2021年高考數(shù)學(xué)試題綜合難度比較分析

楊正朝 (貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 550025)

1 問(wèn)題提出

2019年《國(guó)務(wù)院辦公廳關(guān)于新時(shí)代推進(jìn)普通高中育人方式改革的指導(dǎo)意見(jiàn)》強(qiáng)調(diào)科學(xué)設(shè)置試題難度，命題要符合相應(yīng)學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，體現(xiàn)不同考試功能．[1]隨后，教育部頒布《普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱》，明確提出高考應(yīng)具有適當(dāng)?shù)碾y度．[2]可見(jiàn)，試題難度不僅是教育部門關(guān)注的重點(diǎn)，也是社會(huì)關(guān)注的焦點(diǎn)．

為了更好地測(cè)量試題難度，文[3]對(duì)鮑建生課程難度的綜合難度模型進(jìn)行改良，并用于測(cè)試中韓兩國(guó)高考試題的難度差異．文[4]基于文[3]的綜合難度模型，增加了條件含量、閱讀量?jī)蓚€(gè)因素，并以此為框架，對(duì)2016—2020年高考數(shù)學(xué)(理科)全國(guó)卷中的“統(tǒng)計(jì)與概率”進(jìn)行難度對(duì)比分析．文[5]以文[3]綜合難度模型為基礎(chǔ)，以是否含參、運(yùn)算水平、推理能力等難度因素為測(cè)評(píng)框架，對(duì)2019和2020年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅱ卷進(jìn)行難度分析．可見(jiàn)，近年來(lái)對(duì)高考試題進(jìn)行難度分析和比較，逐漸成為了數(shù)學(xué)教育的熱點(diǎn)話題．因此，本研究以2021年高考試卷為例，對(duì)其綜合難度進(jìn)行分析對(duì)比，以便更好地為數(shù)學(xué)教學(xué)和高考命題提供建議．

2 研究設(shè)計(jì)

2.1 研究對(duì)象及方法

2021年高考試卷主要由三類組成：一是新高考試卷；二是文理不分科的自主命題；三是高考全國(guó)卷．研究以2021年全國(guó)理科(甲乙卷)、新高考Ⅰ卷和浙江卷共四套試卷為對(duì)象，進(jìn)行綜合難度分析，數(shù)據(jù)結(jié)果借助SPSS和Excel分別繪制條形圖和雷達(dá)圖，以便能夠直觀地進(jìn)行比較分析．

2.2 研究工具

(1)綜合難度模型

本研究基于文[3]的綜合難度模型，以該模型的七個(gè)難度因素為框架，進(jìn)行水平劃分．各難度因素按A～G逐一進(jìn)行編碼，每個(gè)因素水平都分2～4級(jí)，依次賦值1～4，相關(guān)編碼及賦值如表1所示.

表1 綜合難度模型水平劃分及賦值

表1 綜合難度模型水平劃分及賦值(續(xù))

(2)示例分析

例(2021年全國(guó)乙卷第10題)設(shè)a≠0，若x=a為函數(shù)f(x)=a(x-a)2(x-b)的極大值點(diǎn)，則( )．

A.abC.aba2

難度水平分析該題編碼為：A1無(wú)背景(題目為純數(shù)學(xué)知識(shí))，B2有參數(shù)(含有參數(shù)變量a,b)，C3簡(jiǎn)單符號(hào)運(yùn)算(包含求導(dǎo)等符號(hào)運(yùn)算)，D2復(fù)雜推理(推理較為抽象，步驟在3步以上)，E3兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)(包括零點(diǎn)、極值點(diǎn)、單調(diào)性等知識(shí))，F(xiàn)1順向思維(按題目條件直接求解問(wèn)題)，G2運(yùn)用(運(yùn)用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí)求解)．

3 研究結(jié)果

根據(jù)表1水平劃分和賦值標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)2021年四套試卷中的試題進(jìn)行分析，得出相關(guān)數(shù)據(jù)．其中，百分比為各因素水平題目數(shù)除以試卷試題總數(shù)(全國(guó)甲乙卷均為23個(gè)題，而新高考Ⅰ卷和浙江卷均為22題)，例如全國(guó)甲卷無(wú)背景A1：19÷23=82.6%，浙江卷無(wú)參數(shù)B1：9÷22=40.9%．并結(jié)合公式(*)計(jì)算各因素的綜合難度系數(shù)，最終數(shù)據(jù)結(jié)果如表2所示．

表2 四套試卷的試題綜合難度系數(shù)統(tǒng)計(jì)

