對數(shù)學的認知與數(shù)學學業(yè)成績關(guān)系初探

石志群

(江蘇省泰州市教研室 225300)

一位數(shù)學學習成績不好的學生問我：“學習數(shù)學有什么用？”我反問：“這就是你不喜歡數(shù)學的原因？”他誠實地回答：“是的．我父親是醫(yī)生，母親是公務員，我從來沒有看到他們生活、工作中用到函數(shù)、數(shù)列等數(shù)學知識．”

一位中考成績相當不錯的學生，進入高中后連續(xù)幾次考試，數(shù)學成績一次比一次差，于是失去了學習數(shù)學的興趣．老師與她談心時，她非?；倚牡卣f道：“高中數(shù)學真的太難了，我不是學數(shù)學的料．”

袁隆平院士曾介紹：“我不喜歡數(shù)學，因為在學負數(shù)時搞不清為什么負負得正，去問老師，老師說：不要問為什么，記住就行；學幾何時對一個定理有疑義，去問老師，老師給了同樣的答復．我由此得出結(jié)論：數(shù)學不講道理，于是不再理會，對數(shù)學興趣不大，成績不好．”

當然，歷史上也有很多因為對數(shù)學的嶄新認識進而愛上數(shù)學的案例．例如，愛因斯坦從一本書上看到一個結(jié)論“三角形的三條高交于一點”時感受到了巨大震動：“這怎么可能呢？這太神奇了！”從此他對數(shù)學產(chǎn)生了濃厚興趣．英國哲學家霍布斯第一次從歐幾里德《幾何原本》上看到勾股定理時，他對自己說：“向上帝保證，那怎么可能呢？”為了滿足自己的好奇心，他開始嘗試證明……[1]

可以這么說，數(shù)學成績不好的學生基本上對數(shù)學學科沒有好感，一個重要的原因是對數(shù)學產(chǎn)生了誤解，如袁隆平院士將以講理為本質(zhì)的數(shù)學視為“不講理”．太多的例子都說明一個問題：學生對數(shù)學這門科學的認知(認識)影響了其對數(shù)學學習的態(tài)度，從而也就影響了數(shù)學學業(yè)成績．本文是筆者對這個問題的初步探索．

1 學生對數(shù)學的認知及現(xiàn)狀分析

所謂“對數(shù)學的認知”，本文是指對數(shù)學是什么、數(shù)學有什么用、數(shù)學的特點、數(shù)學科學的結(jié)構(gòu)和體系、數(shù)學研究方法及數(shù)學學科的學習難度和方法等的認識．例如，美國的數(shù)學教育工作者曾經(jīng)做過一個調(diào)查，發(fā)現(xiàn)美國學生中流行的一些觀念：只有書呆子才會喜歡數(shù)學、數(shù)學是無意義的，與日常生活毫無聯(lián)系、只有天才才能在數(shù)學中作出發(fā)明創(chuàng)造……[1]這些都是學生從不同層面對數(shù)學的認知．

1.1 對數(shù)學的認知維度

就影響數(shù)學學習的因素而言，學生對數(shù)學的認知主要表現(xiàn)在以下幾個方面：

一是“數(shù)學是什么”．這既是一個認識論問題、觀念問題，又是一個哲學問題，不同的數(shù)學家有著不同的表述，這些對于學生而言過于深奧，尤其是對中小學生來說，更是難于理解．盡管如此，數(shù)學教學也應該讓學生對數(shù)學學科形成正確的認知，讓學生知道，數(shù)學是一種研究客觀世界的方式，數(shù)學是從現(xiàn)實世界抽象出來的；是一種特殊的語言，便于表述與交流．例如，如果沒有1,2,3,…這些“數(shù)”(shù)，就無法表述量的多少，無法表示排名的次序，無法交流相關(guān)的信息；數(shù)學是一種思維方式，是以數(shù)學語言為基礎(chǔ)，具有邏輯嚴密性的理性思維的方式；物理、化學這些“有用”的學科推動了數(shù)學科學的發(fā)展，數(shù)學科學又促進了物理、化學等學科的進步……當然，這些認知是在數(shù)學學習的過程中逐步形成的，是在潛移默化之中逐步感受、領(lǐng)悟的．

