見微知著：微專題教學(xué)的實(shí)踐與思考

陳敏婕

(南京師范大學(xué)附屬中學(xué)鄴城路初級(jí)中學(xué)，江蘇南京，210019)

微專題教學(xué)是非常重要的一種教學(xué)形式，它立足教材又高于教材，教學(xué)設(shè)計(jì)靈活.其核心點(diǎn)在于“?！保淠_點(diǎn)在于“思”.指向?qū)W生對(duì)數(shù)學(xué)思想的抽象和應(yīng)用，優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，從而提高學(xué)生對(duì)于經(jīng)驗(yàn)與方法的運(yùn)用和遷移的能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).下面以“函數(shù)圖象視角下的方程、不等式”微專題教學(xué)設(shè)計(jì)為例，對(duì)此進(jìn)行闡述.

1 教學(xué)目標(biāo)與載體選取

1.1 教學(xué)目標(biāo)

(1)知道函數(shù)與方程(組)、不等式(組)的關(guān)系.

(2)會(huì)用函數(shù)的圖象，求相應(yīng)方程(組)、不等式的近似解.

(3)通過(guò)兩個(gè)函數(shù)圖象解方程(組)的探索活動(dòng)，感受函數(shù)與方程的辯證統(tǒng)一，感受函數(shù)圖象與方程(組)、不等式的內(nèi)在聯(lián)系，體驗(yàn)知識(shí)的內(nèi)在統(tǒng)一性與融合，感受數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)內(nèi)部的應(yīng)用是推動(dòng)數(shù)學(xué)自身發(fā)展的動(dòng)力之一.

1.2 載體選取

一次函數(shù)是學(xué)生最先接觸的一類函數(shù)，也是最為熟悉的，它的圖象呈直線樣態(tài).從一次函數(shù)的圖象作為切入口，并且貫穿課堂始終，讓學(xué)生充分感受數(shù)形結(jié)合思想.

通過(guò)問題串，串聯(lián)各環(huán)節(jié)的教學(xué)組織，給予學(xué)生充分的時(shí)間和空間、思考與表達(dá)、總結(jié)與歸納，升華認(rèn)知，感受三者內(nèi)在的和諧與統(tǒng)一性.

2 教學(xué)過(guò)程

2.1 情境創(chuàng)設(shè)

圖1

問題1：說(shuō)說(shuō)你對(duì)y=-x+3的認(rèn)識(shí).

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生從兩個(gè)不同的角度看同一個(gè)表達(dá)式，如果看成變量，它就是一次函數(shù)；如果看成未知數(shù)，它就是二元一次方程.

師生活動(dòng)：

生：這是一個(gè)一次函數(shù)，y隨x的增大而減小.

生：把-x移項(xiàng)到左邊，可以看成是二元一次方程.

師：兩位同學(xué)站在不同的角度，都對(duì)這個(gè)表達(dá)式就行了闡述.這里的x、y，如果看成變量，它就是一次函數(shù)；如果看成未知數(shù)，它就是二元一次方程.請(qǐng)同學(xué)們畫出函數(shù)圖象.

2.2 探索活動(dòng)

問題2：一次函數(shù)y=-x+3圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)與二元一次方程x+y-3=0的解有什么關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)與二元一次方程的內(nèi)在聯(lián)系，即一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)就是二元一次方程的解；以二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在一次函數(shù)的圖象上.

師生活動(dòng)：

師：你描的是哪些點(diǎn)？

生：(0，3)，(3，0).

師：一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)與二元一次方程的解有什么關(guān)系？

生：一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)就是二元一次方程的解；以二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在一次函數(shù)的圖象上.

問題3：一次函數(shù)與一元一次方程有什么關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)與一元一次方程的內(nèi)在聯(lián)系，即當(dāng)其中一個(gè)變量的值確定時(shí)，可以由相應(yīng)的一元一次方程確定另一個(gè)變量的值.

師生活動(dòng)：

師：再描一個(gè)點(diǎn)，已知它的橫坐標(biāo)是4，你是如何確定它的縱坐標(biāo)的？

生：直接看圖象，縱坐標(biāo)是-1.

師：很好，同學(xué)們還有不同的方法嗎？

生：代入函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=-x+3求解，y=-1.

師：剛才通過(guò)兩種方式都得到了這個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo).反過(guò)來(lái)，再找一個(gè)點(diǎn)，已知它的縱坐標(biāo)是2，你又能得到什么？

生：這個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1，可以看圖，或者代入函數(shù)表達(dá)式求.

師：當(dāng)一次函數(shù)表達(dá)式中一個(gè)變量x或y確定時(shí)，它就變成了？

生：一元一次方程.