為了能夠生動(dòng)地刻畫不同試卷的7個(gè)因素情況，通過(guò)表2數(shù)據(jù)，利用SPSS繪制條形圖，對(duì)四套試卷進(jìn)行比較分析．對(duì)于整套試卷的綜合難度系數(shù)，利用Excel繪制雷達(dá)圖做整體性分析．

3.1 背景因素分析

由圖1可知，在生活背景方面，全國(guó)甲乙卷和新高考Ⅰ卷均有考查到，而且比重均為13.0%左右，浙江卷沒(méi)有涉及到生活背景的考查；在科學(xué)背景上，僅有全國(guó)甲卷和浙江卷考查到，分別為4.4%和4.5%，其余兩套試卷都為0．可見(jiàn)，全國(guó)統(tǒng)一命題的試卷比較注重有背景的考查，而浙江卷相對(duì)較少．

圖1

3.2 參數(shù)因素分析

由圖2可以發(fā)現(xiàn)，在有參數(shù)方面，全國(guó)甲乙卷考查占比較高，均為60.9%，浙江卷次之，為59.1%，新高考Ⅰ卷最低，為50%．試題含有參數(shù)，在一定程度上要比無(wú)參數(shù)的試題抽象．

圖2

3.3 運(yùn)算水平分析

由圖3可知，四套試卷對(duì)于運(yùn)算因素的四個(gè)水平都有全面考查到，但是分布不均衡．在簡(jiǎn)單數(shù)值運(yùn)算上，全國(guó)乙卷為43.5%，比重最大，其次全國(guó)乙卷，為39.1%，最低的是新高考Ⅰ卷和浙江卷，均為31.8%；在復(fù)雜數(shù)值運(yùn)算上，四套試卷的差別不大；在簡(jiǎn)單符號(hào)運(yùn)算方面，浙江卷>全國(guó)乙卷>全國(guó)甲卷>新高考Ⅰ卷；在復(fù)雜符號(hào)運(yùn)算上，新高考Ⅰ卷比重最高，為27.3%，運(yùn)算難度較大，浙江卷次之，為18.2%，全國(guó)甲乙卷較低．從整體來(lái)看，四套試卷都側(cè)重于考查簡(jiǎn)單數(shù)值和簡(jiǎn)單符號(hào)運(yùn)算，二者之和占一半以上．

圖3

3.4 推理能力分析

由圖4可知，四套試卷重點(diǎn)考查復(fù)雜推理．在復(fù)雜推理方面，浙江卷比重最高，為68.2%，新高考Ⅰ卷次之，最低為全國(guó)甲乙卷，均為56.5%．可以看出，浙江卷在邏輯推理方面，運(yùn)算步驟多，要求較高的邏輯推理能力．

圖4

3.5 知識(shí)含量分析

由圖5可以看出，對(duì)于知識(shí)含量因素三個(gè)水平的考查，四套試卷都有考查．在單個(gè)知識(shí)點(diǎn)方面，浙江卷最高，比重為36.4%，其次是新高考Ⅰ卷31.8%，全國(guó)甲卷為17.4%，全國(guó)乙卷最低，僅有8.7%；在兩個(gè)以上知識(shí)點(diǎn)的考查上，全國(guó)乙卷比重較高，其次是全國(guó)甲卷，新高考Ⅰ卷和浙江卷緊隨其后．從整體來(lái)看，浙江卷和新高考Ⅰ卷對(duì)三個(gè)水平考查相對(duì)均衡，而全國(guó)甲乙卷較為偏向于兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)以上的考查，考查知識(shí)點(diǎn)更為綜合．

圖5

3.6 思維方向分析

從圖6可知，四套試卷都傾向于考查順向思維．在順向思維上，浙江卷和全國(guó)Ⅰ卷占比最大，均為81.8%，其次是全國(guó)甲乙卷，都是78.3%，四套試卷的順向思維考查占比都在三分之二以上，這也體現(xiàn)了順向思維符合學(xué)生思考方向，考查難度較適宜．在逆向思維上，四套卷的比重都在20%左右，其中，全國(guó)甲乙卷比重較高一些．適當(dāng)增加逆向思維的試題，能夠考查學(xué)生發(fā)散思維，對(duì)于不同層次的學(xué)生有良好的區(qū)分效果．