但現(xiàn)實是，不少學生將數(shù)學看成了具體的符號、公式、定理、概念、題目……沒有對數(shù)學形成整體的認識．例如，從小學到中學，我們學習了大量的數(shù)學概念，學生知道概念對于數(shù)學的意義嗎？知道建立數(shù)學概念的必要性嗎？在某些學生看來，“數(shù)學是聰明人的智力游戲，就像圍棋和智力測驗”“數(shù)學是使人在學校遭受失敗的最壞的課程”[1]，甚至認為凡是數(shù)學卷子上出的題目都是有答案的，于是出現(xiàn)了由綿羊、山羊的只數(shù)計算船長年齡的荒唐的事情．

二是數(shù)學具有廣泛的應用性．數(shù)學是其他科學的基礎(chǔ)，它推動科學的發(fā)展，改變我們的生活，促進社會進步．沒有數(shù)學，我們就不會擁有手機、計算機和微波爐，也不會有收音機、電視、CT、GPS(全球衛(wèi)星定位系統(tǒng))．事實上，數(shù)學與現(xiàn)實世界之間的關(guān)系非常明確，恩格斯說：“數(shù)學是研究客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學”，雖然這一觀點相對于現(xiàn)代數(shù)學而言并不全面，但是它是對“數(shù)學是什么”的一種回答，道出了數(shù)學源于現(xiàn)實世界又反作用于現(xiàn)實世界的本質(zhì)，說明數(shù)學內(nèi)容都有著豐富的現(xiàn)實背景．尤其是數(shù)學發(fā)展最迅速、數(shù)學革命與創(chuàng)新成果最突出的16世紀到19世紀，以微積分為代表的大批數(shù)學新領(lǐng)域、新思想將數(shù)學與應用的緊密聯(lián)系充分地凸顯出來了．小平邦彥說：“數(shù)學被廣泛應用于物理學、天文學等自然科學，簡直起到了難以想象的作用，而且許多情況說明，自然科學理論中需要的數(shù)學在發(fā)現(xiàn)該理論之前，就由數(shù)學家預先準備好了，這是難以想象的現(xiàn)象．”[2]

伽利略曾說“自然之書是用數(shù)學的語言寫成的”，中小學數(shù)學內(nèi)容與現(xiàn)實世界、學生生活也有著自然而緊密的關(guān)系．比如，速度×時間=路程，單價×數(shù)量=總價，長×寬=面積……為使這些現(xiàn)實中的支配法則不僅適用于整數(shù)，也能適用于分數(shù)，故確定了分數(shù)×分數(shù)的規(guī)則．正如牛頓所注意到的那樣，從自然數(shù)的乘法規(guī)則中，僅靠推理是導不出“分數(shù)×分數(shù)”的規(guī)則的．換句話說，如果在現(xiàn)實中不存在這樣的法則，就沒有必要特意來確定“分數(shù)×分數(shù)”的計算規(guī)則．“先乘除、后加減”的運算規(guī)則是大量現(xiàn)實的規(guī)律總結(jié)．[3]

現(xiàn)行數(shù)學教學中，數(shù)學源于現(xiàn)實體現(xiàn)得不夠充分，數(shù)學的應用脫離學生生活實際，大量的應用問題含有太重的人為編制痕跡，遠遠落后于現(xiàn)代社會生活實際．數(shù)學教學視野太閉塞，學生所見就是高考題、中考題，很少見到蘊含豐富文化價值的歷史名題，無法從中知道數(shù)學科學發(fā)展的外在推動力與內(nèi)在生成力之間的相互作用，更難見到影響人類生活的重大科技發(fā)明背后的數(shù)學力量．長此以往，學生感到的是生活中沒有三角函數(shù)，也沒有解析幾何，更沒有微積分，學數(shù)學的意義在哪里？

三是數(shù)學的學科特點影響我們的思維方式、審美標準和價值觀念．“數(shù)學是思維的科學”“數(shù)學是模式的科學”“數(shù)學是推理的科學”“數(shù)學的最高境界是‘美’”……數(shù)學的這些特點說明，學習數(shù)學可以促進優(yōu)化思維方式、提升審美能力．例如，數(shù)學的本質(zhì)是理性精神，是求真、求善、求美，數(shù)學學習當然能夠培養(yǎng)學生善于質(zhì)疑的嚴謹?shù)目茖W精神，增強邏輯思辨能力，克服人云亦云、輕言輕信的無知與盲從．數(shù)學的辯證思維也會影響學生看待自然與社會的態(tài)度和認識方式，獲得深刻、本質(zhì)、科學的認知．而數(shù)學知識本身也為學生提供了認識世界的工具．綜上所述，數(shù)學的學科特點使其教學能夠讓學生學會用數(shù)學的眼光看世界，用數(shù)學的思維思考世界．

