“做數(shù)學”視域下的教學實踐探究
——以蘇科版八年級下“圖形的旋轉(zhuǎn)”教學為例*

卞煥清 呂小兵 (江蘇省南菁高級中學實驗學校 214400)

王俊蓉 (江蘇省江陰市教師發(fā)展中心 214431)

“做數(shù)學”起源于上世紀國外科學學科實施的“Hands-on”學習計劃，我國于上世紀90年代在幼兒園和小學的科學教育中引入，后被引入中小學數(shù)學教育[1].“做數(shù)學”強調(diào)從實際生活出發(fā)，引導學生注意觀察周圍環(huán)境中的事物，鼓勵學生自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題；引導學生自己設(shè)計操作、親身實驗、實踐等活動，讓學生經(jīng)歷新的概念或者規(guī)律形成的過程，感悟思維和知識的發(fā)生過程.除了獲得知識結(jié)果以外，還能體會數(shù)學的基本思想和探究問題的基本路徑.當前，“做數(shù)學”教育理念逐步進入了研究者的視野，成為教育者關(guān)心的熱點議題之一.

“圖形的運動”貫穿于整個義務(wù)教育階段[2]，三個學段的課程目標各不相同：第一學段讓學生感受平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱現(xiàn)象；第二學段讓學生體驗簡單圖形的運動過程；第三學段需要學生能夠探索并理解平面圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱.從“感受”到“體驗”再到“探索、理解”，三個學段的課程目標呈現(xiàn)螺旋上升，而初中階段聚焦探索和理解，需主動、深入、系統(tǒng)地研究三種運動方式的共性和個性問題.圖形的運動具有高度抽象性，難以直觀想象，因此“做數(shù)學”理念就成了應(yīng)然之選.

1 教材分析與設(shè)計理念

蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學》八年級下冊中“圖形的旋轉(zhuǎn)”是繼平移之后學習的另一種圖形的基本變換，也是后續(xù)學習中心對稱圖形及其變化的基礎(chǔ).然而，對于旋轉(zhuǎn)的基本概念和性質(zhì)的探索，教師一般采用講授式或者利用動畫演示進行處理，學生很難體會旋轉(zhuǎn)概念的生成，無法明確旋轉(zhuǎn)的研究目標，更無法直觀地感受到圖形運動過程中存在著哪些“變與不變”，導致學生很難用運動的眼光去分析問題、解決問題.為了解決這個矛盾，筆者基于“做數(shù)學”教學理念[3]，以數(shù)學實驗為抓手，讓學生通過動手操作，親身體會圖形旋轉(zhuǎn)概念和性質(zhì)的生成，建立圖形運動的研究體系.

本節(jié)課的設(shè)計理念：(1)從學生實際接觸、觀察到的現(xiàn)象出發(fā)，從具體到抽象，從感性到理性，從實際到理論，再用實踐去檢驗理論，循序漸進地引導學生認識生活中的旋轉(zhuǎn)，進而探索其性質(zhì)；(2)旋轉(zhuǎn)概念和性質(zhì)的探究是本節(jié)課的核心環(huán)節(jié)，整個探索過程充分體現(xiàn)“學生為主體，教師為主導”，以探究式的教學方法為主，讓學生自主參與知識的生成；(3)作為初中階段研究的三種基本運動方式之一，同時也作為中心對稱圖形的章首課，課堂不應(yīng)僅僅止于旋轉(zhuǎn)知識的探索，也要幫助學生明確圖形的運動的研究目標，更要幫助學生梳理研究數(shù)學問題的一般思路，真正提升學生解決問題的能力.

