型解的稀疏性和穩(wěn)定性是不能同時(shí)實(shí)現(xiàn)的，因此在模型設(shè)計(jì)過(guò)程中應(yīng)充分考慮它們之間的相互作用?；谶@個(gè)思想，1L范數(shù)和核范數(shù)被結(jié)合在文中的稀疏和低秩表示模型中。1L范數(shù)控制表示系數(shù)的稀疏性，而核范數(shù)控制其低秩性，使得表示系數(shù)更穩(wěn)健有效，恢復(fù)結(jié)果更好。此外，SLRR-SD 能夠?qū)⒄麄€(gè)圖像表示為一個(gè)低秩矩陣以克服行和列之間信息丟失的缺點(diǎn)，并獲得有效的全局表示。另一方面，傳統(tǒng)的K-SVD 方法得到的字典只適用于小圖像塊，而不能處理大圖像塊甚至整幅圖像。SLRR-SD 獲得的Kronecker 結(jié)構(gòu)的可分離字典可以很好地解決這個(gè)問(wèn)題，而且可分離字典具有低秩性，圖像重建能力更強(qiáng)。通過(guò)低秩表示和低秩分離字典，可以使恢復(fù)的圖像達(dá)到理想的低秩。最后，K-SVD 方法需要通過(guò)預(yù)訓(xùn)練樣本來(lái)學(xué)習(xí)字典，這種方法會(huì)帶來(lái)沉重的計(jì)算負(fù)擔(dān)，而SLRR-SD 通過(guò)在線學(xué)習(xí)字典很好地克服了這一缺陷。

2.1 模型

LRR-SD 模型見(jiàn)式（6）。

2.2 迭代優(yōu)化

在這里，使用交替方向乘子法（ADMM）[16]來(lái)優(yōu)化式（8）可得：

如上所述，當(dāng)優(yōu)化一個(gè)參數(shù)同時(shí)固定其他參數(shù)時(shí)，式（9）的損失函數(shù)是凸的。通過(guò)交替更新每個(gè)參數(shù)來(lái)優(yōu)化它，直到達(dá)到收斂。

2.2.1 更新變量E

假設(shè)所有其他參數(shù)都是固定的，通過(guò)求解式（10）來(lái)更新噪聲矩陣E。

式中：S( )為軟閾值收縮算子[17-18]。

2.2.2 更新變量A

假設(shè)所有其他參數(shù)都是固定的，通過(guò)求解式（11）來(lái)更新可分離字典A。

2.2.3 更新變量B

假設(shè)所有其他參數(shù)都是固定的，通過(guò)求解式（13）來(lái)更新可分離字典B。

2.2.4 更新變量K

假設(shè)所有其他參數(shù)都是固定的，通過(guò)求解式（15）來(lái)更新分離變量K。

更新式（16）中的K是一個(gè)挑戰(zhàn)。其中式（16）是Stein 方程，可以用離散時(shí)間的Sylvester 方程求解，如Hessenberg-Schur 方法。

2.2.5 更新變量Z

假設(shè)所有其他參數(shù)都是固定的，通過(guò)求解式（17）來(lái)更新低秩表示Z。

式中：D( )為奇異值收縮算子[17-18]。

2.2.6 更新變量W

固定其他的變量，通過(guò)求解式（18）來(lái)更新分離變量W。

2.2.7 更新變量T

固定其他的變量，通過(guò)求解式（19）來(lái)更新分離變量T。

3 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

3.1.1 數(shù)據(jù)集

1）基準(zhǔn)圖像，即Facade 圖像[19]。這幅畫具有鮮明的特征，如黑色的十字架、窗戶，以及用墻紋裝飾的窗戶中的物體。

2）Berkeley Segmentation 數(shù)據(jù)集[20]。它由300張圖像組成，用于灰度和顏色分割。

3）Set 12 數(shù)據(jù)集。該數(shù)據(jù)集包含12 幅圖像處理中應(yīng)用最廣泛的灰度圖像，如Lena、House、Parrot等。文中測(cè)試了3 個(gè)數(shù)據(jù)集中的100 多張圖像，這里只應(yīng)用了8 張測(cè)試圖像來(lái)展示去噪結(jié)果，見(jiàn)圖2，分別為Fa?ade（202×194）、Flower（321×481）、Bear（481×321）、Ostrich（481×321）、Lena（128×128）、Barbara（256×256）、House（256×256）、Parrot（256×256）。

圖2 測(cè)試圖像Fig.2 Test images

3.1.2 對(duì)比方法

文中將2 個(gè)去噪模型與6 種相關(guān)的方法進(jìn)行比較。前 3 種比較方法是基于不同的字典[21]，包括K-SVD 字典（K-SVD）、DCT 字典（DCT）和全局字典（Global）；第4 個(gè)比較方法是最小權(quán)重核范數(shù)（WNNM）[22]，其中奇異值被賦予不同的權(quán)重；第5種比較方法是穩(wěn)健主成分分析（RPCA）[23]；第6 種比較方法是魯棒非線性矩陣分解的魯棒非線性分解方法（SNLMF）[24]。

3.1.3 參數(shù)設(shè)置

3.1.4 對(duì)比定量

峰值信噪比（PSNR）[25]可以衡量恢復(fù)圖像的平滑度，而特征相似度指數(shù)（FSIM，彩色圖像為FSIMc）[26]可以衡量恢復(fù)圖像的特征信息。

3.2 視覺(jué)及定量對(duì)比

在 3 個(gè)數(shù)據(jù)集（Facade 圖像、Berkeley Segmentation 數(shù)據(jù)集和Set 12 數(shù)據(jù)集）上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4 所示。在實(shí)驗(yàn)中使用了4 種噪聲強(qiáng)度，噪聲強(qiáng)度5%用于模擬低強(qiáng)度噪聲損傷，噪聲強(qiáng)度10%和20%用于模擬中度破壞，噪聲強(qiáng)度30%用于模擬嚴(yán)重破壞。