現(xiàn)實的數(shù)學教學沒能讓學生感受到數(shù)學的這些特點，學生沒有體驗到理性的本質(zhì)，沒有愛因斯坦、霍布斯初見平面幾何定理及證明時所產(chǎn)生的震撼．即使是證明、推理，也使學生認為只是對一些顯然的事實進行的例行公事的程式，沒有從中感受到邏輯的力量和數(shù)學的結(jié)構(gòu)——公理化思想．正因為這些原因，數(shù)學學習沒有讓學生形成理性精神，沒有學會數(shù)學的思維方式．

四是數(shù)學的學科特點影響世界觀、價值觀，是促使思想革命的武器．數(shù)學本身就是一種精神，一種探索精神.這種精神有兩個要素，即對理性與完美的追求，千百年來對人們的世界觀的革命性影響不容低估．數(shù)學由于其不可抗拒的邏輯說服力和無可爭辯的計算準確性而往往成為思想解放的決定性武器．[4]數(shù)學中的非歐幾何、群論、分形等就不必說了，就中小學數(shù)學而言，負數(shù)、無理數(shù)、復數(shù)，就蘊含了在理性精神下的數(shù)學觀的躍遷因子，處理得當?shù)脑?，可以讓學生的數(shù)學思想、數(shù)學觀念甚至世界觀得到極大的提升，對數(shù)學本質(zhì)的認識也就更加深刻．

1.2 影響對數(shù)學的認知的因素

毋庸置疑，對數(shù)學的認知主要是在數(shù)學學習、研究的過程中形成的，也受到相關(guān)的流行文化的影響．例如，有些教師在學生剛進入初中的第一節(jié)課上就渲染數(shù)學如何難；學生從親友、媒體等獲得有關(guān)數(shù)學學科的流行觀點……從數(shù)學教學的角度看，需要我們通過數(shù)學學科的教學引導學生對數(shù)學形成正確的認知．為此，必須明確數(shù)學教學中影響學生對數(shù)學的認知的主要因素．

(1)數(shù)學內(nèi)容與對數(shù)學的認知的關(guān)系

不同數(shù)學領(lǐng)域的內(nèi)容會對個體產(chǎn)生不同的感知，前文述及的愛因斯坦、霍布斯均被歐氏幾何激發(fā)起對數(shù)學的激情．無獨有偶，撰寫《用數(shù)學的語言看世界》的日本物理學家大栗博司回憶說：“在小學階段并不那么喜歡‘算術(shù)’這門課，不過進入中學后，‘算術(shù)’演變成了‘數(shù)學’，我也漸漸愛上了這門學科．”[5]這些都說明數(shù)學的不同內(nèi)容對認知個體在對數(shù)學的認知方面所起的作用不完全相同．這并不奇怪，因為數(shù)學的各個分支研究的對象不一樣，思想方法不盡相同，與其相對應的現(xiàn)實原型也不一定一樣，加之認知個體的認知風格、思維方式及其水平也有差異．也正由于這些原因，數(shù)學教學可以通過不同內(nèi)容，不斷豐富、完善學生對數(shù)學的認知，使其對數(shù)學的認知更加全面、科學．

相同的數(shù)學內(nèi)容，教學的呈現(xiàn)形式、學習方式不同，學生對數(shù)學的認知效果也有很大差異．將數(shù)學知識直接灌輸給學生的完全接受式學習，不揭示數(shù)學知識的現(xiàn)實背景、內(nèi)在聯(lián)系、廣泛應用，不經(jīng)歷數(shù)學知識的形成過程來讓學生體驗必要性與合理性，知識學得再多，也不一定能理解數(shù)學的本質(zhì)．

(2)學習過程與對數(shù)學的認知的關(guān)系

愛因斯坦對三角形高的性質(zhì)的學習、霍布斯對勾股定理的學習都是自已看到結(jié)論，激發(fā)起好奇心，再試圖弄清原委，進行自主探索，進而認識到了數(shù)學的功能與價值．

