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    函數(shù)性質(zhì)中的數(shù)學(xué)抽象在問題解決與設(shè)計中的應(yīng)用

    2022-11-18 01:33:33201299上海市新川中學(xué)姚志青
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年4期
    關(guān)鍵詞:增函數(shù)性質(zhì)關(guān)聯(lián)

    201299 上海市新川中學(xué) 姚志青

    2017年版《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》給出了普通高中數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)要求,包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析六個方面.數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個,即抽象、推理、模型,其中抽象是核心.數(shù)學(xué)抽象作為一種數(shù)學(xué)思想滲透在數(shù)學(xué)學(xué)科的各個知識點之中,筆者對如何在函數(shù)性質(zhì)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象以及如何應(yīng)用數(shù)學(xué)抽象進行問題設(shè)計展開實踐與研究.

    一、 數(shù)學(xué)抽象在函數(shù)性質(zhì)中的體現(xiàn)

    函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)的一條主線,數(shù)學(xué)抽象在函數(shù)問題中的應(yīng)用非常廣泛,以2021年上海高考的數(shù)學(xué)壓軸題為例.

    原題如果對于任意的x1,x2∈R,當(dāng)x1-x2∈S時,恒有f(x1)-f(x2)∈S成立,則稱f(x)是S關(guān)聯(lián).

    (1)判斷并證明f(x)=2x-1是否是[0,+∞)關(guān)聯(lián)?是否是[0,1]關(guān)聯(lián)?

    (2)已知f(x)是{3}關(guān)聯(lián),且x∈[0,3)時,f(x)=x2-2x,解不等式2≤f(x)≤3.

    (3)求證:“f(x)是{1}關(guān)聯(lián),且是[0,+∞)關(guān)聯(lián)”的充要條件是“f(x)是[1,2]關(guān)聯(lián)”.

    這個問題是一個函數(shù)的定義型問題,它定義了“f(x)是集合S關(guān)聯(lián)的概念”,通過函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用體現(xiàn)了其源于教材中的形式,需要將函數(shù)的性質(zhì)在文字語言、符號語言、圖像表述三個方面進行內(nèi)化,以理解函數(shù)性質(zhì)的本質(zhì)特征.這個內(nèi)化的過程可以體現(xiàn)在數(shù)學(xué)抽象方面,所謂數(shù)學(xué)抽象就是能夠根據(jù)一類數(shù)學(xué)對象抽取或歸納出其本質(zhì)特征的思維過程.筆者結(jié)合上述具體的步驟,分析問題中涉及數(shù)學(xué)抽象的三個方面.

    小問(1)解:由f(x)=2x-1,得f(x1)-f(x2)=2(x1-x2).

    當(dāng)x1-x2∈[0,+∞)時,f(x1)-f(x2)∈[0,+∞),所以f(x)是[0,+∞)關(guān)聯(lián);當(dāng)x1-x2∈[0,1]時,f(x1)-f(x2)∈[0,2],所以f(x)不是[0,1]關(guān)聯(lián).

    (一)數(shù)學(xué)抽象需要類比抽象

    由題中f(x1)-f(x2)的形式容易類比聯(lián)想到教材中的形式,在函數(shù)單調(diào)性中,通過f(x1)-f(x2)來作差比較f(x1),f(x2)大小,從而確定f(x)的單調(diào)性.解題過程中“由f(x)=2x-1得到f(x1)-f(x2)=2(x1-x2),則當(dāng)x1-x2∈[0,+∞)時,f(x1)-f(x2)∈[0,+∞)”的本質(zhì)就是“當(dāng)x1≥x2時,都有f(x1)≥f(x2)”,類比聯(lián)想到函數(shù)的單調(diào)遞增的性質(zhì)(非嚴格單調(diào)),所以可以通過類比的方法抽象得到f(x1),f(x2)的性質(zhì).類比抽象就是通過類比的方法抽象出數(shù)學(xué)對象的形式或性質(zhì),它包括兩個方面,一個是類比,一個是抽象.類比本身是非常重要的數(shù)學(xué)思想方法,數(shù)學(xué)中的類比是基于對兩類數(shù)學(xué)對象的共性比較得出它們可能具有的其他形式或者性質(zhì)的方法.

    小問(2)解:f(x)是{3}關(guān)聯(lián),所以當(dāng)x1-x2=3時,恒有f(x1)-f(x2)=3成立.

    由f(x1)-f(x2)=x1-x2,得f(x1)-x1=f(x2)-x2,令F(x)=f(x)-x,有F(x1)=F(x2),得到F(x2+3)=F(x2),即對任意x∈R,都有F(x+3)=F(x).