3.2.1 基準(zhǔn)Fa?ade 圖像

現(xiàn)在分析在Fa?ade 圖像上通過(guò)不同方法獲得的去噪結(jié)果。在噪聲強(qiáng)度5%、10%、20%和30%下，定量結(jié)果分別顯示在表1、表2、表3 和表4 的第1列中。從表1—4 中可以看出，所提出的SLRR-SD表現(xiàn)出最好的性能。在表4 中，其他模型在數(shù)值上與文中算法有很大的差距。

在噪聲強(qiáng)度10%和30%下的視覺(jué)結(jié)果如圖3 和圖4 的第1 行所示。從圖3 中可以看出，大多數(shù)比較方法都能很好地恢復(fù)圖像，噪聲去除比較干凈并保留了圖像的大部分信息。DCT、K-SVD、Global 和WNNM得到的去噪結(jié)果嚴(yán)重丟失了圖像的原始信息，如建筑物上的黑色十字、窗戶上的物體和墻上的線條，而提出的SLRR-SD 可以更好地恢復(fù)原始信息，它保留了建筑外墻的這些特點(diǎn)。

3.2.2 Berkeley Segmentation 數(shù)據(jù)集

在噪聲強(qiáng)度為5%、10%、20%和30%下，定量結(jié)果分別見(jiàn)表1、表2、表3 和表4 的第2、3、4 列中。從表1—4 中可以看到提出的SLRR-SD 在所有噪聲強(qiáng)度下仍然獲得了3 圖像的最高測(cè)量值。在表4中，其他模型在數(shù)值上與文中法有很大的差距。

在噪聲強(qiáng)度為10%和30%下的視覺(jué)結(jié)果如圖3和圖4 的第2、3、4 行所示。圖3 中的大多數(shù)方法都可以很好地恢復(fù)這3 個(gè)圖像的原始信息。在噪聲強(qiáng)度為30%下，大部分比較方法都丟失了花瓣、花瓣上的線條和中心花蕊的細(xì)節(jié)。熊頭部和周圍雜草的輪廓已經(jīng)模糊，有些甚至看不到雜草。鴕鳥的眼睛和嘴巴已經(jīng)變形或以其他方式丟失，并且背景噪聲也沒(méi)有完全消除。這表明在高強(qiáng)度噪聲條件下，文中算法在保留原圖像信息的同時(shí)能夠很好地完成去噪任務(wù)。

圖4 噪聲強(qiáng)度為30%的去噪結(jié)果Fig.4 Denoising results for 30% noise intensity

3.2.3 Set 12 數(shù)據(jù)集

在噪聲強(qiáng)度為5%、10%、20%和30%下，定量結(jié)果分別顯示在表1、表2、表3 和表4 的第1、2、3、4 列中。提出的SLRR-SD 在所有表中的值依然是最高的。

表1 噪聲強(qiáng)度為5%的PSNR/FSIM 值Tab.1 Values of PSNR/FSIM for 5% noise intensity

表2 噪聲強(qiáng)度為10%的PSNR/FSIM 值Tab.2 Values of PSNR/FSIM for 10% noise intensity

表3 噪聲強(qiáng)度為20%的PSNR/FSIM 值Tab.3 Values of PSNR/FSIM for 20% noise intensity

表4 噪聲強(qiáng)度為30%的PSNR/FSIM 值Tab.4 Values of PSNR/FSIM for 30% noise intensity

在噪聲強(qiáng)度10%和30%下的視覺(jué)結(jié)果如圖3 和圖4的第5、6、7、8 行所示。在噪聲強(qiáng)度30%下，該數(shù)據(jù)集中數(shù)值與視覺(jué)的對(duì)比更加明顯。首先，在圖4 中，大多數(shù)方法的Lena 和Barbara 人物的面部輪廓、頭發(fā)、帽子和圍巾完全看不清楚。此外，House 和Parrot 幾乎看不到圖像的輪廓，細(xì)節(jié)信息完全丟失。SLRR-SD 不僅可以保留大致的輪廓結(jié)構(gòu)，還可以恢復(fù)一些原始細(xì)節(jié)，例如Lena 的面部結(jié)構(gòu)和Parrot 的紋理信息。

3.3 收斂分析

圖5 迭代誤差Fig.5 Error of iteration

4 結(jié)語(yǔ)

文中提出了基于可分離字典的稀疏和低秩表示算法用于圖像去噪。在SLRR-SD 中，低秩表示和低秩可分離字典用來(lái)提升整幅圖像的低秩性。將稀疏表示與低秩表示相結(jié)合，以獲得更有效的表示，進(jìn)一步增加了整幅圖像的低秩性。此外SLRR-SD 不僅能保留相鄰列之間的相關(guān)性，并且它的可分離字典優(yōu)化過(guò)程也降低了計(jì)算負(fù)擔(dān)。提出的算法在噪聲強(qiáng)度5%、10%、20%和30%下的PSNR/FSIM 的平均值分別為32.736/0.975、29.769/0.957、29.295/0.951 和26.768/0.921。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，提出的模型不僅可以消除噪聲，而且可以恢復(fù)更多的圖像特征信息，并且在高強(qiáng)度噪聲的破壞下SLRR-SD 依然可以獲得良好的恢復(fù)效果。在未來(lái)的工作中，將繼續(xù)深入研究圖像去噪領(lǐng)域，探索高維度、高規(guī)模的圖像去噪技術(shù)。