圓弧逼近橢圓的方法及橢圓螺紋編程研究

盧小燕

（廣州南洋理工職業(yè)學(xué)院，廣州 510925）

0 引言

在零件加工中，會(huì)碰到非圓曲線加工，而現(xiàn)在的數(shù)控設(shè)備，一般可以直接采用直線和圓弧插補(bǔ)指令加工，橢圓作為具有代表性的非圓曲線，沒(méi)有相應(yīng)的直接插補(bǔ)指令應(yīng)用。為了解決這種非圓曲線加工問(wèn)題，加工橢圓和在橢圓上加工螺紋大家能想到的方法估計(jì)就是用宏程序加工，用宏程序加工確實(shí)很方便，但對(duì)于不會(huì)宏程序的人或會(huì)宏程序而機(jī)床不具備使用宏程序功能的，就可以采用本文介紹的直線逼近橢圓、圓弧逼近橢圓的方法，將橢圓曲線分解成若干段小直線[1]，編程橢圓時(shí)，通過(guò)建立加工輪廓的節(jié)點(diǎn)，利用橢圓方程式和圓弧方程式計(jì)算出加工節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)，進(jìn)行編程加工。本文介紹的直線逼近橢圓、圓弧逼近橢圓的方法雖然計(jì)算量大，但它通俗易懂，而且精確度很高。

1 零件圖樣分析

圖1所示的零件材料為鋁合金，備料尺寸為φ40 mm×1000 mm，未注長(zhǎng)度尺寸允許偏差為±0.1 mm，未注倒角為1×45°，以小批量生產(chǎn)首件編程，要求在FANUC 0i系統(tǒng)數(shù)控車(chē)床上加工橢圓面、橢圓螺紋、R20的凹圓面、φ38 mm的圓柱面。φ38 mm的圓柱面尺寸公差的上偏差為+0.03 mm,下偏差為0，φ38 mm的圓柱面的表面粗糙度為Ra3.2 μm，R20 的 圓弧面的表面粗糙度為Ra6.3 μm，其它表面粗 糙 度 為Ra12.5 μm，本文只對(duì)橢圓及橢圓螺紋的編程進(jìn)行研究。

圖1 零件圖

2 橢圓節(jié)點(diǎn)的設(shè)計(jì)及坐標(biāo)值計(jì)算

等間距直線逼近法是使每個(gè)程序段的某一坐標(biāo)量相等，然后根據(jù)曲線的表達(dá)式求出另一坐標(biāo)值，即可得到節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)[2]。本文采用X坐標(biāo)增量相等，如圖2所示，在X坐標(biāo)軸上A到R之間以2 mm為單位,正向等間距取點(diǎn)為A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、L、M、N、O、P、Q、R分別為0、2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30、32、34 mm,考慮到右端部分R與W之間是誤差最大的部分, 所以在此段以1 mm為單位，正向等間距取點(diǎn)為S、T、U、V、W分別為35、36、37、38、39 mm，但為了誤差更小在W與Z此段插入Y,它的等間距取0.5 mm為單位, 正向等間距取點(diǎn)為Y、Z分別為39.5、40.0 mm。把A到Z的X值代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，通過(guò)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程X2/402+Y2/182=1算出相應(yīng)的各點(diǎn)的Y軸坐標(biāo)值，計(jì)算出的各節(jié)點(diǎn)Y軸坐標(biāo)值如表1所示。

圖2 節(jié)點(diǎn)圖

表1 各節(jié)點(diǎn)Y軸坐標(biāo)值

3 逼近橢圓的圓心的坐標(biāo)及半徑的求解

把橢圓方程式求出的各節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值代入圓方程求出逼近橢圓的圓心的坐標(biāo)及半徑。

1）根據(jù)“不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓,”這個(gè)定理，把A、B 、C 、D、E、F、G、H 、I 、J、K、L、M 、N、O、P、Q 、R、S、T、U、V、W 、Y、Z 分別以A B C；C D E；E F G；G H I；I J K；K L M；M N O；O P Q；Q R S；S T U；U V W；W Y Z分成12組圓, 把A、B、C代入圓方程X2+Y2+DX+EY+F=0，則有：