2 問題設(shè)計與教學實錄

2.1 提出問題，明確目標，生成研究問題的知識體系

問題1相信同學們都聽過著名哲學家伏爾泰的一句話——“生命在于運動.”我們的生活也因為各種各樣的運動而過得絢麗多彩，你能說出下列生活場景體現(xiàn)出的運動方式嗎？能否給下列運動方式進行分類呢？

圖1 生活中的運動

設(shè)計意圖社會、數(shù)學知識和學生對數(shù)學課程發(fā)展影響的制約不是孤立的[4]，“做數(shù)學”強調(diào)從學生的生活經(jīng)驗出發(fā)，引導學生觀察日常生活中常見的事物，鼓勵學生發(fā)現(xiàn)問題.本問題通過生活場景喚醒學生對圖形運動的認識，能識別幾種運動方式并進行歸類，同時趣味性的開場白能夠活躍課堂氛圍，激發(fā)學生學習興趣.

問題2同學們，圖形的平移是我們學習過的內(nèi)容，我們是如何研究圖形的平移的？

設(shè)計意圖若是只將目標聚焦于旋轉(zhuǎn)的研究，那么學生對知識的認知是碎片化的，無法對知識結(jié)構(gòu)從整體上認識.事實上，平移、旋轉(zhuǎn)和翻折是初中階段研究的三種基本運動方式，研究的基本路徑也保持一致.因此，筆者從課堂整體建構(gòu)理念出發(fā)，引導學生自主回憶圖形平移的相關(guān)知識，梳理圖形平移的研究路徑，讓學生在探索圖形的旋轉(zhuǎn)時“有路可循”.

2.2 自主探索，形成概念，體會知識生長的基本過程

問題3類比圖形平移的概念，你能從三個生活情境中說出圖形旋轉(zhuǎn)的基本概念嗎？

問題4讓我們用動手操作來歸納圖形旋轉(zhuǎn)的概念，同時請思考，旋轉(zhuǎn)需要研究哪些要素？

設(shè)計意圖旋轉(zhuǎn)的概念和三要素是本節(jié)課要研究的一個重點，也是圖形旋轉(zhuǎn)研究的起點，無論是課件里的圖片還是精美的動畫都無法讓學生直觀感受到旋轉(zhuǎn)過程的動態(tài)變化.“做數(shù)學”理念下教師引導學生應(yīng)用材料和工具，設(shè)計實驗操作、實驗、實踐等活動，讓學生能夠通過具身體驗來獲得數(shù)學概念和性質(zhì).此環(huán)節(jié)通過細繩和砝碼設(shè)計了實驗操作，讓學生上臺演示旋轉(zhuǎn)過程.在歸納出旋轉(zhuǎn)基本概念的同時也能明確旋轉(zhuǎn)需要研究的三要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度，三者缺一不可.

問題5同學們，我們已經(jīng)知道了旋轉(zhuǎn)的概念，下面我們要研究什么？

問題6對于復雜圖形的旋轉(zhuǎn)，我們很難發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)，那么我們可以如何研究呢？

設(shè)計意圖旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本節(jié)課要研究的核心內(nèi)容，但是教師直觀的展示并不能讓學生認識到為什么要研究以及如何研究“對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等”和“對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心連線所形成的角相等”.問題5、6的拋出引導學生梳理研究問題的一般路徑，即從特殊到一般，引導學生從研究點的旋轉(zhuǎn)開始，再研究線段和三角形的旋轉(zhuǎn)(圖2).此處利用兩張疊合的半透明硫酸紙讓學生體驗圖形的旋轉(zhuǎn)(圖3)，通過實踐操作探究旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

圖2 圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的研究路徑

圖3 疊合的半透明硫酸紙

問題7請同學們動手操作，一起探索點的旋轉(zhuǎn)有什么性質(zhì)？

設(shè)計意圖旋轉(zhuǎn)的動態(tài)變化讓學生無法直觀感受到旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，而講授式的教學也讓學生無法體會到旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的自然生成.“做數(shù)學”理念強調(diào)課堂的架構(gòu)應(yīng)該由淺入深，有序地探索復雜問題.點的旋轉(zhuǎn)是研究其他復雜圖形旋轉(zhuǎn)的基礎(chǔ)，任何復雜圖形的旋轉(zhuǎn)都可以轉(zhuǎn)化為點的旋轉(zhuǎn)進行研究.其次旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)研究的就是在旋轉(zhuǎn)這個動態(tài)變化的過程中有哪些量是不變的，即“變中不變”.本環(huán)節(jié)中，點旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)對于學生來說較易發(fā)現(xiàn)，即對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，如圖4中OA=OA′，且∠AOA′即為旋轉(zhuǎn)角.點的旋轉(zhuǎn)能夠幫助學生清晰地觀察到旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，為后續(xù)的探究打下基礎(chǔ).