師：你覺得一次函數(shù)與一元一次方程有什么關(guān)系？

生：一次函數(shù)的表達(dá)式，當(dāng)其中一個(gè)變量的值確定時(shí)，可以由相應(yīng)的一元一次方程確定另一個(gè)變量的值.

問題4：一次函數(shù)與一元一次不等式有什么關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)與一元一次不等式的內(nèi)在聯(lián)系，即當(dāng)其中一個(gè)變量的取值范圍確定時(shí)，可以由相應(yīng)的一元一次不等式確定另一個(gè)變量的取值范圍.

師生活動(dòng)：

師：一次函數(shù)除了與方程有著密切聯(lián)系，從圖象中你還能讀出不等關(guān)系嗎？

生：當(dāng)y>0時(shí)，x<3.

師：你是怎么識(shí)圖的，能分享下經(jīng)驗(yàn)嗎？

生：當(dāng)y>0時(shí)，只要看圖象上x軸上方的部分，此時(shí)對(duì)應(yīng)的x<3.

師：類似的，請(qǐng)同學(xué)們嘗試寫出三個(gè)不同的不等關(guān)系.

圖2

師：除了讀圖，你還有不同的方法得到“當(dāng)y>0時(shí)，x<3”嗎？

生：可以直接回看一次函數(shù)表達(dá)式當(dāng)y>0時(shí)，也就是-x+3>0，解這個(gè)不等式.

師：你能說(shuō)說(shuō)一次函數(shù)與一元一次不等式有什么關(guān)系？

生：一次函數(shù)的表達(dá)式，當(dāng)其中一個(gè)變量的取值范圍確定時(shí)，可以由相應(yīng)的一元一次不等式確定另一個(gè)變量的取值范圍.

問題5：在原坐標(biāo)系中再畫一個(gè)函數(shù)y=2x的圖象，結(jié)合剛剛的研究?jī)?nèi)容，你能提出一個(gè)問題嗎？

追問1：如何求交點(diǎn)的坐標(biāo)？

追問2：求關(guān)于x的不等式-x+3>2x的解集.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是相應(yīng)二元一次方程組的解.兩個(gè)函數(shù)圖象聯(lián)系起來(lái)看，亦能看出不等關(guān)系.

師生活動(dòng)：

師：如何求交點(diǎn)的坐標(biāo)？

生：直接看圖象，交點(diǎn)的坐標(biāo)是(1，2).

師：你借助于圖象的直觀性，有同學(xué)利用不同的方式得到的嗎？

生：通過(guò)聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式，解方程組.

師：大家通過(guò)兩種方式得到了這個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，由此你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)，就是相應(yīng)的二元一次方程組的解.

師：還有同學(xué)有不同的問題提出嗎？

生：求等式-x+3>2x的解集.

生：我有兩種方法，第一種直接求解不等式，第二種從圖象上看，要滿足y1>y2，也就是看圖象上交點(diǎn)左邊的部分，此時(shí)的x<1.

師：通過(guò)上面兩個(gè)問題的研究，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：二元一次方程組和一元一次不等式，還可以借助于一次函數(shù)的圖象直接讀出結(jié)果.

2.3 拓展延伸

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生從形的角度發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)一次函數(shù)圖象平行時(shí)沒有交點(diǎn)，相應(yīng)的方程組無(wú)解.

師生活動(dòng)：

生：方程組無(wú)解，兩個(gè)函數(shù)的圖象平行，沒有交點(diǎn)，因?yàn)樗鼈兊膋值是一樣的.

問題7：求關(guān)于x的不等式-x+3>x2+1的解集.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生從多角度觀察式子，提煉多種解法和思考路徑.

師生活動(dòng)：

師：你有哪些方法解決呢？

生1：畫一次函數(shù)y=-x+3和二次函數(shù)y=x2+1的圖象，從圖象上看出解集.

生2：把這個(gè)不等式移項(xiàng)，整理得x2+x-2<0，畫二次函數(shù)y=x2+x-2的圖象，在x軸下方的圖象部分對(duì)應(yīng)x的值就是這個(gè)不等式的解集.

師：這個(gè)不等式，你想怎么命名？

生：一元二次不等式.

師：關(guān)于一元二次不等式，你還聯(lián)想到什么？你有新的解法嗎？

圖3

生：我想到了一元二次方程，可以對(duì)式子x2+x-2因式分解得(x-1)(x+2)，也就是(x-1)(x+2)<0，再根據(jù)異號(hào)兩數(shù)相乘得負(fù)，得到這兩個(gè)因式異號(hào)，分類討論求解.

