構造向量求數(shù)列的和

215600 江蘇省梁豐高級中學

江蘇省張家港市羅建宇名教師工作室 趙穎穎

向量是溝通幾何與代數(shù)的橋梁，是進一步學習和研究其他數(shù)學領域問題的基礎[1].在中學教學實踐中，向量常作為工具來解決幾何問題，也能解決一些代數(shù)問題，向量的運用多見于等式、不等式、函數(shù)等問題(參見文[2]-文[9]).筆者構造向量求幾類典型數(shù)列的和，作為向量在解決代數(shù)問題中的補充，用以倡導在高中數(shù)學知識間進行相互論證，發(fā)展數(shù)學學力.

一、 構造向量推導等差數(shù)列前n項和公式

問題1設數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,求數(shù)列{an}的前n項和.

解析：當d=0時，易得.下面推導當d≠0時的求和公式.

評注：從向量的視角看，等差數(shù)列對應向量的加減法運算，問題1的解決是在構造向量的基礎上，結合向量的模的計算得以推導等差數(shù)列前n項和公式.類似地，利用上述對向量的模的計算方法，可以求數(shù)列{nm}(m∈N*)的前n項和，簡析如下.

二、 構造向量推導等比數(shù)列前n項和公式

問題2設數(shù)列{an}是公比為q的等差數(shù)列,求數(shù)列{an}的前n項和.

解析：當q=1時，易得.下面推導當q≠1時的求和公式.

三、 構造向量求“等差×等比”數(shù)列前n項和

問題3設數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是公比為q的等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和.

解析：同上，這里只需解析當q≠1時的求和.

評注：問題3的解決常用經(jīng)典的“錯位相減法”求和，這里是在構造向量的基礎上綜合運用有關向量的線性表示，結合向量數(shù)量積運算求得“等差×等比”數(shù)列的前n項和公式.