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    兩角差余弦公式引入方式的比較研究*

    2022-11-18 00:21:52215300昆山文峰高級中學李兆強
    中學數(shù)學雜志 2022年3期
    關(guān)鍵詞:余弦公式公式教材

    215300 昆山文峰高級中學 李兆強

    221000 江蘇省徐州市第一中學 丁永剛

    1 研究背景

    任何數(shù)學公式都有其產(chǎn)生的背景,只有讓學生在課堂上經(jīng)歷公式的發(fā)現(xiàn)過程,這樣的教學才是自然的、樸實的.兩角差余弦公式脫胎于平面幾何,與余弦定理、射影定理等三角學的重要定理、公式以及復(fù)數(shù)知識都有密切的聯(lián)系.研究兩角差余弦公式有助于培養(yǎng)學生數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模等素養(yǎng).《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》(以下簡稱“課標”)要求:“知道兩角差余弦公式的意義、經(jīng)歷公式的產(chǎn)生過程,能從余弦推導(dǎo)正弦、正切.”因此,研究兩角差余弦公式如何引入很有必要.

    如表1所示,在呈現(xiàn)方式上,人教版教材從現(xiàn)實情境出發(fā),滬教版和蘇教版教材從數(shù)學情境出發(fā)引入公式.人教版教材利用幾何方法和向量方法證明公式,滬教版教材利用單位圓中兩點距離公式證明,蘇教版教材用向量方法證明.在前后知識順序上,三個版本教材差別不大,都是從余弦推導(dǎo)正弦、正切公式.

    表1 三版教材中的“兩角差的余弦公式”

    2 理論基礎(chǔ)

    對于同一個數(shù)學公式,每位教師的引入方式是不一樣的,即使教師使用同樣的教學設(shè)計方案,課堂中出現(xiàn)的情況也是千差萬別.學生對教學目標、教學內(nèi)容、教學手段和教學方法的理解和解讀也大相徑庭.影響教學的心理學原理有以下兩種.

    2.1 班杜拉社會學習論

    美國心理學家班杜拉通過實驗得出了著名的社會認知論,他認為,教師有什么樣的課堂教學價值觀,以及是否及時巧妙地對學生的各種表現(xiàn)或表達予以強化,決定了學生課堂的行為狀態(tài),也決定了課堂是否有利于教學生成.因此,好的課堂需要教師提前做出好的教學設(shè)計.

    2.2 建構(gòu)主義學習論

    以皮亞杰為代表人物的建構(gòu)主義學習論認為,知識不是通過教師傳授獲得的,而是學習者在一定的情境下,通過意義建構(gòu)獲得的.建構(gòu)主義教學設(shè)計遵循下列原則:(1)問題驅(qū)動學習;(2)真實情境展開;(3)任務(wù)提供資源.因此,好的公式引入設(shè)計必須搭建學習的“腳手架”.

    3 研究過程

    公元2世紀,古希臘天文學家托勒密在編制弦表時,使用了包括兩角差余弦公式在內(nèi)的三角公式,這是有史可考的兩角差余弦公式的最早記載.繼托勒密之后,許多天文學家和數(shù)學家相繼設(shè)計新的方法推導(dǎo)該公式,不斷為兩角差余弦公式的歷史增添新的篇章,他們的研究方法大都比較復(fù)雜.筆者結(jié)合多年的研究實踐,以蘇教版教材為例,梳理六種不同的兩角差余弦公式引入方式,并加以比較.

    3.1 引入方式

    方式1:生搬教材(新手型教師)

    方式2:舊知引入(經(jīng)驗型教師)

    分析:由向量的數(shù)量積的兩種不同計算公式這一舊知引入新知,直截了當,問題鋪墊,單刀直入,一步到位得出公式,復(fù)習了數(shù)量積的計算公式,但過程過于簡單,缺乏探究的樂趣,在理解學生、理解教學、理解數(shù)學上都存在欠缺,不利于學生的學和教師的教.

    方式3:改進教材(成熟型教師)

    生:在單位圓x2+y2=1上.