    故F(x)是一個周期為3的函數(shù),且x∈[0,3)時,F(xiàn)(x)=x2-3x.

    圖1

    (二)數(shù)學(xué)抽象需要表征抽象

    表征抽象就是以數(shù)學(xué)對象的呈現(xiàn)特征抽象構(gòu)建出其形象化的特征結(jié)構(gòu).譬如由f(x1)-x1=f(x2)-x2的呈現(xiàn)特征,令F(x)=f(x)-x,為使f(x)-x的性質(zhì)表征更加明顯,需要抽象構(gòu)建出函數(shù).解不等式2-x≤F(x)≤3-x的過程中,代數(shù)方法解決不等式問題比較復(fù)雜,利用數(shù)形結(jié)合的思想,可以用幾何圖像解決不等式問題,作出F(x)=x2-3x,g(x)=2-x,h(x)=3-x的圖像滿足F(x)在g(x),h(x)之間的部分.對于表征抽象而言,關(guān)鍵在于結(jié)構(gòu)特征的研究和歸納表述.對于同一個問題,表征抽象的觀察點不同,抽象得到的性質(zhì)特征也會不同,譬如上述“當(dāng)x1-x2=3時,恒有f(x1)-f(x2)=3成立”還可以抽象到“對任意的實數(shù)x∈R,恒有f(x+3)=f(x)+3成立”.

    小問(3)解:

    必要性:已知f(x)是{1}關(guān)聯(lián),且是[0,+∞)關(guān)聯(lián),

    由f(x)是{1}關(guān)聯(lián)知f(x+1)-f(x)=1,即f(x+1)=f(x)+1,

    由f(x)是[0,+∞)關(guān)聯(lián),可知對任意x1-x2≥0,都有f(x1)-f(x2)≥0,即x1≥x2時,都有f(x1)≥f(x2),所以,當(dāng)x1-x2≥1時,x1≥x2+1,f(x1)≥f(x2+1),則有f(x1)≥f(x2)+1,f(x1)-f(x2)≥1.

    當(dāng)x1-x2≤2時,x1≤x2+2,有f(x1)≤f(x2+2),則f(x1)≤f(x2+1)+1=f(x2)+2,f(x1)-f(x2)≤2.

    因此,當(dāng)x1-x2∈[1,2]時,都有f(x1)-f(x2)∈[1,2],即f(x)是[1,2]關(guān)聯(lián).

    (三)數(shù)學(xué)抽象需要強、弱抽象

    上述解題過程中將“f(x)是{1}關(guān)聯(lián)推出對任意的x1-x2=1,都有f(x1)-f(x2)=1”理解為當(dāng)自變量相差1的時候都有相應(yīng)的函數(shù)值也相差1,這樣的表述雖然弱化了對于定義描述的嚴謹性,但便于記憶表述.在應(yīng)用過程中,又可以進一步加強為“對于任意的實數(shù)x,都有f(x+1)-f(x)=1”,這樣的描述是嚴謹?shù)?,而且便于理解表?在概念教學(xué)中,數(shù)學(xué)抽象需要體現(xiàn)出不拘于形式的內(nèi)化理解,這個內(nèi)化理解根據(jù)實際情況的需要可以對研究對象進行弱化或強化的表述,也就是強抽象和弱抽象.滬教版新教材中關(guān)于增函數(shù)的定義為:“對于定義在D上的函數(shù)y=f(x),設(shè)區(qū)間I是D的一個子集,對于區(qū)間I上的任意給定的兩個自變量的值x1,x2,當(dāng)x10都有f(x+ε)>f(x)成立,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上為嚴格增函數(shù)”.用強抽象可以將上述圖形特征抽象為“函數(shù)f(x)圖像上的任意兩個不同的點,都有右邊的點高于左邊的點,則函數(shù)f(x)圖像為嚴格增函數(shù)圖像”.強抽象即通過在原型中引入新特征,使原型內(nèi)涵增加,結(jié)構(gòu)變強,從數(shù)學(xué)對象的關(guān)鍵屬性或特征中強化其特征屬性.

    二、 應(yīng)用數(shù)學(xué)抽象進行問題設(shè)計

    從顯性來看,數(shù)學(xué)抽象是學(xué)生在觀察、思考、表達三個方面的能力,通過數(shù)學(xué)抽象進行問題設(shè)計是幫助學(xué)生實現(xiàn)問題解決和提升數(shù)學(xué)抽象能力的有效途徑.在高三函數(shù)性質(zhì)的復(fù)習(xí)課中,根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求,筆者對如何通過數(shù)學(xué)抽象進行問題設(shè)計展開教學(xué)實踐的研究和分析(如圖2所示).

