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    萃取數(shù)學(xué)史 建構(gòu)概念課
    ——以蘇科版八上“平方根”為例*

    2022-11-18 08:25:11魏宇亭江蘇省邳州市戴莊中學(xué)221347
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年5期
    關(guān)鍵詞:畢達(dá)哥拉斯平方根數(shù)學(xué)史

    魏宇亭 (江蘇省邳州市戴莊中學(xué) 221347)

    1972年第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(ICME-2)在英國(guó)舉行,會(huì)上組建了“數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)之關(guān)系國(guó)際研究小組”(簡(jiǎn)稱(chēng)為HPM).該組織成立后,致力于數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究,如美國(guó)數(shù)學(xué)史專(zhuān)家福韋爾指出數(shù)學(xué)史具有可增加學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī),有助于學(xué)生理解概念等教育價(jià)值;美國(guó)學(xué)者瓊斯認(rèn)為用數(shù)學(xué)史進(jìn)行新課引入可以幫助學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”新概念或新思想方法.史寧中、孔凡哲教授也指出,數(shù)學(xué)是人類(lèi)文化的重要組成部分,數(shù)學(xué)教育是數(shù)學(xué)文化的教育,而數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化的一種載體,數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課程有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué).[1]基于上述理論,筆者在徐州市級(jí)同課異構(gòu)活動(dòng)中,通過(guò)萃取數(shù)學(xué)史建構(gòu)概念課,執(zhí)教了蘇科版八上“4.1平方根”一課,得到與會(huì)師生的好評(píng).

    1 教材分析

    1.1 基于知識(shí)鏈的教材分析

    本課是蘇科版數(shù)學(xué)八上(以下簡(jiǎn)稱(chēng)為教材)第四章第1節(jié).七年級(jí)時(shí),學(xué)生已學(xué)習(xí)了有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方等運(yùn)算,能識(shí)別簡(jiǎn)單的無(wú)理數(shù).本學(xué)期,學(xué)生已學(xué)習(xí)勾股定理,經(jīng)歷了運(yùn)用平方求直角三角形邊長(zhǎng)的過(guò)程,奠定了學(xué)習(xí)平方根的基礎(chǔ).本章將學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)的概念,八下將學(xué)習(xí)二次根式,九上將學(xué)習(xí)解一元二次方程.因此,平方根是重要的概念樞紐,發(fā)揮承前啟后的作用,體現(xiàn)課標(biāo)對(duì)重要數(shù)學(xué)概念螺旋式上升的要求.據(jù)此,可繪如圖1所示的結(jié)構(gòu)圖.

    圖1

    1.2 基于數(shù)學(xué)史的教材分析

    ·蘊(yùn)藏勾股定理的歷史背景

    本課教材中設(shè)計(jì)了如圖2的引圖,要求學(xué)生在邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中求AB,A′B′的長(zhǎng),雖然AB,A′B′是矩形的對(duì)角線,但實(shí)質(zhì)是運(yùn)用勾股定理求解,圖形上略顯復(fù)雜,會(huì)給部分學(xué)生帶來(lái)識(shí)圖困難.因此,抓住勾股定理這一線索,依據(jù)HPM的理念,萃取畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理后提出萬(wàn)物皆數(shù)的數(shù)學(xué)史,直接創(chuàng)設(shè)求直角三角形邊長(zhǎng)的情境,劍指學(xué)習(xí)平方根的必要性,既可達(dá)成引圖的目標(biāo),又能解決識(shí)圖困難,讓學(xué)生在傳承有序、自然而然的數(shù)學(xué)史情境中建立新概念.

    圖2

    ·蘊(yùn)藏發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)的歷史背景

    2 教學(xué)設(shè)計(jì)

    2.1 跨越時(shí)空,引出概念

    (1)出示圖3,回顧?quán)]票的圖案是根據(jù)勾股定理設(shè)計(jì)的.

    圖3 圖4

    (2)出示圖4,數(shù)學(xué)史:在西方,勾股定理被稱(chēng)為“畢達(dá)哥拉斯定理”,它是古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的.畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理后,試著從數(shù)學(xué)擴(kuò)大到哲學(xué),用數(shù)的觀點(diǎn)解釋世界,經(jīng)過(guò)刻苦實(shí)踐,提出了“萬(wàn)物皆數(shù)”的觀點(diǎn),這里的數(shù)是指一個(gè)精確的數(shù)字,隨后逐漸形成畢達(dá)哥拉斯學(xué)派.

    (3)出示圖5,求直角三角形第三邊長(zhǎng),經(jīng)歷運(yùn)算過(guò)程,體驗(yàn)“萬(wàn)物皆數(shù)”的觀點(diǎn).