我們的學生對數(shù)學產(chǎn)生認知偏差，從而影響對數(shù)學學科的學習態(tài)度，一個重要的原因就是教學過程沒有基于學生的認知基礎(chǔ)，掩蓋了問題的發(fā)現(xiàn)與提出過程，沒有讓學生感受到數(shù)學知識的有用性甚至必要性，數(shù)學推理的嚴謹性及由推理所得結(jié)論的可靠性、優(yōu)美性，數(shù)學對象、結(jié)構(gòu)、形式等的對稱、簡潔、和諧和深刻，數(shù)學思想、思維的深邃、奇妙，也就是沒有讓數(shù)學學習做到妙趣橫生，讓數(shù)學課堂引人入勝．特別是將數(shù)學學習變成了“法則加操作”的機械、枯燥的模式化套路，數(shù)學課堂就是由教師不斷地向?qū)W生灌輸大量現(xiàn)成的結(jié)論和題型，學生對數(shù)學就不可能產(chǎn)生好感，更不可能形成正確的數(shù)學認知體系．

盡管我們認為，數(shù)學內(nèi)容的難易本身對學生認知數(shù)學的傾向沒有確定性，對有的學生而言，富有挑戰(zhàn)性的問題及其解決過程反而能進一步強化學生對數(shù)學的正向認知，但是，超過學生能力的問題過于集中、頻繁，使得學生難以享受到成功的喜悅，就會在“習得性無助”心理效應下，使學生對數(shù)學產(chǎn)生負面的認知，從而弱化了自我效能感．

數(shù)學學習的后進生形成原因還有可能是其心智發(fā)育不成熟．除了智力發(fā)展的高度不同外，其發(fā)展速度也是不一樣的，相同年齡的學生的智力發(fā)展水平不盡相同，達到同一高度的年齡有早有晚，一個時期的智力發(fā)展狀態(tài)并不代表其終極發(fā)展水平的高低．同樣地，相同年齡的學生對數(shù)學的認知程度肯定也有差異，而我們的學生基本是按年齡進行分級的，并且九年義務教育沒有留級，要求同一年級的所有學生學習同樣的內(nèi)容，這不僅給數(shù)學學習后進生帶來學習上的認知困難，也會給數(shù)學認知水平不高的學生帶來數(shù)學學習上的動機、情感方面的障礙．

將數(shù)學學習演變?yōu)樽鰯?shù)學題目，數(shù)學教學演變成解題技能、技巧的講解，這樣的數(shù)學學習過程必然會將學生對數(shù)學的認知引向錯誤的方向．誠然，解題是數(shù)學學科的重要特征，但正如著名數(shù)學家貝爾特拉米所說：“學生應該及早地像數(shù)學大師那樣去追求和進行大量的創(chuàng)造性思考活動，而不要讓學校里那種無休止的練習把自己的頭腦弄得僵化和貧乏．實際上，沉溺在許多無益的練習之中，正好是一種無意義勞動掩蓋之下的懶惰，這樣做除了使人消磨意志之外別無其他作用．在偉大的前輩面前去努力創(chuàng)造會使人堅強．”[6]

1.3 學生對數(shù)學的認知的發(fā)展過程

對數(shù)學的認知也有其發(fā)展規(guī)律，隨著數(shù)學內(nèi)容的加深，內(nèi)容本身對數(shù)學認知的深刻性也在增強．這并不是說簡單、初始的算術(shù)內(nèi)容對引導學生形成正確的數(shù)學認知不太重要，恰恰相反，越是低年級、越是基礎(chǔ)內(nèi)容，越要重視在其學習過程中發(fā)展學生對數(shù)學的認知的作用．我們不能讓學生在很小的時候就失去對數(shù)學的興趣．

例如，幼兒園的小朋友就開始識數(shù)了，從這時起他們就開始學習建構(gòu)數(shù)學概念，認識數(shù)學模型了．從現(xiàn)狀看，很多教師先寫后讀，用兒歌“1像小棒，2像小鴨子……”記憶寫法，將數(shù)學概念教學變成了識字教學，能做到有層次地建構(gòu)意義、讀音、符號的課堂為數(shù)不多，能引導兒童從現(xiàn)實生活開始，感受需要區(qū)分多與少的必要性，再進行抽象，形成數(shù)字概念的更是少見．根據(jù)“認知的歷史相似性”原理，我們的祖先形成數(shù)的概念的歷史過程可以借鑒——社會生活需要記數(shù)，如何刻畫現(xiàn)實中的物的量，第一次抽象：手指計數(shù)、結(jié)繩計數(shù)、算籌計數(shù)、算珠計數(shù)；第二次抽象：圖形表示(豎線、橫線、點)；第三次抽象：羅馬數(shù)字，漢字的一、二、三等，再到阿伯數(shù)字．如果將其設(shè)計成游戲性的活動課程，既為幼兒所樂意，又讓其經(jīng)歷真實的數(shù)學抽象過程，在活動中潛移默化地對數(shù)學產(chǎn)生初步的印象：有趣又有用．

