“老鼠出洞”問題的另兩種奇思妙解

郭 蓉

甘肅省武威第一中學(xué)，甘肅 武威 733000

“老鼠出洞”問題，是一個經(jīng)典而有趣的物理競賽問題。經(jīng)查閱大量對該問題研究的文獻資料，發(fā)現(xiàn)文獻[1-3]中只給出了積分法（或者微元法）和圖像法兩種求解的方法。因此，文獻[1]認(rèn)為因高中數(shù)學(xué)知識不足，直接應(yīng)用積分法（或微元法）求解難度大，圖像法是唯一的方法。文獻[2]也用圖像法做了分析。本文介紹競賽訓(xùn)練時學(xué)生想到的另兩種奇思妙解，以饗讀者。

1 常見分析方法

問題一只老鼠出洞后沿直線奔跑，其速率與離開洞口的距離成反比。已知老鼠在距洞口距離為a的甲處時，其速率為v0。那么，當(dāng)老鼠從甲處跑到距洞口距離為b（b＞a）的乙處，所需時間是多少？

1.1 積分法

以洞口為坐標(biāo)原點，以老鼠奔跑的直線建立直線坐標(biāo)系。設(shè)老鼠在任意位置x處時的速率為v，則，k 為常數(shù)。由題意，x=a時，v=v0，則 k=av0。

點評積分法的實質(zhì)是微元求和取極限，即積分法和微元法的本質(zhì)相同。由于大部分高中生沒有熟練掌握數(shù)學(xué)積分知識，因此競賽輔導(dǎo)中常用微元法分析。

1.2 圖像法

圖1 圖像

點評圖像法是物理解題中常用的方法，在某些問題的求解中，物理圖像可起到意想不到的效果。

2 另兩種奇思妙解

2.1 等效轉(zhuǎn)化法

等效轉(zhuǎn)化法是常用的物理方法，也是高中生必備的物理學(xué)科核心素養(yǎng)。等效轉(zhuǎn)化法的原則是效果要相同。實際應(yīng)用時，一定要在保證效果相同的前提下，將陌生的、復(fù)雜的、不熟悉的、難處理的實際問題的分析，轉(zhuǎn)化為與其等效的簡單的、熟悉的問題的分析，以便抓住問題的本質(zhì)，從而找到復(fù)雜問題的規(guī)律。

獨特的設(shè)想若能找到一個簡單而又熟悉的運動與老鼠的運動等效，則通過求解這個熟悉的運動所需的時間，可知道老鼠運動所需的時間。

精巧的構(gòu)思由于老鼠運動速率v與位置坐標(biāo)x成反比，即。設(shè)想一根彈簧一端固定在圖2中坐標(biāo)原點的左側(cè)，另一端固定在一小滑塊上，彈簧自由伸長時，滑塊在洞口位置（坐標(biāo)原點）?；瑝K離開洞口后向右運動，在光滑水平面上受向左的彈簧彈力，并設(shè)彈簧彈力F=k0x（k0為彈簧勁度系數(shù)）對滑塊做功的功率P恒定不變，由力做功的功率公式P=Fv得滑塊運動的速度

圖2 等效轉(zhuǎn)化的運動模型圖

巧妙的計算由題意，當(dāng)x=a時，v=v0，將其代入（1）式得

滑塊從甲處到乙處的運動過程中，彈簧彈力對滑塊做的功為

由（2）（3）式易得滑塊從甲處運動到乙處的時間為

點評從獨特的設(shè)想，到精巧的構(gòu)思，再到巧妙的計算，體現(xiàn)了學(xué)生思維的獨特性和創(chuàng)造性，也體現(xiàn)了學(xué)生解決問題中構(gòu)建物理模型的能力。

2.2 類比猜想法

類比猜想法，是根據(jù)兩個事物在某些屬性上的相似性，類比猜想出其他屬性也有可能具有相似性的認(rèn)知思維方法。類比的基礎(chǔ)，是要發(fā)現(xiàn)兩個不同事物之間有某些相似性，從而利用已知事物的規(guī)律去類比探尋（猜想）未知事物的規(guī)律。類比猜想法具有一定的認(rèn)知價值，是科學(xué)探究中常用的方法。

但是，類比猜想法是由個別到個別的非邏輯推理。因此，其結(jié)論的正確性需要用實驗（或者其他方法）來進一步檢驗。如果類比的兩個對象之間共有的屬性越多，則類比出的結(jié)論的可靠性越大。

在“老鼠出洞”問題中，老鼠的運動雖然不能直接用已學(xué)過的運動學(xué)公式求解，但只要能找到描述老鼠運動的公式和學(xué)過的物理公式的數(shù)學(xué)形式相似，便可類比學(xué)過的公式形式推測出解決“老鼠出洞”問題的公式形式。但這樣類比出的結(jié)果不一定正確，其結(jié)果還有待于用其他辦法（或者實驗）進一步驗證。

類比對象初速度v0=0的勻加速直線運動的兩個公式Δs=vΔt和v=at（式中Δs是極短時間Δt內(nèi)的位移），所以在t時刻到t+Δt時刻所發(fā)生的位移為

顯然，（5）（6）式的數(shù)學(xué)形式極為相似。

因此，由（5）（6）式找到物理量之間的對應(yīng)關(guān)系：“老鼠出洞”問題中的時間t、位置坐標(biāo)x、分別對應(yīng)初速度為零的勻加速直線運動中的位移 s、時間 t、加速度 a 。

由于從洞口到甲處的時間為t1時，x1=a；從洞口到乙處的時間為 t2時，x2=b，則由（7）式得

所以，老鼠從甲處到乙處所需時間為

點評類比猜想法，是科學(xué)研究中的一種很重要的科學(xué)方法，也是一種創(chuàng)造性思維方法。上述求解方法也是一種奇思妙解，但考試中學(xué)生若采用這種方法，即使得出正確的結(jié)果，評卷判分時其思考的過程也可能并不能得分，這或許也是我們教學(xué)中值得深思的問題。