    (4)出示圖6,數(shù)學(xué)史:希帕索斯是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派中一個(gè)聰明、好學(xué)、有獨(dú)立思考能力的青年數(shù)學(xué)家,他在研究勾股定理時(shí),發(fā)現(xiàn)了一個(gè)大問(wèn)題.

    圖5 圖6 圖7

    (5)出示圖7,求腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng),用逼近法,感受斜邊的數(shù)值特征.

    (6)數(shù)學(xué)史:希帕索斯的發(fā)現(xiàn),打破了畢達(dá)哥拉斯萬(wàn)物皆數(shù)的權(quán)威,史稱(chēng)“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”.他堅(jiān)持真理,并付出了生命的代價(jià).后世數(shù)學(xué)家在此基礎(chǔ)上定義了新數(shù)字,開(kāi)創(chuàng)了新運(yùn)算.

    設(shè)計(jì)意圖萃取與畢達(dá)哥拉斯和希帕索斯相關(guān)的數(shù)學(xué)史創(chuàng)設(shè)情境,在求等腰直角三角形斜邊的問(wèn)題中,讓學(xué)生感受無(wú)理數(shù)的客觀存在性、數(shù)字?jǐn)U充的現(xiàn)實(shí)性、開(kāi)創(chuàng)運(yùn)算的必要性,為建構(gòu)概念奠定思維基礎(chǔ),用希帕索斯寧死求真的故事對(duì)學(xué)生進(jìn)行情感、態(tài)度、價(jià)值觀的教育,發(fā)揮學(xué)科育人功效.

    2.2 抽象本質(zhì),生成概念

    ·建立互逆,感悟特征

    (1)出示圖8左側(cè)3題,快速求解.

    (2)追問(wèn):請(qǐng)舉出相同的例子,有何發(fā)現(xiàn)?

    (3)出示圖8右側(cè)3題,學(xué)生思考后,指名回答.

    圖8

    (4)追問(wèn):你有什么發(fā)現(xiàn)?

    設(shè)計(jì)意圖建立互逆關(guān)系,使學(xué)生感悟運(yùn)算的互逆性及已知冪和指數(shù)求底數(shù)的運(yùn)算特征.

    ·追問(wèn)促思,生成概念

    (1)指名回答,組織討論,統(tǒng)一意見(jiàn).

    若x2=0,則x=;若x2=-4,則x=.

    (2)抽象本質(zhì),逐步建構(gòu),生成概念.若用字母a表示等號(hào)右邊的數(shù)字,則可表述為:如果x2=a(a≥0),那么x叫做a的平方根.

    (3)追問(wèn):若x2=2,則x=.

    2.3 列表歸類(lèi),探究概念

    (1)整理下表,設(shè)問(wèn):觀察表格,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?

    a9140.1620-4a的平方根±3±12±0.4±20無(wú)

    (2)學(xué)生思考,小組合作,發(fā)表意見(jiàn).

    (3)小結(jié):一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根,它們互為相反數(shù);0的平方根是0;負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.

    (4)開(kāi)平方的定義:求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算叫開(kāi)平方.

    2.4 例題教學(xué),運(yùn)用概念

    (2)先出示①至③,指名回答;再依次出示④至⑥,討論完成.

    2.5 辨析鞏固,深化概念

    (1)判斷下列說(shuō)法是否正確:① -5是25的平方根;② 25的平方根是-5;③ 0的平方根是0;④ 1的平方根是1;⑤ (-3)2的平方根是-3.

    (2)學(xué)生在獨(dú)立思考、小組討論后完成辨析.

    設(shè)計(jì)意圖辨析討論,學(xué)生進(jìn)一步感悟平方根的概念和性質(zhì).

    2.6 課堂小結(jié),升華概念(略)

    2.7 沙場(chǎng)點(diǎn)兵,鞏固概念

    組織學(xué)生以搶答的形式,解答習(xí)題.

    (1) 4的平方根是( ).

    A.16 B.±4 C.±2 D.8

    (2)如果1.2是a的平方根,那么另一個(gè)平方根是.

    (3)一個(gè)實(shí)數(shù)的平方根是a+3和2a,則a=.

    2.8 板書(shū)設(shè)計(jì)

    本節(jié)課的板書(shū)設(shè)計(jì)如圖9所示.

    圖9

    3 教學(xué)反思

    3.1 萃取數(shù)學(xué)史,創(chuàng)設(shè)產(chǎn)生概念的模擬情境

    3.2 萃取數(shù)學(xué)史,建構(gòu)概念體系的知識(shí)鏈條

    3.3 萃取數(shù)學(xué)史,在概念教學(xué)中滲透“三會(huì)”

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