皮亞杰指出：“兒童可能正確地完成一種活動，如做加法或乘法，但并未真正意識到其中的過程．對‘邏輯—數(shù)學’過程的意識可能落后于正確的動作操作達六年之久．”[7]他認為，“會做”與“理解”不是一回事，以斯金納或加涅的聯(lián)想或刺激—反應模式為基礎(chǔ)完成學習任務的方法所體現(xiàn)的是“會做”而不是“理解”．因此，面對非標準問題時，他們常有很大的困難．這是一個值得充分重視的問題：不能理解數(shù)學，如何產(chǎn)生對數(shù)學的正確認知？

隨著年齡的增長，對數(shù)學的認知會從感性逐步上升為理性，從有趣、有用作為評判標準，逐步上升為觀念、精神層面的認識．例如，小學生多從實用性、奇妙性的角度認知數(shù)學的功能、價值與趣味；到了初中，除了保留上述特點外，應該逐步地感受數(shù)學的理趣，從用字母表示數(shù)的應用功能到其表述數(shù)學對象、數(shù)學規(guī)律的簡潔美(如運算律a+b=b+a等)，從幾何中的奇妙性質(zhì)到數(shù)學推理、證明的邏輯之美；再到高中，數(shù)學對于變化、運動的精密刻畫，解析幾何的數(shù)形轉(zhuǎn)換，源于物理又應用廣泛的向量，特別是微積分的極限觀點，以及與它們密切相關(guān)的醫(yī)學、天文、生命科學……都蘊含著體現(xiàn)數(shù)學的觀念美、思想美和應用美的基因；高中階段及后續(xù)學習中的復數(shù)、非歐幾何、群等內(nèi)容，更是人類理性的精神創(chuàng)造，對幫助學生建立數(shù)學的模式觀、結(jié)構(gòu)觀都是非常有益的．

對數(shù)學的認知的發(fā)展有幾個關(guān)鍵的時段，這幾個時段的教學內(nèi)容影響到學生對數(shù)學本質(zhì)特點、思想方法和價值觀的認知，從而影響學生對數(shù)學學習的態(tài)度，因此，這些內(nèi)容的學習通常會成為學生成績分化的關(guān)鍵內(nèi)容點和時間點．這幾個時段的學習內(nèi)容分別是：建立數(shù)的概念，第一次進行難度較大的數(shù)學抽象，從而建立算術(shù)思維；用字母表示數(shù)，從具體數(shù)到任意數(shù)，建立代數(shù)思維；平面幾何，圖形抽象、邏輯推理，建立理性思維方式；集合—函數(shù)思想，建立運動變化觀，從靜態(tài)到動態(tài)；函數(shù)的導數(shù)(微積分初步)，從宏觀到微觀，建立極限思想和無窮觀念．

2 對數(shù)學的認知與學業(yè)成績之間的關(guān)系

我們知道，影響學業(yè)成績的因素很多，主要有以下幾個方面：智力因素，表現(xiàn)為先天遺傳基因決定的智力及后天習得的認知結(jié)構(gòu)；情感態(tài)度，即興趣、動機、自我效能感、成就歸因方式等；策略因素，即學習習慣、學習方法等．所有這些因素最終都可能因為學習成績不佳導致對數(shù)學學科產(chǎn)生偏見(錯誤的認知)，使學習的動力逐漸衰減．因此，考察對數(shù)學的認知與學業(yè)成績之間的關(guān)系，主要就是考察對數(shù)學的認知是如何影響后天習得的認知結(jié)構(gòu)的發(fā)展、情感態(tài)度的變化及學習策略的優(yōu)化的．