圖4 點的旋轉(zhuǎn)示意圖

問題8對于線段的旋轉(zhuǎn)，同學們會探究了嗎？線段的旋轉(zhuǎn)具有哪些性質(zhì)呢？

追問：和點的旋轉(zhuǎn)不同的是，線段的旋轉(zhuǎn)要注意什么呢？

設(shè)計意圖旋轉(zhuǎn)中心位于旋轉(zhuǎn)三要素之首，是研究旋轉(zhuǎn)最先需確定的，但也是最容易忽視的，無序的探究往往也讓學生難以體會知識的內(nèi)在邏輯.在實際教學中，學生能夠自然聯(lián)想到的是旋轉(zhuǎn)中心在線段端點處的情況(圖5①)，這種情況下能夠得到如下發(fā)現(xiàn)：AB=AB′，且∠BAB′即為旋轉(zhuǎn)角.此時應(yīng)及時追問：旋轉(zhuǎn)中心是否只能在線段端點處？在圖5②中不難有如下發(fā)現(xiàn)：AB=A′B′，OA=OA′，OB=OB′，∠AOA′=∠BOB′(兩角均為旋轉(zhuǎn)角).在圖5③中可以有如下發(fā)現(xiàn)：AB=A′B′，OA=OA′，OB=OB′，∠AOA′=∠BOB′.在探索的過程當中，學生也能很自然地意識到旋轉(zhuǎn)和平移性質(zhì)之間的聯(lián)系和區(qū)別.

圖5 線段的旋轉(zhuǎn)示意圖

問題9相信同學們會研究三角形的旋轉(zhuǎn)了，請大家動手操作.

追問：對于更復雜圖形的旋轉(zhuǎn)，同學們會探究了嗎？

設(shè)計意圖在系統(tǒng)地研究了線段旋轉(zhuǎn)性質(zhì)后，相對復雜的三角形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)也躍然紙上，旋轉(zhuǎn)中心分別在三角形邊上(圖6①)、在三角形內(nèi)部(圖6②)和在三角形外部(圖6③).學生也會聚焦旋轉(zhuǎn)角的相等、對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心連線的長度相等.對于更復雜圖形的旋轉(zhuǎn)，學生也會明確其探究路徑和需要探究的性質(zhì)，從而不僅積累了知識經(jīng)驗，還發(fā)展了能力.

圖6 三角形的旋轉(zhuǎn)示意圖

問題10請歸納圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

設(shè)計意圖學生在整個探究過程中歷經(jīng)了點、線段和三角形的旋轉(zhuǎn)的探究，教師需引導學生歸納總結(jié)三者的旋轉(zhuǎn)的共同性質(zhì).特別注意的是在探究過程中需要幫助學生明確旋轉(zhuǎn)是具有整體性的，即圖形上的每一個點均隨圖形的旋轉(zhuǎn)而旋轉(zhuǎn).

2.3 課堂小結(jié)，梳理框架，實現(xiàn)知識探究的整體架構(gòu)

問題11你能說出本節(jié)課我們經(jīng)歷了怎樣的學習過程，是如何來研究圖形的旋轉(zhuǎn)的？

設(shè)計意圖課堂小結(jié)環(huán)節(jié)幫助學生梳理課堂研究邏輯，但不能局限于課堂知識的呈現(xiàn)和整理，需進一步突出類比思想在研究三種運動方式中的應(yīng)用，幫助學生梳理研究數(shù)學新知的一般線路.同時，研究路徑的梳理也能進一步幫助學生認識到初中階段圖形運動相關(guān)知識的整體性，讓學生認識到數(shù)學知識是整體關(guān)聯(lián)的，并非碎片化的堆砌.