    生:單位圓上旋轉(zhuǎn)角.

    問題3cos(α-β)中α,β分別對應(yīng)哪兩個點的旋轉(zhuǎn)角?

    生:(cosα,sinα)和(cosβ,sinβ).

    問題4在向量的哪個公式中會出現(xiàn)cos(α-β)?

    問題5如何求cos(α-β)?

    生:構(gòu)造點(cosα,sinα)和(cosβ,sinβ),利用數(shù)量積公式推導(dǎo).

    分析:設(shè)計五個問題組成問題串,引出單位圓,利用數(shù)量積推導(dǎo)兩角差余弦公式,公式引入比較自然,問題設(shè)置十分巧妙,探究過程非?!半[蔽”.

    方式4:實驗探究(骨干型教師)

    問題5你能發(fā)現(xiàn)cos(α-β),cosα,cosβ,sinα,sinβ這五個式子的等量關(guān)系嗎?

    分析:由探究特殊角三角函數(shù)值間的關(guān)系入手,歸納任意兩角差的余弦公式,但設(shè)置的問題有些突兀,教師的主觀意志強,缺乏必要的引導(dǎo),公式的發(fā)現(xiàn)成為“被發(fā)現(xiàn)”,課堂可能會出現(xiàn)新的生成.

    方式5:幾何模型(專家型教師)

    問題1如圖1、圖2,如何借助下列圖形證明勾股定理?

    圖1圖2

    問題2如圖3、圖4,將直角三角形的斜邊長改為1,其中的一個銳角改為θ,證明cos2θ+sin2θ=1.

    圖3圖4

    問題3如圖5、圖6,兩對斜邊為1的直角三角形,一對含銳角α,一對含銳角β,探究有關(guān)α、β的等式.

    圖5

    圖6

    分析:巧設(shè)問題,引導(dǎo)探究,從四個全等直角三角形到兩組全等直角三角形,從一個銳角到兩個銳角,學生感悟了數(shù)學問題的產(chǎn)生、發(fā)展的過程,積累了借助幾何圖形發(fā)現(xiàn)數(shù)學結(jié)論的活動經(jīng)驗,培養(yǎng)了幾何直觀素養(yǎng),訓練了類比推理.

    方式6:單位圓模型(名家型教師)

    問題托勒密定理告訴我們,圓的內(nèi)接凸四邊形中,兩組對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積,即AC·BD=AB·CD+AD·BC,如圖7,設(shè)∠DAC=α,∠ACB=β,半徑OA=1,你能得出什么結(jié)論?

    圖7

    分析:根據(jù)著名的托勒密定理設(shè)置開放性的問題,讓學生自主探究,小組合作,探索未知的結(jié)論,這是課堂教學中的“真探究”.

    分析:學生通過托勒密定理推導(dǎo)兩角差余弦公式,感受古人的數(shù)學智慧,了解數(shù)學史和數(shù)學文化,增強數(shù)學學習的熱情和自信.

    3.2 比較研究

    受教師教學理念、學生學習能力差異等因素的制約,在蘇教版教材編寫意圖的引導(dǎo)下,不同的教師會選擇不同的公式引入方式.

    3.2.1 研究引入方式,提升數(shù)學抽象素養(yǎng)

    高中是學生數(shù)學抽象素養(yǎng)提升的關(guān)鍵階段,然而,如何才能更高效地提升學生的數(shù)學抽象素養(yǎng),依然存在很多不明確的因素.例如,方式1雖然取自教材,但由于缺少必要的“臺階”,學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)很難得到提升.方式2雖然過程簡潔,但只是做了一次等量代換,一次代入坐標運算,談不上提升數(shù)學抽象素養(yǎng).方式3中的五個問題形成問題串層層遞進,引導(dǎo)學生探究,由淺入深提升了學生數(shù)學抽象能力.方式4從特殊到一般,方式5利用圖形的拼湊,方式6利用公式的變形,貼近學生的能力基礎(chǔ)與知識經(jīng)驗,使高中生在獲得“四基”、提升“四能”的基礎(chǔ)上,訓練數(shù)學抽象思維,提升數(shù)學抽象素養(yǎng).