2.1 對數(shù)學的認知與學習熱情、學習態(tài)度

影響學習動機的因素很多，物質(zhì)獎勵、精神表揚、對教師的崇拜……這些因素都是非本質(zhì)的，具有年齡、時間等局限性，長期使用就會逐漸失去功效．態(tài)度可能與先天的素質(zhì)有關(guān)，也可以在后天習得，即由經(jīng)歷、行為導致．后天習得的態(tài)度又可以反過來影響其喜好與行為．[8]對一個漸漸成熟、理性的學生而言，學習數(shù)學的熱情、態(tài)度主要取決于對學習內(nèi)容的有用性、重要性，也就是價值的認可，只有當其覺得所學學科、內(nèi)容對他將來的人生之路有價值，這種學習有必要的情況下，才能保持長久的興趣與熱情，反之，即使在學習也是被動的，缺少內(nèi)在驅(qū)動力．在這種狀態(tài)下，智力參與的效度會降低，從心理層面看，對數(shù)學缺少孜孜以求的精神投入．一旦開始憎惡一門學科，就會產(chǎn)生雪球效應．例如，假設(shè)一個小學生出于某種理由開始不喜歡數(shù)學了，那么他不僅不喜歡數(shù)學考試，而且對學習數(shù)學也沒有興趣，甚至討厭、逃避上數(shù)學課．不學習新的數(shù)學知識將導致更加糟糕的數(shù)學成績，進而又會增加厭惡感．對數(shù)學的認知經(jīng)常成為學生對數(shù)學成績不佳的一種歸因，從而為不愿意學習數(shù)學尋找一種心理解釋．

事實上，對研究內(nèi)容的價值的認識在精神層面影響個體的重視度和持續(xù)研究的心理傾向，這從數(shù)學史上的許多案例中可以得到佐證：歷史上的許多重大發(fā)現(xiàn)的幸運兒恰恰就是緣于其充分認識到了研究對象的巨大價值．例如，很多著名數(shù)學家都曾非常接近于微積分的發(fā)現(xiàn)，他們都曾創(chuàng)造了一些極其成功的富于啟發(fā)性的方法，但始終沒有在這些方法的啟發(fā)下構(gòu)思出真正屬于微積分的概念．正如卡諾所說：“……如果想到其中有一個偉大的發(fā)現(xiàn)要完成的話，杰出的幾何學家，尤其是笛卡爾、帕斯卡、費瑪、惠更斯、巴羅、羅伯瓦爾、沃利斯，沒有一個人做不出這個發(fā)現(xiàn)的”，問題是他們“看不到要完成的是一個偉大的發(fā)現(xiàn)而恰恰又正在完成它……”，自覺地意識到完成一個偉大的發(fā)現(xiàn)并實際去完成它的，是牛頓和萊布尼茲．[9]

2.2 對數(shù)學的認知與數(shù)學學習習慣、學習方法

對數(shù)學的認知包括對數(shù)學學科特征、數(shù)學知識結(jié)構(gòu)、數(shù)學內(nèi)在聯(lián)系、數(shù)學發(fā)展規(guī)律等的認知，也包括數(shù)學知識生長、拓展的規(guī)律和數(shù)學研究的基本規(guī)范(套路)的認知，如果在這些方面形成了正確的認知，也就把握了數(shù)學學習的基本規(guī)律，這對形成好的數(shù)學學習方法是大有裨益的．

例如，認識到數(shù)學知識的生長規(guī)律、數(shù)學研究的基本套路，在提出背景性問題情境的情況下，就可以自主確定研究內(nèi)容、研究方法和研究過程．具體地，在提出“我們已經(jīng)研究了向量的加減法、數(shù)乘等運算，那么，向量可以相乘嗎？”這個問題后，一個對數(shù)學知識體系、數(shù)學研究方法比較了解的學生，就會自己去找物理中具有向量乘法的結(jié)構(gòu)特點的模型(因為前面學習的向量知識都是從物理模型中抽象出來的)，從而找到“功”這個研究原型，再由此進行抽象、概括，形成向量的數(shù)量積的概念；進而由數(shù)的運算、向量的加減運算、數(shù)乘運算的研究內(nèi)容(知識結(jié)構(gòu))確定向量的數(shù)量積的研究內(nèi)容和知識結(jié)構(gòu)……

幾乎可以這么說，對數(shù)學有深刻認知的學生的數(shù)學學習過程是有規(guī)律的，也是比較輕松的，數(shù)學在他們的眼里并不神秘，他們也從中獲得了一次次成功的享受，而成功的嘗試又使其更加樂于研究數(shù)學、建構(gòu)數(shù)學和運用數(shù)學．