用待定系數(shù)解這一方程組得D=-5.553、E=-2.750、F=-2950.868；用同樣的方法把C、D、E三點(diǎn)分別代入圓方程得D=-0.033、E=-139.160、F=-2828.995；把E、F、G三點(diǎn)分別代入圓方程得D=-0.767、E=-130.640、F=-2672.865；把G、H、I三點(diǎn)分別代入圓方程得D=-2.333、E=-118.659、F=-2448.350；把I、J、K三點(diǎn)分別代入圓方程得D=-6.594、E=-97.315、F=-2028.064；把K、L、M三點(diǎn)分別代入圓方程得D=-10.863、E=-81.584、F=-1697.459；把M、N、O三點(diǎn)分別代入圓方程得D=-17.544、E=-61.951、F=-1254.392；把O、P、Q三點(diǎn)分別代入圓方程得D=-26.952、E=-40.671、F=-717.407；把Q、R、S三點(diǎn)分別代入圓方程得D=-38.177、E=-21.939、F=-155.926；把S、T、U三點(diǎn)分別代入圓方程得D=-46.720、E=-11.412、F=234.828；把U、V、W三點(diǎn)分別代入圓方程得D=-54.9398、E=-3.998、F=589.636；把W、Y、Z三點(diǎn)分別代入圓方程得D=-62.037、E=-0.241、F=881.495。

2）把A、B、C組合為圓1，代號(hào)為O1；把C、D、E組合為圓2，代號(hào)為O2；把E、F、G組合為圓3，代號(hào)為O3；把G、H、I組合為圓4，代號(hào)為O4；把I、J、K組合為圓5，代號(hào)為O5；把K、L、M組合為圓6，代號(hào)為O6；把M、N、O組合為圓7，代號(hào)為O7；把O、P、Q組合為圓8，代號(hào)為O8；把Q、R、S組合為圓9，代號(hào)為O9；把S、T、G組合為圓10，代號(hào)為O10；把G、V、W組合為圓11，代號(hào)為O11；把W、Y、Z組合為圓12，代號(hào)為O12，根據(jù)圓的方程式(x-a)2+(y-b)2=r2與X2+Y2+DX+EY+F=0，得出各節(jié)點(diǎn)a、b、r的數(shù)值為a1=0.046、a2=0.017、a3=0.384、a4=1.167、a5=3.297、a6=5.432、a7=8.772、a8=13.476、a9=19.089、a10=23.36、a11=27.47、a12=31.019；b1=72.989、b2=69.58、b3=65.32、b4=59.330、b5=48.658、b6=40.792、b7=30.976、b8=20.336、b9=10.970、b10=5.706、b11=1.999、b12=0.121；r1=90.985、r2=87.581、r3=83.305、r4=77.264、r5=66.382、r6=58.232、r7=47.863、r8=36.229、r9=25.311、r10=18.532、r11=12.998、r12=8.983, 即圓弧的圓心坐標(biāo)為O1（0.046,72.989）半徑為90.985；O2（0.017,69.58）的半徑為87.581；O3（0.384,65.32）的半徑為83.305；O4（1.167,59.330）的半徑為77.264；O5（3.297,48.658）的半徑為66.382；O6（5.432,40.792）的半徑為58.232；O7（8.772,30.976）的半徑為47.863；O8（13.476,20.336） 的 半 徑 為36.229；O9（19.089,10.970）的半徑為25.311；O10（23.36,5.706）的半徑為18.532；O11（27.47,1.999） 的 半 徑 為12.998；O12（31.019,0.121）的半徑為8.983。

4 擬合誤差

用橢圓方程式計(jì)算出的Y1橢、Y2橢和用圓方程式計(jì)算出的Y1圓、Y2圓進(jìn)行比較，得出圓弧逼近橢圓的精確度。

1）擬合誤差計(jì)算以A、B、C組合為例,在A點(diǎn)與B點(diǎn)中間取X1為1，在B與C之間取X2為3,代入橢圓方程X2/402+Y2/182=1,得出Y1橢=-17.994、Y2橢=-17.949；用同樣的計(jì)算方法得出C、D、E的Y1橢=-17.859、Y2橢=-17.722；E、F、G的Y1橢=-17.538、Y2橢=-17.306；G、H、I的Y1橢=-17.023、Y2橢=-16.686；I、J、K的Y1橢=-16.293、Y2橢=-15.840；K、L、M的Y1橢=-15.320、Y2橢=-14.727；M、N、O 的Y1橢= -14.051、Y2橢=-13.281；O、P、Q 的Y1橢=-12.397、Y2橢= -11.375；Q、R、S的Y1橢=-10.172、Y2橢=-9.109；S、T、U的Y1橢=-8.295、Y2橢=-7.363；U、V、W的Y1橢=-6.264、Y2橢=-4.883；W、Y、Z的Y1橢=-3.469、Y2橢=-2.009。

2）以A、B、C為例，將所取得的X1=1、X2=3代入圓的方程式X2+Y2+DX+EY+F=0得Y1圓=-17.991、Y2圓=-17.948；用同樣的計(jì)算方法得出C、D、E的Y1圓=-17.859、Y2圓=-17.722；E、F、G的Y1圓=-17.538、Y2圓=-17.306；G、H、I的Y1圓=-17.023、Y2圓=-16.686；I、J、K 的Y1圓=-16,294、Y2圓=-15.840；K、L、M 的Y1圓=-15.320、Y2圓=-14.726；M、N、O的Y1圓=-14.052、Y2圓=-13.280；O、P、Q的Y1圓=-12.399、Y2圓=-11.373；Q、R、S的Y1圓=-10.175、Y2圓=-9.108；S、T、U 的Y1圓=-8.295、Y2圓=-7.362；U、V、W 的Y1圓=-6,267、Y2圓=-4.876；W、Y、Z的Y1圓=-3.472、Y2圓=-1.984。