    圖2

    問題設(shè)計1對于任意的x1,x2∈R,當(dāng)x1-x2∈S時,恒有f(x1)-f(x2)∈S成立,則稱f(x)是S關(guān)聯(lián).求證:如果f(x)是{1}關(guān)聯(lián),那么f(x)是{2}關(guān)聯(lián).

    解題反饋1學(xué)生解題情況統(tǒng)計結(jié)果顯示,參加解題的十位學(xué)生都不能給出完整的證明過程,但是證明過程中的第一步基本都能表述出來,即寫到如下證明步驟后證明思路就戛然而止.

    解:由f(x)是{1}關(guān)聯(lián),則對任意的x1,x2∈R,當(dāng)x1-x2=1時,都有f(x1)-f(x2)=1.

    解題難點分析:由“對任意的x1,x2∈R,當(dāng)x1-x2=1時,都有f(x1)-f(x2)=1”推理得到“對任意的x1,x2∈R,當(dāng)x1-x2=2時,都有f(x1)-f(x2)=2”的邏輯關(guān)系缺乏直觀想象,而且推出關(guān)系的表述存在較大困難.在教材中,經(jīng)常用一個變量x的特征形式來表示函數(shù)f(x)的性質(zhì),學(xué)生對于理解x1-x2=1中兩個變量x1,x2之間的關(guān)系存在一定的困難.

    難點突破策略:通過數(shù)學(xué)抽象,在保持函數(shù)性質(zhì)不變的前提下,可以將問題抽象轉(zhuǎn)化為熟悉的形式.譬如,將“對任意的x1-x2=1,都有f(x1)-f(x2)=1”進行適當(dāng)?shù)膹?、弱抽?通過弱抽象表述為“當(dāng)自變量增大1個單位時,函數(shù)值增大1個單位”,通過強抽象表述為“對任意的x∈R,都有f(x+1)-f(x)=1”.通過數(shù)學(xué)抽象之后,將問題進行再設(shè)計.

    問題設(shè)計2對于任意的x1,x2∈R,當(dāng)x1-x2∈S時,恒有f(x1)-f(x2)∈S成立,則稱f(x)是S關(guān)聯(lián).

    (1)求證:如果f(x)是{1}關(guān)聯(lián),那么對任意的x∈R,都有f(x+1)-f(x)=1.

    (2)求證:如果f(x)是{1}關(guān)聯(lián),那么f(x)是{2}關(guān)聯(lián).

    解題反饋2學(xué)生解題情況統(tǒng)計結(jié)果顯示,參加解題的十位學(xué)生都能完成小問(1)的證明,完成小問(2)證明的學(xué)生只有五位.對比問題設(shè)計1中的解題情況反饋,通過數(shù)學(xué)抽象得到“任意的x∈R,都有f(x+1)-f(x)=1”的形式后,學(xué)生可以明顯體會到數(shù)學(xué)抽象的思想和方法,由表征抽象將“f(x1),f(x2)的關(guān)系”抽象到“f(x+1),f(x)的關(guān)系”.對于小問(2),有五位學(xué)生能夠獨立應(yīng)用表征抽象將“f(x1),f(x2)的關(guān)系”抽象到“f(x+2),f(x)的關(guān)系”后得到f(x)是{2}的關(guān)聯(lián),這五位學(xué)生在這個問題中表現(xiàn)出已經(jīng)逐步達到了應(yīng)用數(shù)學(xué)抽象解決問題的素養(yǎng)要求.完成全部證明過程學(xué)生的解題過程歸納如下.

    小問(1)解:由f(x)是{1}關(guān)聯(lián),則對任意的x1,x2∈R,當(dāng)x1-x2=1時,都有f(x1)-f(x2)=1.由x1-x2=1,得x1=x2+1,代入f(x1)-f(x2)=1得f(x2+1)-f(x2)=1,故f(x2+1)=f(x2)+1,即f(x+1)-f(x)=1.

    小問(2)解:由小問(1)得對任意的x∈R,都有f(x+1)-f(x)=1,同理f(x+2)-f(x+1)=1,上述兩式相加得f(x+2)-f(x)=2,即f(x)是{2}關(guān)聯(lián).

    解題難點分析:小問(2)中,“f(x)是{2}關(guān)聯(lián)”的充要條件為“對任意的x1,x2∈R,當(dāng)x1-x2=2時,都有f(x1)-f(x2)=2”,需要繼續(xù)通過數(shù)學(xué)抽象表述為“對任意的x∈R,都有f(x+2)-f(x)=2”,數(shù)學(xué)抽象是邏輯推理和表述過程的前提.