2.3 對數(shù)學的認知與數(shù)學思維策略

“像數(shù)學家一樣思考”“用數(shù)學的思維思考世界”，這些都說明數(shù)學家們研究數(shù)學問題有一定的思維方式，解決數(shù)學問題的思維過程也有學科的特點.因此，對數(shù)學的認知必定包含對數(shù)學思維規(guī)律的認知，換言之，對數(shù)學有深刻認知的人就很容易掌握數(shù)學思維的規(guī)律：數(shù)學思想方法和思維策略．

數(shù)學家的思維總是求簡單、求統(tǒng)一，結(jié)構(gòu)簡化、結(jié)構(gòu)同化也就成為重要的數(shù)學思維策略．當我們面對問題“求函數(shù)y=x(x+1)(x+2)(x+3)的最小值”時，對于沒有學習過導數(shù)的學生而言應該怎樣思考呢？全部展開顯然不可行，因為4次函數(shù)的最值沒有一般的方法，但是，如果仔細審視函數(shù)結(jié)構(gòu)就會發(fā)現(xiàn)，第1個因式與最后一個因式結(jié)合、第2和第3兩個因式結(jié)合，都會出現(xiàn)共同的式子x2+3x，于是，原函數(shù)就是y=(x2+3x)2+2(x2+3x)；如果將x2+3x看成一個整體，用t表示，則原函數(shù)就簡化為y=t2+2t的形式(下略)．到學習了導數(shù)知識后，再讓學生研究這個問題，又會使學生產(chǎn)生新的震撼：一種更一般化的強大工具，進一步感受到了數(shù)學的力量．

心理學中有一術(shù)語“內(nèi)隱推論”，是指學習和思維是在學習者自己對認知所持信念的背景下發(fā)生的，學生關(guān)于學習、思維、能力等問題的內(nèi)隱推論，會影響他們對學習活動的參與方式，也影響他們對如何取得成功等問題的認識．有的學生把他們的能力視為一套能夠通過學習來提高技能的基礎(chǔ)，并最終影響學習和成績．對數(shù)學的認知影響學習能力(學習技能、學習方法、學習習慣)，進而影響學業(yè)成績正是對內(nèi)隱推論的最好驗證．[10]

3 數(shù)學教學如何引導學生認識數(shù)學，提高學業(yè)成績？

從上文應該能夠得到這樣的結(jié)論：對數(shù)學的認知深度除了與智力發(fā)展的階段性水平有關(guān)外，教學行為是主要成因，因此，數(shù)學教學應該將引導學生正確認識數(shù)學作為基本要求和目標，在教學設(shè)計和實施中予以關(guān)注，正如數(shù)學家基思·德夫林所說：“我們要糾正這些謠傳(關(guān)于數(shù)學這門學科的錯誤觀點)，為大家(學生)提供一個關(guān)于‘數(shù)學是什么’的概貌．”[11]

從前面的內(nèi)容可以看出，要使學生形成良性的數(shù)學認知，就是要揭示數(shù)學本質(zhì)，理解“數(shù)學是什么”；認識數(shù)學的價值與力量，包括現(xiàn)實應用價值、推動社會發(fā)展與進步的價值和對學生思維能力發(fā)展、價值觀念提升、文化素養(yǎng)提高的育人價值，以及在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中展現(xiàn)的邏輯的力量；感受數(shù)學精神：數(shù)學之理、數(shù)學之美；享受數(shù)學過程之樂：數(shù)學創(chuàng)造、解決數(shù)學問題時運用數(shù)學思想方法、思維策略獲得成功后的精神愉悅等.

3.1 真實的任務情境，感受數(shù)學之用

教學中的數(shù)學之用有兩種形式：一是學過知識后運用知識解決實際問題，二是在解決實際問題的過程中建構(gòu)知識．我們通常比較重視前者而忽視后者．

重視前者時也要注意，用數(shù)學知識解決的問題的真實性、現(xiàn)實性及與學生的生活經(jīng)歷的相關(guān)性對認識數(shù)學應用價值也是有一定影響的.前面所舉例子中，學生感到的就是數(shù)學在其自己、身邊人的日常工作、生活中好像沒有用，不像理、化、生等學科，油鹽醬醋、生活起居都可能與之相關(guān)．