3）擬合誤差計(jì)算。

綜上所述，所組合的12個(gè)圓中W、Y、Z的ΔY2誤差最大,但也未超過(guò)0.03，所以由它們組合的輪廓很逼近橢圓,讀者可根據(jù)自己的需要, 假如橢圓尺寸誤差可大點(diǎn)的話各節(jié)點(diǎn)的間距可取大點(diǎn),反之各節(jié)點(diǎn)的間距可取小點(diǎn)。上面所介紹的第1到第3步為逼近橢圓的圓的計(jì)算, 第4步擬合誤差為所取圓和橢圓的誤差計(jì)算,此誤差計(jì)算只是為了證明用圓逼近橢圓的方法的精確度,讀者可以不必花時(shí)間做第4步擬合誤差計(jì)算。

5 橢圓的編程

將圖2的原坐標(biāo)的X軸改為Z軸,Y軸改為X軸, 變換后的X值因?yàn)橐M(jìn)行的是直徑編程，所以此時(shí)的各節(jié)點(diǎn)的X值是原來(lái)各節(jié)點(diǎn)的Y值的2倍，原點(diǎn)改在工件右端面與X軸交點(diǎn)處, 所整理后的坐標(biāo)如表2所示。加工橢圓的程序如表3所示。

表2 各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)值

表3 橢圓的參考程序

6 加工橢圓螺紋的過(guò)程

1）橢圓螺紋走刀路線的設(shè)計(jì)。

在X坐標(biāo)軸上從Z-4開(kāi)始取點(diǎn)記為A，從A到G之間以6 mm為單位,正向等間距取點(diǎn)為B、C、D、E、F、G，每一段都走9刀，前8刀的背吃刀量為0.316,最后一刀作為橢圓螺紋的精加工背吃刀量為0.072，走刀路線如圖3所示。

圖3 橢圓螺紋走刀路線示意圖1

2）各節(jié)點(diǎn)的計(jì)算。

A、B、C、D、E、F、G的節(jié)點(diǎn)可以用上面介紹的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程X2/402+Y2/182=1計(jì)算,在此就不重復(fù)了,會(huì)畫(huà)圖軟件的可以用軟件輔助找節(jié)點(diǎn)，走9刀的各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)值、橢圓螺紋走刀節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)值如表4所示。

表4 橢圓螺紋走刀節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)值1 mm

3）橢圓螺紋的編程。

A～B以直螺紋方式走刀，B～C以圓弧方式走刀，C～D、D～E、E～F、F～G以圓錐螺紋方式走刀，每一段都走9刀，前8刀的背吃刀量為0.316,最后一刀背吃刀量為0.072。A～B以直螺紋方式走刀其用意是為了B～C段的圓弧過(guò)渡，它本身不是為了加工螺紋，而是為了B～C段螺紋的精定位。從圖3橢圓螺紋走刀路線示意圖的圖形來(lái)看A～B段會(huì)加工到工件，但實(shí)際上因?yàn)槁菥酁?，前面6刀都不會(huì)碰到工件，而后面3刀螺紋的點(diǎn)也是在落在B點(diǎn)右邊很近的地方，所以A～B段螺紋走刀不影響橢圓螺紋的美觀。B～C段以圓弧方式走刀是因?yàn)榇硕问撬凶呗菁y之間誤差率最大的線段，用圓弧走刀誤差率會(huì)比直線小，最后幾段因?yàn)檎`差率都不大所以用圓錐螺紋方式走刀，其中誤差率可以按本文上面介紹橢圓節(jié)點(diǎn)的方式計(jì)算，在此就不做重復(fù)介紹了。橢圓螺紋的編程如表5所示。