2.4 小結(jié)思考

問題8：通過(guò)今天的學(xué)習(xí)與研究，你對(duì)函數(shù)、方程、不等式有哪些新的認(rèn)識(shí)？

追問：你還有新的問題提出嗎？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生從整體上歸納、概括“函數(shù)、方程、不等式”的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，進(jìn)一步體會(huì)到通過(guò)“讀圖”常常可以為解決有關(guān)方程、不等式的問題提供方便；函數(shù)的圖象直觀，便于從“形”的特征解決方程、不等式的問題；“函數(shù)”是函數(shù)、方程、不等式三者關(guān)系中的主干這些深刻思想.

師生活動(dòng)：

力爭(zhēng)給學(xué)生充分的時(shí)間和空間，思考與表達(dá)，再整合歸納、提煉升華.

3 幾點(diǎn)思考

3.1 主題遴選的整體意識(shí)

微專題的關(guān)鍵就是要選擇有代表性的研究主題，聚焦于一些核心素材，確立合適的教學(xué)目標(biāo)，通過(guò)設(shè)計(jì)有針對(duì)性的系列活動(dòng)，從整體上看待知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，旨在解決課堂教學(xué)中的一些典型問題.本專題正是基于以上考慮，抓住函數(shù)、方程、不等式三者之間一脈相承的關(guān)系，揭示知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)體系，實(shí)現(xiàn)其整體性和統(tǒng)一性.在教學(xué)過(guò)程中，突出了方法主線，不斷地通過(guò)“數(shù)”與“形”的雙向結(jié)合，讓學(xué)生切身感受“數(shù)形結(jié)合”思想，以及圖象解法的直觀性、代數(shù)解法的精準(zhǔn)性.正如華羅庚先生所言：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”，本專題在“數(shù)”與“形”方面的整體處理意識(shí)，有效地促進(jìn)了學(xué)生對(duì)知識(shí)方法的融會(huì)貫通.

3.2 問題設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)連貫

課堂順利展開的有效紐帶是問題，問題驅(qū)動(dòng)的動(dòng)力在于良好的問題結(jié)構(gòu)，即環(huán)環(huán)相扣的結(jié)構(gòu)性問題才能有效驅(qū)動(dòng)課堂活動(dòng)，誠(chéng)如波利亞所指出的“良好組織的問題能使所提供的素材容易用上”.本微專題正是以8個(gè)結(jié)構(gòu)性問題為驅(qū)動(dòng)，由淺入深，逐步遞進(jìn)，體現(xiàn)了思維的連貫性與發(fā)展性.在問題的展開過(guò)程中，注意課堂中的充分“留白”，給予學(xué)生充足的思考時(shí)間與空間，啟發(fā)學(xué)生從整體上看待知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，感受和諧統(tǒng)一的本質(zhì)特征.其中問題1由函數(shù)引入，問題2～4分別將函數(shù)與方程以及不等式的關(guān)系串聯(lián)起來(lái)，問題5通過(guò)再次引入一個(gè)函數(shù)圖象，啟發(fā)學(xué)生結(jié)合前面的研究經(jīng)驗(yàn)，自主提出問題，問題6～8則是在內(nèi)容拓展及深度思考上再加引導(dǎo).

3.3 思考延展的深度取向

教學(xué)生學(xué)會(huì)思考應(yīng)成為課堂教學(xué)的不懈追求，將知識(shí)的構(gòu)建、方法的形成、能力的發(fā)展在學(xué)生深度思考的場(chǎng)域內(nèi)自動(dòng)生成.陳省身先生曾言：“數(shù)學(xué)是自己思考的產(chǎn)物.”學(xué)生思維素養(yǎng)的提升，主要依靠教師啟迪、引導(dǎo)，激起學(xué)生自主探究的意識(shí)，而后自己及時(shí)反思、監(jiān)控的思考行為.本專題正是基于以上的思考，確立了“教學(xué)生學(xué)會(huì)思考”的教學(xué)宗旨，著力為學(xué)生搭建深度思考的平臺(tái)，幫助學(xué)生形成系統(tǒng)的知識(shí)和一般的數(shù)學(xué)研究方法.例如在核心問題的追問中，以及一些需要學(xué)生反思提問的活動(dòng)環(huán)節(jié)中，都有效地激起了學(xué)生深度思考的興致.

毋庸諱言，微專題的教學(xué)設(shè)計(jì)不同于新授課，新授課涵蓋的知識(shí)點(diǎn)或涉及的思想方法可能并不系統(tǒng)，而微專題恰好可以彌補(bǔ)這方面的缺憾，從整體上把握核心知識(shí)及重要方法，起到“見微知著”之效.本文的探索只是個(gè)人教學(xué)實(shí)踐中的“拙見”，后續(xù)尚有諸多問題有待探討和完善.