重視后者就是在新知識教學前先呈現(xiàn)真實的任務，通過提出問題、解決問題的過程建構(gòu)新的知識體系．這種學習過程最有利于激發(fā)好奇心、求知欲，因為可使學生知道這個數(shù)學知識非常有用、十分重要．例如，學習方程和一元一次方程，就可以先呈現(xiàn)背景問題，如雞兔同籠問題(當然也可以是學生更加熟悉的現(xiàn)實問題)，從算術(shù)思維向方程思想過渡：先介紹古人的妙法(所有雞抬起一只腳……)，學生在感慨方法奇妙的同時會自嘆弗如；再讓學生自己想辦法，基于初中生的思維形式和認知結(jié)構(gòu)，可以用逐一嘗試驗證的方法；再從驗證的若干式子的共同結(jié)構(gòu)及符合條件時的約束關(guān)系，運用字母表示數(shù)的代數(shù)思想，建立起對應的方程；再通過對方程的結(jié)構(gòu)、特點的分析建構(gòu)方程、一元一次方程的概念．

情境應有挑戰(zhàn)性，否則起不到激發(fā)起“數(shù)學有用”的認知的作用(當然，也應該是學生力所能及的，在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)的問題)．

貼近學生生活的情境是最適合的：用數(shù)學觀察生活、解釋生活是形成“數(shù)學有用”認知的目的所在．

3.2 完整的建構(gòu)過程，理解數(shù)學本質(zhì)

只有經(jīng)歷完整的發(fā)現(xiàn)、提出問題，分析、解決問題的過程，才能在得到知識的同時理解數(shù)學本質(zhì)．從上面的例子可以看出，對學生而言，在經(jīng)歷了完整的問題解決過程后建構(gòu)起的方程的概念，已經(jīng)不是作為定義所表述的數(shù)學知識，而是理解了其本質(zhì)的數(shù)學知識，知道了為什么要引入方程概念、方程的實質(zhì)是什么(將要求的量用字母表示后得到的等式，由這個等式就可以解決問題)、方程方法好在什么地方(算術(shù)方法要奇巧；逐一嘗試太麻煩；方程方法能普適)．有了這樣的體驗，怎么會不喜歡數(shù)學呢？

3.3 自然的思維過程，體驗數(shù)學思想

“從天上掉下來的思路”會讓學生覺得數(shù)學思維太難，需要智力與靈感，這其實是不正確的．我們完全可以讓思維過程更顯自然．

上題中探索解題思路的“特例分析”法是一種重要的數(shù)學思維策略，是特殊化思想方法的運用．有了這種自然的思路探索過程，學生就會產(chǎn)生這樣的認知：數(shù)學解題的思維過程是有規(guī)律的、自然的．

3.4 雋永的數(shù)學經(jīng)典，欣賞數(shù)學之美

中小學數(shù)學中的不少內(nèi)容是數(shù)學的經(jīng)典內(nèi)容，其教學價值非常豐富．例如，勾股定理，源頭在哪里？怎么想到的？為什么要證明？還能得到什么？所有這些問題都深刻影響著學生的數(shù)學觀．

中國古代“勾三股四弦五”是構(gòu)造“直”的工具．古埃及人測量土地需要研究幾何圖形，特別是最簡單的三角形．三角形研究的就是其邊、角關(guān)系．最簡單的三角形之一是直角三角形．研究直角三角形有助于處理一般的三角形(轉(zhuǎn)化)．直角三角形的邊之間的關(guān)系(可以直接給出，因為其探索過程對學生來說難度過大)．探索證明這個關(guān)系對任意的直角三角形都成立．用勾股定理求得的邊長為1的正方形的對角線的長不能寫成兩個整數(shù)之比．將勾股定理中的指數(shù)推廣到大于2的自然數(shù)，就是著名的費瑪大定理．依據(jù)這些素材可以設(shè)計出很精彩的課，能夠回答上面提出的幾個重要問題，并促使學生對數(shù)學本質(zhì)、數(shù)學創(chuàng)造、數(shù)學審美得到充分的認識，同時，也能增強學生對數(shù)學的文化價值的體驗．

事實上，好的數(shù)學教學就應該努力促進學生逐步提升對數(shù)學的認知，理解數(shù)學的意蘊，從而理解數(shù)學、理解數(shù)學學習，提升學習的內(nèi)在動力，提高學習效果．