第一次加工零件是在晚上,在螺紋刀走到點(diǎn)C處刀具有停頓現(xiàn)象，加工結(jié)果是B～C段的螺紋出現(xiàn)亂牙且螺距偏小。筆者分析了一下原因，從程序來(lái)看G03用G99進(jìn)給，且每轉(zhuǎn)進(jìn)給與螺紋螺距一致，按道理應(yīng)該螺距與錐螺紋的一致才對(duì)，筆者仔細(xì)思考它們的不同點(diǎn)，G03用G99指令走刀，此走刀與轉(zhuǎn)速及F值有關(guān)，錐螺紋和G03的走刀所用的轉(zhuǎn)速一樣，F(xiàn)值也一樣，是哪里出現(xiàn)問(wèn)題呢？轉(zhuǎn)速一致，因此不可能是轉(zhuǎn)速有問(wèn)題，F(xiàn)值與進(jìn)給倍率有關(guān)，筆者認(rèn)真看了一下進(jìn)給倍率，進(jìn)給倍率只用了40%，用螺紋指令走刀只受轉(zhuǎn)速和螺距控制，進(jìn)給倍率對(duì)它沒(méi)影響，而用G03指令走刀除了受F值影響外還受進(jìn)給倍率影響，找到問(wèn)題后，事情就好解決了，筆者把進(jìn)給倍率調(diào)為100%，重新加工工件，此時(shí)B～C段螺紋的螺距問(wèn)題沒(méi)了，但在B～C段還是存在亂牙現(xiàn)象?？磥?lái)用G03指令走螺紋還是不靠譜，還是用螺紋指令可靠。但在B～C段誤差較大，為了減少誤差，在此段筆者把步距取為3 mm，也就是在B～C段的中間取節(jié)點(diǎn)H，調(diào)整后的節(jié)點(diǎn)如圖4所示。走9刀的H的節(jié)點(diǎn)從大到小為X26.246、X25.93、X25.614、X25.3、X24.984、X24.668、X24.35、X24.034、X23.824，重新整理螺紋走刀節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)值，整理出的坐標(biāo)值如表6所示。

圖4 橢圓螺紋走刀路線示意圖2

表6 橢圓螺紋走刀節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)值2 mm

在編制程序時(shí)，如果存在一組程序段在一個(gè)程序中重復(fù)出現(xiàn)，可以把這組程序段弄成子程序[3]。因?yàn)楸?的螺紋程序太長(zhǎng)，輸入面板不方便，且螺紋程序已經(jīng)加工成功，所以為了書(shū)寫(xiě)方便，筆者改成螺紋粗加工用子程序，如表7所示。

表5 橢圓螺紋的參考程序1

表7 橢圓螺紋的參考程序2

用子程序編程時(shí)要注意核對(duì)最后的X、Z軸的退刀總量，為了確保粗車(chē)螺紋的背吃刀量都是0.316 mm，X軸的退刀總量加上X軸的所有移動(dòng)總量應(yīng)等于-0.316（粗車(chē)螺紋每刀背吃刀量），Z軸的退刀總量加上Z軸的所有移動(dòng)總量應(yīng)等于0。

7 結(jié)語(yǔ)

在數(shù)控教學(xué)中，學(xué)生對(duì)宏程序的掌握很困難，即使老師講解得很詳細(xì)，也只有個(gè)別學(xué)生能掌握宏程序編程。直接用宏程序進(jìn)行零件的粗加工，背吃刀量不易控制，工件無(wú)法加工或不能達(dá)到零件的技術(shù)要求。怎樣在數(shù)控車(chē)床上加工橢圓零件呢？通?？梢杂弥本€、圓弧逼近橢圓，根據(jù)橢圓方程式先用直線逼近方法求出各節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再用圓的方程式求出圓心的坐標(biāo)及半徑。選擇逼近線段時(shí)，應(yīng)該在保證精度的前提下，使節(jié)點(diǎn)數(shù)目盡量少，這樣不僅計(jì)算簡(jiǎn)單，程序段數(shù)目也少。掌握本文所介紹的數(shù)學(xué)計(jì)算方法計(jì)算圓弧節(jié)點(diǎn)，用圓弧逼近橢圓的方法加工橢圓，在不能用宏程序或不會(huì)用宏程序的情況下加工橢圓就不存在問(wèn)題了，而且精確度還很高。通過(guò)對(duì)橢圓螺紋的加工，發(fā)現(xiàn)在螺紋刀走到點(diǎn)C處刀具有停頓現(xiàn)象，加工結(jié)果是B～C段的螺紋出現(xiàn)亂牙且螺距偏小，不用子程序的橢圓螺紋程序太長(zhǎng)，程序達(dá)到88段，輸入面板不方便，橢圓螺紋程序用子程序才37段，程序簡(jiǎn)短了一半以上，節(jié)約了程序輸入面板的時(shí)間。最后經(jīng)過(guò)研究和加工驗(yàn)證得出：G03走橢圓螺紋不可靠，用螺紋指令走刀比較理想，在誤差較大的弧段需要再加入節(jié)點(diǎn)，以此保證加工精度。本文介紹的用直線、 圓弧逼近橢圓的方法在不能用宏程序的情況下是行之有效的。本文介紹的橢圓面上橢圓螺紋的走刀路線的設(shè)計(jì)及編程方法，便于同行借鑒使用，又可以延伸到其它類(lèi)型異型螺紋的編程，在生產(chǎn)加工中有著實(shí)際意義。