    難點突破策略:通過數(shù)學(xué)抽象的表征抽象將“f(x)是{2}關(guān)聯(lián)”抽象為“f(x+2)-f(x)=2”.

    問題設(shè)計3對于任意的x1,x2∈R,當(dāng)x1-x2∈S時,恒有f(x1)-f(x2)∈S成立,則稱f(x)是S關(guān)聯(lián).

    (1)求證:如果f(x)是{1}關(guān)聯(lián),那么對任意的x∈R,都有f(x+1)-f(x)=1.

    (2)如果任意的x∈R,都有f(x+1)-f(x)=1,求證:f(x+2)-f(x)=2.

    (3)求證:如果f(x)是{1}關(guān)聯(lián),那么f(x)是N*關(guān)聯(lián).

    解題反饋3問題設(shè)計3中的小問(2)是主要針對在問題設(shè)計2中沒能完成解答的五位學(xué)生進行的教學(xué)對比實驗,其主要變化是將原先的條件“f(x)是{2}關(guān)聯(lián)”替換為“f(x+2)-f(x)=2”.統(tǒng)計結(jié)果顯示這五位學(xué)生對小問(2)都給出了正確的證明,還有學(xué)生對小問(3)進行了嘗試證明.對小問(3)的解題過程歸納如下.

    小問(3)解:由f(x)是{1}關(guān)聯(lián),可知對任意的x∈R,都有f(x+1)-f(x)=1,f(x+1)=f(x)+1,所以對n∈N*,有f(x+n)=f(x+n-1)+1=f(x+n-2)+2=…=f(x)+n,即f(x+n)-f(x)=n,所以f(x)是N*關(guān)聯(lián).

    解題難點分析:小問(3)的問題設(shè)計是由“f(x)是{1}關(guān)聯(lián)”的特征類比抽象到“f(x)是{2}關(guān)聯(lián)”,進而由特殊到一般的思想,繼續(xù)通過類比抽象得到問題“f(x)是N*關(guān)聯(lián)”.由問題中的數(shù)字運算拓展到字母運算,其難點在于邏輯關(guān)系的導(dǎo)出與描述.

    難點突破策略:通過由“f(x)是{1}關(guān)聯(lián)”推理出“f(x)是{2}關(guān)聯(lián)”的邏輯關(guān)系,不難得出“f(x)是{3}關(guān)聯(lián),{4}關(guān)聯(lián)……”類比這樣的遞推關(guān)系,可以聯(lián)系到數(shù)列中的遞推關(guān)系,因此可以通過類比抽象的思想,應(yīng)用數(shù)列中遞推關(guān)系的表述方法來證明f(x)是N*關(guān)聯(lián).

    在函數(shù)的性質(zhì)中,函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性等性質(zhì)都可以嘗試通過數(shù)學(xué)抽象達到理解內(nèi)化的過程.以函數(shù)的奇偶性為例,關(guān)于偶函數(shù)定義中“對于任意的x∈D,都有f(-x)=f(x)”的理解,通過弱抽象可以表述為“定義域內(nèi)的任意兩個互為相反數(shù)的自變量,它們對應(yīng)的函數(shù)值相等”,通過強抽象可以表述為“對于任意的x1,x2∈D,當(dāng)x1+x2=0時,都有f(x1)=f(x2)”,這種抽象到x1,x2來定義的形式,可以與函數(shù)單調(diào)性的定義形式統(tǒng)一起來.用相同的x1,x2來定義不同的函數(shù)性質(zhì)可以幫助學(xué)生體會這些性質(zhì)的共性以及本質(zhì)特征,啟發(fā)學(xué)生的抽象思維.函數(shù)的性質(zhì)本質(zhì)上是由自變量和因變量的變化特征所體現(xiàn)出來,所以在表征抽象之后可以通過弱抽象幫助學(xué)生理解函數(shù)的本質(zhì),通過強抽象幫助學(xué)生用不同方式嚴謹而準確地表述函數(shù)性質(zhì).學(xué)生對于學(xué)習(xí)內(nèi)容掌握的關(guān)鍵在于能夠?qū)⑺芯康臄?shù)學(xué)對象抽象到能夠理解內(nèi)化的文字語言、符號語言和圖像語言.關(guān)于數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模,史寧中教授給出這樣的理解:通過抽象,在現(xiàn)實生活中得到數(shù)學(xué)的概念和運算法則,通過推理得到數(shù)學(xué)的發(fā)展,然后通過模型建立數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系.可以看出,無論是由現(xiàn)實生活到數(shù)學(xué)概念的抽象,還是在數(shù)學(xué)問題解決過程中的數(shù)學(xué)抽象思維,都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象作為數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心價值.

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