圖6

3.7 認(rèn)知水平分析

由圖7可以看到，四套試卷對(duì)于認(rèn)知因素的三個(gè)因素都有考查到，尤其是對(duì)于運(yùn)用水平的考查，比重都比較高．在理解水平上，新高考Ⅰ卷考查較多，占22.7%，全國(guó)乙卷最低為8.7%；在運(yùn)用水平方面，四套試卷占比均為一半以上，其中全國(guó)乙卷最高，其次是浙江卷，全國(guó)甲卷和新高考Ⅰ卷緊隨其后；在分析水平上，新高考Ⅰ卷>全國(guó)甲卷>浙江卷>全國(guó)乙卷，分析水平側(cè)重于考查學(xué)生綜合運(yùn)用已有知識(shí)、方法等分析和解決問(wèn)題的能力．

圖7

3.8 綜合難度分析

結(jié)合表2數(shù)據(jù)，利用各難度因素權(quán)重值ki以及公式(** )，計(jì)算出四套試卷的綜合難度系數(shù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表3．為了直觀形象地刻畫各難度因素水平，繪制出雷達(dá)圖8.

表3 綜合難度系數(shù)表

圖8

由表3可知，四套試卷的綜合難度系數(shù)從高到低依次排序，分別為：浙江卷>新高考Ⅰ卷>全國(guó)甲卷>全國(guó)乙卷．浙江卷相對(duì)來(lái)說(shuō)，難度較大一些，全國(guó)統(tǒng)一命題的試卷差異不大．由于綜合難度系數(shù)不止上述7個(gè)因素，因此，該數(shù)據(jù)在此難度模型下，僅供參考．

從圖8可知，一方面四套試卷在背景因素、參數(shù)因素、推理能力、思維方向、認(rèn)知水平五個(gè)方面差異不大，其余兩個(gè)難度因素有所差別，但差距不大，這體現(xiàn)了高考試卷保持一定的穩(wěn)定性和一致性．另一方面，四套試卷在運(yùn)算水平、知識(shí)含量?jī)蓚€(gè)難度因素上綜合難度系數(shù)均高于1.9，體現(xiàn)了試卷在運(yùn)算能力和知識(shí)點(diǎn)綜合運(yùn)用上，考查難度較大．

4 研究結(jié)論

4.1 相對(duì)于自主命題而言，全國(guó)統(tǒng)一命題更關(guān)注背景因素的考查

上述試卷中，前三套均為全國(guó)統(tǒng)一命題試卷，通過(guò)數(shù)據(jù)分析比較，不難發(fā)現(xiàn)，其顯著的特點(diǎn)是注重背景因素的考查，背景即課標(biāo)中的情境．反觀浙江卷，對(duì)于背景因素的考查較少．一方面試題以生活和科學(xué)設(shè)置情境，貼近現(xiàn)實(shí)，符合學(xué)生認(rèn)知水平．例如，2021年全國(guó)甲卷的第4題以“青少年視力”為背景設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問(wèn)題．近年來(lái)，隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，青少年視力問(wèn)題變成公眾關(guān)注的焦點(diǎn)，以此問(wèn)題為切入點(diǎn)，不僅能夠引起學(xué)生的重視，而且考查學(xué)生綜合運(yùn)用已學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力．另一方面“情境”二字多次出現(xiàn)在新課標(biāo)，頻次較高，這也體現(xiàn)了情境設(shè)置在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性，情境作為數(shù)學(xué)問(wèn)題的載體，也能夠更好地體現(xiàn)育人的功能．例如，2021年全國(guó)乙卷第6題以“北京冬奧會(huì)志愿者”為背景，考查學(xué)生對(duì)計(jì)數(shù)原理和組合的運(yùn)用，同時(shí)，也能夠激發(fā)學(xué)生的志愿精神．

4.2 浙江卷綜合難度系數(shù)偏高，學(xué)生應(yīng)具備一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

通過(guò)上述對(duì)試卷綜合難度系數(shù)的分析，研究表明，浙江卷在考查難度上要高于其他三套試卷．但是通過(guò)試卷的試題分析，能夠發(fā)現(xiàn)，統(tǒng)一命題的全國(guó)卷中，存在著許多基礎(chǔ)題，因?yàn)榻y(tǒng)一命制的試卷面向的是多個(gè)省份，各省份教育和經(jīng)濟(jì)水平不一致，因此，在試卷難度上要保持平衡，注重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)．而浙江卷由于面向的是浙江省省內(nèi)學(xué)生，加上浙江省教育水平本身比較好，所以在試卷命制上更加注重中、高水平知識(shí)的考查，導(dǎo)致難度會(huì)有所加大．盡管考查的內(nèi)容一致，但是命制的出發(fā)點(diǎn)不一樣，也就導(dǎo)致了試題難度上難免會(huì)有所差異．因此，教學(xué)中要注重?cái)?shù)學(xué)基礎(chǔ)的培養(yǎng)，如果學(xué)生不具備一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，在成績(jī)上很難有所提升．