    3.2.2 列舉具體實例,夯實先行組織策略

    ①設(shè)計自然原則 引入公式既要對學生充分了解,又要對教材進行合理的預(yù)設(shè),既要承上又要啟下,對此,方式3體現(xiàn)得尤為突出.

    ②循序漸進原則 不同的學生有不同的最近發(fā)展區(qū),因此,引入公式時要考慮學生的均衡程度,循序漸進地設(shè)置問題,不可一蹴而就,如方式3、方式4的五個問題,方式5的三個問題都很好地遵循了這一原則.

    ③留有余地原則 引入公式時不能“面面俱到、無微不至”,不能“填滿”學生的最近發(fā)展區(qū),要適當給學生的思維空間“留白”.如方式5可以放手讓學生自由拼湊,學生可以拼湊出“五花八門”的圖形,給學生的思維留出充分的余地,有時會有意想不到的收獲.

    4 教后反思

    課標提出把握數(shù)學本質(zhì),創(chuàng)設(shè)教學情境,感悟數(shù)學的科學價值、應(yīng)用價值、文化價值和審美價值[1],如何在公式引入課教學中落實“四基”,訓練“四能”?筆者認為好的公式引入課要做到以下四點.

    4.1 融入數(shù)學歷史

    引入方式5(幾何模型)和引入方式6(單位圓模型)適當引入了數(shù)學史的元素,兩則史料對應(yīng)了“經(jīng)歷兩角差余弦公式的推導(dǎo)過程”“培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)”“激發(fā)數(shù)學學習興趣”的教學目標,符合有效性原則,“兩角差余弦公式的幾何模型”史料與勾股定理的證明一脈相承,符合可學性原則.

    4.2 過程設(shè)計須自然

    歷史上,兩角差的余弦公式經(jīng)歷了從銳角到任意角情形,從幾何方法到解析方法的演進過程,學生在初中學過勾股定理的證明,引入方式5從勾股定理證明到cos2θ+sin2θ=1的證明,再到兩角差余弦公式的證明,中間過渡較為自然,教師在講解證明方法時,學生進行類比推理較為輕松,這都源于公式證明過程設(shè)計的自然.

    4.3 關(guān)注學科育人

    六種教學設(shè)計,從銳角到任意角、從三角到幾何、從猜想到證明,再現(xiàn)了兩角差余弦公式發(fā)生、發(fā)展的過程,呈現(xiàn)了“知識之諧”.六種不同的呈現(xiàn)方式,六類不同教師(新手型、經(jīng)驗型、成熟型、骨干型、專家型、名家型)的引入方式,展示了“方法之美”.教師引導(dǎo)學生獲得成功的體驗,營造了“探究之樂”.數(shù)形結(jié)合法揭示了代數(shù)與幾何的聯(lián)系,培養(yǎng)了學生的直觀想象素養(yǎng),成就“能力之助”.引導(dǎo)學生了解數(shù)學史,小組合作互相啟發(fā),培養(yǎng)了傾聽、尊重的品質(zhì),體現(xiàn)出“德育之效”[2].

    4.4 培養(yǎng)實踐思維

    在開展兩角差余弦公式教學時,很多教師更關(guān)注公式的實用性,對公式的產(chǎn)生過程重視不夠.筆者列舉的六種引入方式將知識的產(chǎn)生過程置于初高中龐大的知識體系中,緊扣幾何圖形設(shè)計實踐活動,積極強化學生實踐活動經(jīng)驗.在引入公式時,設(shè)計層層遞進的問題,點燃思維的火花,引導(dǎo)深度思考、深度探究,使學生積累的經(jīng)驗逐步歸一,完善學生思維體系,豐富學生思維活動經(jīng)驗[3].實踐活動經(jīng)驗和思維活動經(jīng)驗緊密聯(lián)系,只有二者同時培養(yǎng)、雙管齊下,才能全面提升學生數(shù)學核心素養(yǎng).

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