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    擬共形映射下不同指數(shù)Hardy空間的復(fù)合算子

    2022-11-18 14:25:48許姍姍唐樹安
    關(guān)鍵詞:正則常數(shù)算子

    許姍姍,唐樹安

    (貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,貴州 貴陽(yáng) 550025)

    0 引言

    用Δ={z∈:|z|<1}表示全平面上的單位圓盤,S1={z∈:|z|=1}表示單位圓周,H(Δ)表示單位圓盤Δ上所有解析函數(shù)構(gòu)成的空間。 設(shè)φ∈H(Δ)且φ(Δ)?Δ, 復(fù)合算子定義為

    Cφf(shuō)=f°φ,f∈H(Δ)

    解析函數(shù)空間中的復(fù)合算子得到了廣泛的研究,其基本性質(zhì)和重要結(jié)果請(qǐng)參考文獻(xiàn)[1-2]。 一個(gè)有趣的問(wèn)題是如果誘導(dǎo)函數(shù)φ是一個(gè)擬正則映射,也即是一個(gè)解析函數(shù)復(fù)合一個(gè)擬共形映射,那么復(fù)合算子Cφ有什么性質(zhì)? 此時(shí),復(fù)合算子Cφ將解析函數(shù)空間或者擬正則函數(shù)空間映成一個(gè)擬正則函數(shù)空間。 實(shí)際上,我們對(duì)這類算子性質(zhì)了解得很少,它的研究涉及函數(shù)空間理論與擬共形映射理論。 王子鵬等[3]研究了由擬共形映射誘導(dǎo)的復(fù)合算子在Bergman空間中的有界性,得到很多有趣的結(jié)果。 最近,在文獻(xiàn)[4]中,作者給出了由擬共形映射誘導(dǎo)的復(fù)合算子在相同指數(shù)的Hardy空間與Bergman空間中有界的充要條件。 本文將研究這類復(fù)合算子在不同指數(shù)的Hardy空間與Bergman空間的有界性。 我們首先從一些定義和記號(hào)開始。

    我們稱單位圓Δ內(nèi)一個(gè)解析函數(shù)f∈Hp,0

    Hp空間上的函數(shù)f幾乎處處有非切向極限值

    T(ζ)={z∈Δ:|z-ζ|

    更多關(guān)于解析函數(shù)的Hardy空間理論,可見參考文獻(xiàn)[5-8]。

    我們稱單位圓Δ內(nèi)一個(gè)解析函數(shù)f∈p,0

    關(guān)于Bergman空間理論的相關(guān)內(nèi)容可以參考[9]。

    則稱f:Δ→R2是一個(gè)K-擬正則映射, 其中

    在文獻(xiàn)[4]中,Adamowicz和González考慮由擬共形映射φ:Δ→Δ誘導(dǎo)的復(fù)合算子。 他們給出了Cφ在Hardy空間與Bergman空間中有界性的充要條件,這些結(jié)果既是經(jīng)典的解析Hardy空間中復(fù)合算子的相應(yīng)結(jié)果的推廣,又具有獨(dú)立的研究意義。 為了敘述他們的結(jié)果,我們先給出一些定義和記號(hào)。

    一個(gè)復(fù)值函數(shù)f的導(dǎo)數(shù)表示為

    如果f是解析的,f′(z)=fz。 我們用dm(z)表示1、2維空間的Lebesgue測(cè)度。 記號(hào)XY表示X≤MY,XY表示X≥MY,X≈Y表示XYX,其中M為大于零的任意常數(shù)。

    設(shè)0<α≤1, 單位圓周S1上一個(gè)函數(shù)h稱為α-H?lder連續(xù)的,如果存在常數(shù)M>0, 使得

    如果α=1,我們稱h是Lipschitz連續(xù)的。

    Adamowicz和González在文獻(xiàn)[4]中給出了在擬共形映射下相同指數(shù)的Hardy空間復(fù)合算子的有界性。

    下面定理是本文的主要結(jié)果,我們討論了由擬共形映射誘導(dǎo)的復(fù)合算子在不同指數(shù)的Hardy空間的有界性條件。

    定理2推廣了由解析函數(shù)誘導(dǎo)的復(fù)合算子在經(jīng)典解析Hardy空間的情形(見[13-14])。 我們不知道條件“φ-1的導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)”是否可以去掉,一般來(lái)講,一個(gè)擬對(duì)稱映射可以是不絕對(duì)連續(xù)的,α-H?lder連續(xù)性也不能保證φ-1|S1是可微的。

    1 定理2的證明

    設(shè)z∈Δ, 定義單位圓周S1上的一個(gè)與點(diǎn)z相關(guān)的區(qū)間Iz為

    單位圓以z為心的雙曲球定義為

    Bz=B(z,M(1-|z|)),0

    設(shè)I是S1上的區(qū)間,|I|表示區(qū)間I的長(zhǎng)度。 集合

    稱為一個(gè)Carleson盒子。

    為了證明定理2,我們需要如下引理,它是[4]中引理2的推廣。

    證設(shè)φ(z)=w表示雙曲球B的中心。 由K-擬共形映射的偏差引理([11-12,15]),存在常數(shù)M, 使得對(duì)所有z∈Δ,

    diamφ-1(B)≈1-|z|

    設(shè)w0∈Δ,φ-1(w0)=z0,J是S1上的一個(gè)區(qū)間使得J=Iw0, 由偏差引理可知存在常數(shù)M1>0, 使得

    又注意到|Iz0|≈1-|z0|,|Iw0|≈1-|w0|, 我們有

    引理證畢。

    我們也需要下述引理。

    引理2[4]設(shè)K≥1,φ:Δ→Δ是一個(gè)K-擬共形映射,T(ζ)是以ζ∈S1為頂點(diǎn)的錐,那么

    φ(T(ζ))?Tφ(ζ)。

    下面開始定理2的證明。

    (1)

    根據(jù)法圖引理和(1.1),有

    (2)

    定義S1上的測(cè)度為μ(A)=m(φ-1(A)), 這里A?S1。 通過(guò)變量替換,(1)可以表示為

    (3)

    若z∈Ia, 則

    (4)

    由(3)和(4),我們推出

    根據(jù)μ的定義,可知

    由引理2以及(φ-1)′存在且連續(xù),我們推出存在常數(shù)M1>0,使得

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