4.3 四套試卷都重視運(yùn)算能力和知識(shí)含量的考查

對(duì)于運(yùn)算水平和知識(shí)含量的考查，兩者的難度系數(shù)都在1.9以上．一方面數(shù)學(xué)運(yùn)算作為一種特殊的演繹推理，是處理數(shù)學(xué)問(wèn)題、得到正確結(jié)果的基本途徑．[7]同時(shí)，數(shù)學(xué)運(yùn)算也是數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，可見(jiàn)，在命題上加強(qiáng)對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力的考查就顯得理所當(dāng)然.數(shù)學(xué)運(yùn)算無(wú)論是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，還是現(xiàn)實(shí)生活中，是應(yīng)用最為普遍的關(guān)鍵能力，而且也是銜接其他學(xué)科的重要紐帶．另一方面知識(shí)含量體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，試題的知識(shí)點(diǎn)融合得越多，越考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的全面掌握程度，也考查學(xué)生對(duì)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用能力．現(xiàn)實(shí)社會(huì)中，面對(duì)的問(wèn)題紛繁復(fù)雜，如果對(duì)于綜合性的數(shù)學(xué)問(wèn)題都一籌莫展，難以解決，那么踏入社會(huì)，學(xué)生只會(huì)舉步維艱．

4.4 相比其他試卷，新高考試卷更加重視知識(shí)的綜合運(yùn)用

新高考在試卷結(jié)構(gòu)和題型上發(fā)生了重大變化，但是試題難度與其他試卷相比，差異性不大．新高考增設(shè)了多選題，一是多選題形式新穎，考查的內(nèi)容更為全面綜合．例如，2021年新高考Ⅰ卷第9題，考查學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)中平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差等內(nèi)容的理解，辨析它們的差異，考查內(nèi)容全面，難度并不大，這就要求學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中，掌握基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，養(yǎng)成勤于歸納總結(jié)的習(xí)慣，才能正確解決此類問(wèn)題；二是多選題的設(shè)置，對(duì)不同層次的學(xué)生更具區(qū)分效果．多選題的得分機(jī)制是“全選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分”，其一方面突顯高考的人性化，增加學(xué)生的得分機(jī)會(huì)．另一方面更好地區(qū)分不同層次的學(xué)生，使高考起到更為科學(xué)的人才選拔作用．

5 研究啟示

高考作為學(xué)生學(xué)業(yè)質(zhì)量水平檢測(cè)的重要手段，同時(shí)也肩負(fù)著人才選拔的重任．為此，研究通過(guò)高考試卷綜合難度分析，旨在為數(shù)學(xué)教學(xué)和命題提供參考．首先，合理調(diào)節(jié)試卷難度，使其更具區(qū)分效果．這里指的區(qū)分效果并不是每個(gè)題都要提升難度，而是要求試卷中的極個(gè)別試題在命制上要有區(qū)分度．比如試卷的選擇題或填空題最后兩題，可以適當(dāng)提升難度，這樣能夠更好地體現(xiàn)人才選拔的目的，對(duì)不同層次的學(xué)生起到更好的區(qū)分效果．其次，夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，落實(shí)“四基”“四能”．新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)“四基”“四能”，其立足于基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)，才能夠有更加長(zhǎng)遠(yuǎn)的發(fā)展．通過(guò)試卷分析能夠發(fā)現(xiàn)，高考中大多數(shù)試題是以基礎(chǔ)知識(shí)為方向來(lái)命制的，尤其是全國(guó)統(tǒng)一命制的試卷，更加體現(xiàn)這一特點(diǎn)，這就要求在實(shí)際教學(xué)中，注重基礎(chǔ)知識(shí)的理解和運(yùn)用，夯實(shí)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，提高自身的分析和解決問(wèn)題能力．最后，加強(qiáng)開放性題型的命制，全面考查學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)．開放性題型形式靈活，對(duì)學(xué)生能力要求更為全面和綜合，能在一定程度上考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)．在教學(xué)過(guò)程中，要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生探究意識(shí)的培養(yǎng)，讓學(xué)生在情境中，積極地參與問(wèn)題提出和問(wèn)題解決．