圖7 圖形的運動研究路徑

3 “做數(shù)學”理念下的教學反思

3.1 聚焦情境性和具身性，讓知識在動手操作中生長

“做數(shù)學”強調(diào)課堂教學應(yīng)該從學生熟悉的生活實際出發(fā)，引導學生善于觀察，引發(fā)學生的共鳴，讓學生產(chǎn)生探索新知的內(nèi)在需求，進而主動參與到課堂探索中去.本節(jié)課從常見的生活場景出發(fā)，引導學生觀察生活中存在的運動方式，并依據(jù)運動方式的類型進行歸納，引發(fā)學生思考：生活中常見的旋轉(zhuǎn)運動到底具有怎樣的性質(zhì)？由此激發(fā)學生探求問題的興趣.

具身體驗也是“做數(shù)學”的聚焦點，課堂教學中學生圍繞某個問題開展系列的動手操作、實驗、歸納等實踐活動，化動態(tài)為靜態(tài)、化抽象為具體，感悟數(shù)學的基本思想.本節(jié)課中利用砝碼和細繩探索旋轉(zhuǎn)的基本概念和旋轉(zhuǎn)的三要素，利用半透明硫酸紙進行旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的探索環(huán)節(jié)的設(shè)計和實踐.實驗材料的易獲取性使得學生能夠在課堂有限的時間后，利用課后時間進一步設(shè)計實驗方案并探索，培養(yǎng)學生通過實驗的設(shè)計和操作發(fā)展解決問題的能力.

3.2 緊扣主體性和交互性，讓學生在主動學習中探索

“做數(shù)學”理念下課堂的主體是學生，知識、技能和能力的獲得最終都需要學生自我內(nèi)化.因此，整個課堂教學緊密圍繞學生的實踐活動展開，無論是旋轉(zhuǎn)的概念還是旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的歸納，都需要學生動手操作，在進一步的發(fā)現(xiàn)、歸納中獲得知識.整個課堂中教師起到主導作用，并確保學生的主體性，引導學生探究旋轉(zhuǎn)的研究路線和確定實驗方法；修正或改進學生提出的方案.在旋轉(zhuǎn)性質(zhì)探究過程中，線段旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)中心的確定就需要教師不斷引導學生思考，探究旋轉(zhuǎn)中心位置的幾種可能性，不斷完善旋轉(zhuǎn)性質(zhì)探究的實驗方案.

3.3 著眼開放性和育人性，讓素養(yǎng)在數(shù)學研究中發(fā)展

“做數(shù)學”視域下的課堂預設(shè)是多元的，允許學生各抒己見，也容許學生“犯錯”.學生不同想法的大膽表達往往能夠激發(fā)大家思考，進而發(fā)展學生的創(chuàng)新思維，學生在交流過程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學本質(zhì).在本節(jié)課中，探究旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的過程中應(yīng)設(shè)置多種預設(shè)，滿足學生開放性探索的需求，特別是在探究三角形旋轉(zhuǎn)時，旋轉(zhuǎn)的過程中到底有哪些變化的量、哪些不變的量，都需要學生不斷發(fā)現(xiàn)和歸納.

課堂教學不僅僅是為了幫助學生獲取數(shù)學原理和知識，更應(yīng)關(guān)注學生關(guān)鍵能力的提升和認識世界的一般方法的掌握，這正是育人性的體現(xiàn).本節(jié)課不僅關(guān)注旋轉(zhuǎn)概念和性質(zhì)的探究，還通過實驗活動引導學生梳理研究圖形運動的一般路徑，把握知識的整體脈絡(luò)，體會數(shù)學研究的一般方法.整個課堂需緊密圍繞學生自主設(shè)計實驗方案并動手實踐，達成知識體系的建構(gòu)和能力的提升，實現(xiàn)課堂角色的“翻轉(zhuǎn)”，實現(xiàn)數(shù)學價值和學生思維的發(fā)展，發(fā)展學生的數(shù)學學科的關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng).