“二次函數回歸模型
——拋球入籃問題”的數學建模單元教學設計*

210003 南京師范大學附屬中學 管慧慧

一、 內容與內容解析

內容：建立生活情境中的二次函數回歸模型——對“拋球入籃問題”的建模研究.

內容解析：二次函數回歸模型是回歸模型概念的一個下位概念，是與線性回歸模型同級的概念，因此教學過程中要充分應用類比和化歸的研究方法.

從整體教學的理念出發(fā)進行單元式設計，落實新課標提出的跳出課時，更為整體地規(guī)劃學生核心素養(yǎng)的發(fā)展.教師對教材中具有內在關聯性的內容進行分析、重組、整合，形成相對完整的單元，以優(yōu)化教學效果，為學生深度學習創(chuàng)造機會.

本單元內容基礎來源于三個方面.蘇教版數學教材中，必修3介紹了兩個變量間的線性相關關系，包括畫散點圖、最小二乘思想、用最小二乘法求回歸直線方程等內容；選修2-3介紹了回歸分析的基本思想和方法；選修2-1介紹了利用導數求一元函數最值的方法.在此基礎上，學生在本單元進一步學習二次函數(非線性)回歸模型的建立方法.

學生將以自主實驗“根據拋球軌跡上的數據點預測拋球能否入籃”為載體，運用最小二乘思想，探尋二次函數回歸模型的數學表達式，并領會統(tǒng)計思想的應用價值，學習如何正確解讀模型的預測結果.學生將經歷數據收集和數學建模的全過程，豐富發(fā)現、提出、分析和解決問題的體驗，為將來開展其他主題的數學建?；顒臃e累經驗.在推導拋球軌跡回歸方程的過程中，突出數形結合、類比、函數與方程、化歸等思想，有利于學生進一步感悟數學思維的魅力和數學方法的靈活，提升數學應用意識和實踐能力.

因此，本單元的教學重點是通過體驗實際拋球問題的研究過程，學生理解二次函數回歸模型的基本思想和數學建模思想，發(fā)展在生活中發(fā)現、提出、分析和解決問題的能力.

二、 目標和目標解析

(1)結合真實體驗，實地測量數據，體會模型的現實含義，積累數學活動經驗，形成合作探究精神和觀察世界的數學眼光.

(2)建立適當的平面直角坐標系，根據位置點坐標，探求拋球軌跡的二次函數回歸方程的建立方法，即根據最小二乘思想,建立位置點橫縱坐標間的二次函數最佳擬合關系式.體會數學抽象和數形結合思想的重要性，學習用數學語言表達真實問題.

(3)通過固定變量法，將尋找“二次函數回歸方程系數的估計值”轉化成“含參二次函數求最小值問題”，類比一元函數求最值的方法求多元函數最值，得到二次函數回歸方程，體會化歸思想和類比思想.

(4)通過殘差圖及與實際拋球結果對比，判斷模型的預測效果，理解統(tǒng)計思想的應用和數學結論回歸現實的必要性，體會數學源于生活又服務于生活，鍛煉用數學思維思考世界.

三、 教學問題診斷分析

(1)學生已熟練掌握了待定系數法求二次函數的解析式，對生活中的拋球活動十分熟悉，但數據測量是難點，考驗數學應用能力和工具的巧妙運用.

(3)模型求解環(huán)節(jié)中，學生需要類比一元函數求導思想，可能需要教師提示，且計算量較大，需要Excel操作的自學能力.

本單元教學難點是數據的收集，以及用最小二乘法求一元二次函數回歸方程的基本思想.

四、 教學支持條件分析

學生借助攝像機、卷尺、長尺、三角板、網球、建筑外墻等完成拋球實驗，記錄相關數據，通過剪輯軟件、GeoGebra等對視頻和圖片進行后期處理，運用Excel輔助求解.學生已有的線性回歸知識和一元函數求導知識為本節(jié)課的教學提供了保證.

五、 教學過程設計

本單元分兩個課時進行(如圖1所示).

課時1：預測模型類型并討論合理性.小組合作實地拋球，視頻記錄并實地測量.課后對圖片和視頻做后期處理，形成“根據拋球軌跡上的數據點預測拋球能否入籃”的材料包，包含該次拋球“不完整”視頻、“完整”視頻和軌跡的位置點數據.

課時2：抽取一組材料包中的拋球“不完整”視頻和軌跡的位置點數據，學生通過建立二次函數回歸方程，預測該次拋球是否入籃，解決問題后回歸現實檢驗預測結果，并結合統(tǒng)計思想反思模型的應用與改進.

課時1 實際問題的數學模型抽象、數據收集

(一)形成模型假設，確定研究目標

問題1做拋球實驗時，球運動的軌跡是什么，怎么刻畫？

預設答案：根據物理知識，不計阻力的情況下，拋球運動的軌跡是一條拋物線，可用一元二次函數刻畫.

問題2實際拋球過程中，影響拋球軌跡的因素有哪些？

預設答案：出手速度、角度；考慮到拋球距離不大，阻力、測量誤差等實際存在，且不可忽略.

追問1這些因素中哪些是確定拋球軌跡所必須測量的？其他因素該怎樣處理？

預設答案：方法不同，測量的量也不同.坐標法需要測量球的一般位置坐標，或與x軸的交點坐標，或頂點坐標；參數法需要測量出手速度和角度.

摩擦力、風速等外力影響存在但難以測量，實驗中應盡量控制，使這些因素影響盡量小.

設計意圖：通過對函數圖像或軌跡類型和影響因素的探討，感知模型要素和適用條件，經歷模型準備環(huán)節(jié)(模型假設和變量確定).

追問2如果需要自己測量數據，確定拋球軌跡，你會怎樣設計測量方案，為什么？

預設答案：可設計比較精準的坐標測量體系，建立平面直角坐標系確定球的位置坐標，或用軟件處理圖片，輔助確定球運動時的位置坐標.測量出手速度和角度需要特殊工具，課堂實地測量較難實現.

追問3如何判斷球是否入籃，你會給出怎樣的判斷標準，為什么？

預設答案：對“入籃”進行定義.根據籃球投籃體驗，常見的入籃有“空心入籃”和“打板后入籃”，其中“打板后入籃”本質為在籃筐后立板的輔助作用下的入籃，拋球軌跡其實已發(fā)生改變.因此本實驗中將“入籃”定義為“空心入籃”，即拋球軌跡在入籃瞬間并未改變，球入籃筐內，且與邊緣無接觸.

圖1 “二次函數回歸模型——拋球入籃問題”的單元教學設計圖

對于“籃筐”的選取，根據所拋“球”的差異，選用不同“籃筐”.“籃球”小組選用標準籃筐；“高爾夫球”“網球”等小組，根據課堂實際取材的便利性，用“橫截面為圓形，半徑比所拋球半徑略大的筒狀物(如紙筒、塑料環(huán)等)”替代“籃筐”.

提出假設條件.因實際“拋球入籃”為空間問題，為方便測量，近似地認為(盡量控制)拋球軌跡與籃筐中心點在同一平面內，僅測量水平距離和豎直高度即可確定入籃位置.具體如下.

對于“高爾夫球”“網球”等小組，拋球前，將籃筐緊貼墻面(籃筐橫截面與墻面垂直)放置并固定.拋球時，實驗者將球貼近豎直墻面拋出，因實際實驗中拋球軌跡平面與墻面距離d1比球的半徑r1略小，籃筐半徑r2比球的半徑r1大一點，考慮邊緣厚度d2后，認為球的質心到墻面距離與籃筐(橫截面)中心到墻面距離近似相等，即r2+d2≈r1+d1，假設條件成立(如圖2所示).對于“籃球”小組，拋球時盡量保持球的質心與籃筐(上橫截面)中心在同一垂直于地面的平面內.

圖2 球與籃筐相對位置俯視示意圖

圖3 入籃俯視示意圖

提出入籃范圍的確定方法.測量籃筐邊緣厚度d2，球的半徑r1，籃筐半徑r2(如圖3所示)，水平距離、豎直高度等，根據本組拋球測量方案確定具體入籃坐標范圍.

設計意圖：探討方法的差異，統(tǒng)一課堂實驗中的數據獲取方法，便于學生參與，也利于課后自主調整方案.

(二)小組合作實驗，收集樣本數據

考慮到方案各異，且工序較復雜，拋球過程短，抓拍困難，成功實驗的挑戰(zhàn)很大，實驗以五人一組進行.學生做五組拋球體驗，小組討論后細化方案.

教師出示以下單元挑戰(zhàn)任務.

選擇本組認為最可行的方法，確定細致的測量和實施方案，完成一次拋球并以視頻記錄，課后剪輯該次拋球的“不完整”視頻，標注“確定拋球軌跡函數”的必要數據，給其他組同學出題：根據“不完整”視頻和數據，預測“球是否入籃”.解答完成后，出示該次拋球的“完整”視頻，共同分析預測結果及其原因.

設計意圖：學生需結合求二次函數的解析式所需的條件，綜合思考實驗方案，確保出題有效性.看似“出題”，實則“被考”.

問題3闡釋本組實驗和數據收集方案及確定該方案的原因.

預設答案：關于球的選取，考慮到獲取的難易、質心的確定、追蹤的難易、摩擦力等外力控制，各組經過多次實驗對比，認為質量較大、外形較小的球體對于確定球的運動軌跡更合適.多數組選擇高爾夫球或網球，也有組愿意用籃球嘗試，通過放大拋球距離，相對縮小測量誤差.

關于拋球方案，各組選擇的二次函數模型集中在一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a,b,c為參數)，以及頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k(a,h,k為參數)，x為水平距離(或相對水平距離)，y為豎直高度(或相對縱向距離).具體方案因數據點的位置和個數各異，大致分為以下三類.

方案1(頂點式模型y=a(x-h)2+k)：出手點和籃筐在同一高度，拋球并記錄過程，視頻抓取球的最高點位置坐標.

方案2(一般式模型y=ax2+bx+c)：自制坐標網格，直接追蹤拋球軌跡的位置點坐標(如圖4所示).

圖4 方案2示例

方案3(一般式模型y=ax2+bx+c)：通過后期圖片處理或追蹤軟件確定拋球軌跡的位置點坐標(如圖5所示).

圖5 方案3示例

追問對比這三種方案，最具代表性(可涵蓋其他方案知識點)的方案是哪個？

預設答案：方案1僅適于特殊情境的投籃問題，最高點位置難捕捉.方案2可收集到一般位置點的坐標，涵蓋方案1知識點，難點在于如何制作合適的坐標體系并精確測量坐標.方案3思想與方案2相似，難點在于后期編輯軟件和數學軟件的使用.方案2、方案3更具代表性.

學生建立坐標系收集數據.一組學生嘗試記錄拋球方案并根據建筑外墻輔助測量坐標和誤差(如圖6所示)，一組學生用Photoshop合成完整拋球路徑、用GeoGebra軟件對坐標進行精確定位(如圖7所示).

圖6

圖7

設計意圖：積累現實體驗，感受數據測量的難度和“模型是對現實問題的近似描述”的含義，為理解數學建模思想以及樣本與總體、隨機誤差、回歸方程等統(tǒng)計概念打下基礎.

課時2 數學模型的建立、求解、應用與反思

(三)實際問題“數學化”——建立回歸方程

多數小組選擇了方案2或方案3，本節(jié)課選擇一組學生的測量數據為例繼續(xù)研究.

問題4根據位置點坐標，如何確定“最能代表拋球軌跡”的二次函數？

預設答案：選取測量較精準的三個點坐標，代入二次函數一般式y(tǒng)=ax2+bx+c.

學生充分嘗試后產生困惑.測量誤差已控制到最小，為什么代入不同的三點坐標，得到的系數值差別很大?

追問1為什么同組學生運用相同坐標系，選擇同一次拋球軌跡上的不同三點，求得的二次函數表達式卻不相同？

預設答案：測量的是樣本位置點，因為存在誤差，這些點并不會完全落在所假設的拋物線上，而是落在那條曲線附近，所以用待定系數法求出的二次函數表達式不同.

追問2產生誤差的原因有哪些？

預設答案：誤差是隨機的，產生的原因較為復雜，可能有以下原因.(1)測量誤差.(2)圖像的保真誤差.(3)真實環(huán)境中的多種影響因素，如風阻、摩擦力、實驗時用質點近似球體等，選用二次函數模型近似還原拋球軌跡，本身也存在誤差.

追問3有了這些認識，怎樣確定“最能代表拋球軌跡”的二次函數？

預設答案：根據回歸分析知識，只能用二次函數回歸方程來近似表達拋球軌跡方程.所以不能僅取三點，而是要多取一些數據點，尋找“離這些點都近的那條拋物線”的二次函數方程.

設計意圖：學生體會到回歸模型的相關關系與函數模型的確定性關系有區(qū)別，隨機誤差客觀存在.

問題5怎樣用數學語言刻畫“離這些點都近的拋物線”？

追問1不妨將建立的這個新函數稱為評價函數，評價函數的自變量是什么？

追問2如何用評價函數刻畫拋球軌跡？

設計意圖：“模型抽象”以實現描述性語言的數學化，從實際情境進入數學世界，深入理解最小二乘思想.

(四)模型求解——求回歸方程

如果評價函數是一元函數，可利用導數求得函數的最小值.但評價函數是三元(變量)函數，且從結構上預判，直接展開求解計算量太大.

追問1(教師可提示性提問) 如果將其中一元(如a)看作自變量，固定其余兩個量(如b，c)，即將b，c看作參數，類比一元函數求導方法，我們可以得到怎樣的表達式？(視需要，教師也可引入偏導數的概念)

預設答案：

整理后得到一個關于a,b,c的方程組：

追問2現有一組同學的六個觀察數據點(20，8)，(90，60)，(120，68)，(150，65)，(170，60)，(180，55)，怎樣求“使評價函數取得最小值的a,b,c的值”？

預設答案：根據該組數據，n=6，得方程組

設計意圖：體會化歸思想，通過固定變量法解決多元二次函數求最值的難點，實現“模型求解”.

(五) 模型的應用與檢測——預測“拋球是否入籃”

問題7怎樣用所得函數預測“拋球是否入籃”？

預設答案：讀取該組同學提供的數據包.選用了高爾夫球，球半徑r1=2.2cm，籃筐設定在縱坐標為0處，籃筐內半徑r2=3.8cm, 籃筐邊緣厚度d2=1.2cm，得到“入籃”位置點的橫坐標范圍區(qū)間(243.4cm,246.6cm),數值落在區(qū)間內可判定“投中”.

設計意圖：思考如何運用模型進行實際預測，并體驗數學結論如何“回譯”到生活中.

問題8模型合理嗎？怎樣檢測？

預設答案：

(1)計算殘差，繪制殘差圖，觀察殘差圖發(fā)現本次預測合理(如圖8所示).

圖8

(2)觀察投球的實際結果，對比該次拋球的“完整”視頻，同樣發(fā)現預測正確.

設計意圖：通過統(tǒng)計結果分析和現實結果對照，經歷“模型檢測”，關注思維的嚴謹性.

(六)模型的反思與統(tǒng)計分析

預設答案：不一定.

設計意圖：再次反思回歸模型與函數模型的區(qū)別.

問題10怎樣選取數據點有利于得到合理的二次函數回歸方程？

預設答案：(1)考慮到統(tǒng)計取樣的有效預測范圍，數據點越接近籃筐位置越利于減少模型“外推”預測時的誤差.(2)盡量分散選取到不同位置的數據點.(3)數據點越多，求解時的計算量越大，適量選取代表性數據點即可.

追問用Excel對這六組數據直接進行二次函數擬合，能得到怎樣的回歸方程？

預設答案：操作后發(fā)現，與以上所得回歸方程一致(選擇合適的近似數位，如圖9所示).

圖9 Excel對六組數據的擬合結果

設計意圖：引發(fā)學生思考數據的選擇方式與模型預測效果優(yōu)劣的可能關聯，同時關注到運用軟件進行二次函數擬合時，所得計算結果背后的數學原理.

問題11有同學發(fā)現，如果用三次函數擬合給定數據點，r值更高，怎樣看待這個現象？

預設答案：判斷擬合效果時，除了考察統(tǒng)計指標值，更應該結合模型機理進行分析，不能憑借單一的統(tǒng)計量下結論.根據物理知識和公式推演，拋球軌跡近似符合一元二次函數，不能僅通過r值高低簡單推翻模型假設.

設計意圖：解決疑惑點，認識模型機理分析與統(tǒng)計分析結合的重要性，不能機械地理解統(tǒng)計指標.

六、 總結提升

問題12請從知識內容、思想方法等方面說說本單元的學習收獲.

預設答案：對于這一開放式問題，可著重總結以下幾點.

1.數據測量和數學建模的過程.

2．最小二乘思想求二次函數回歸方程的方法.

3.模型效果的檢測.

4.模型結果在實際情境中的解讀、統(tǒng)計思想的應用等.

設計意圖：回顧數學建模的一般過程，在實踐中落實數學核心素養(yǎng).

問題13如果時間充裕，研究“拋球入籃”問題時，你還會嘗試怎樣的不同方案？

預設答案：可嘗試不同的模型類型和收集數據的方式，如測量出手角度和初始速度，建立二次函數的參數式模型.

設計意圖：讓學生體會方法的可遷移性，探索同一問題的不同研究角度，同時意識到建模不是一次性的學習過程.

問題14本單元所學建模方法還可幫助你研究生活中哪些問題？

預設答案：運動會投擲的標槍、噴泉設計、炮彈的發(fā)射、飛車飛越海峽、火山噴出的巖漿、節(jié)日的煙花等.

設計意圖：探討模型在其他情境中運用的可能，為未來的學習和研究做準備.

七、 目標檢測設計

課時1作業(yè)對圖片和視頻做后期處理，形成“根據拋球軌跡上的數據點預測拋球能否入籃”的材料包，包含該次拋球“不完整”視頻、“完整”視頻和軌跡的位置點數據.

采用小組互評和教師課堂觀察相結合方式，從方案可行性、視頻及數據準確性、題目合理性、個人貢獻度等維度對提交的作業(yè)進行評分.

課時2作業(yè)及單元作業(yè)

1.如表1，請畫出以下四組數據的散點圖，用最小二乘法以函數型y=ax2+bx+c擬合，在平面直角坐標系中畫出擬合效果圖和殘差圖，并與運用Excel或圖形計算器所得的結果進行比對.

設計意圖：直接復現本單元最小二乘法求解二次函數及其殘差的方法，關注模型求解和分析.

2.完成一道來自其他組的題目，課堂交流展示選題理由、建模過程，或將成果制作成海報展示.

表1

設計意圖：延續(xù)課堂探討，充分尊重學生的探究成果，注重方案的多樣性和探究的自主性，個人探究與小組合作結合.

3.圖10展示了某地一座拱橋，請用本單元所學建模方法給出拱橋的最佳擬合曲線方程，并確定這座橋的最大通行高度，將成果寫成2000字左右的研究小論文.

圖10

設計意圖：從實際問題的模型抽象出發(fā)，完整復現本單元的建模過程，再次體會用數學模型解決生活問題的方法，同時培養(yǎng)學生數學建模小論文的撰寫能力.

八、 教學反思

(一)挑戰(zhàn)性的建模教學活動，讓學習變得自主

不少高中生的數學學習仍停留在以考點為導向的重復性訓練模式，亟需將其轉變?yōu)橐运仞B(yǎng)為導向的學習方式.數學建模具有“用數學解決實際問題”的特點.選擇貼合學生生活的素材合理設計教學，能幫助學生逐步建立自主思考的思維習慣，有利于數學核心素養(yǎng)的發(fā)展.

本單元建模活動中，無論是數據收集，還是“是否入籃”的判斷，解決的方案都不唯一，每一步均需細致考量，有時理論推導和實驗結果還會產生矛盾.這與解決教材、試卷中確定性問題的方法差異很大，學生在一個個具體環(huán)節(jié)中直觀感受到了認知沖突，進而促發(fā)自主思考，激活原有知識框架并不斷矯正認知偏差，獲取對“隨機誤差”“回歸方程”等抽象概念的深層理解，從“一個”問題上升到“一類”問題進行思考，在挑戰(zhàn)中體會到“學數學、用數學”的趣味.

(二)有探究張力的問題串，讓思考走向深入

數學建模教學涉及的知識較豐富，環(huán)節(jié)較為復雜，學生的經驗相對缺乏，需要教師設計“中心突出、有探究張力”的問題串進行策略引導.本單元通過14組問題串的討論，創(chuàng)造機會讓學生通過觀察生活、猜想、實驗，形成觀察世界的“數學眼光”.再通過“實際問題數學化”，學生經歷分析、類比、創(chuàng)造等一系列思維活動，學習用數學的語言表達世界.在“模型反思”環(huán)節(jié)，學生深入體會科學嚴謹的數學建模思想和統(tǒng)計思想，形成思考世界的“數學思維”.教師對關鍵點追問，讓學生逐步看清問題的癥結，實現思維突破.

(三)開放性的設計，讓發(fā)展呈現多元

開放性意味著學生可進行個性化設計，在小組合作中充分發(fā)揮自己優(yōu)勢，讓不同層級的學生都有問題可想，都有貢獻和收獲，都在自己原有水平上得到發(fā)展.單元作業(yè)中也考慮到學生的多樣化需求，分別設置基礎任務和挑戰(zhàn)性任務，評價時加入過程性評價，充分關聯學生的原有認知基礎和成長點.

(四)現代技術條件的支持，讓過程變得高效

充分利用現代技術可讓教學活動更加生動、高效.本單元的學習，學生對于技術支持條件下的探究活動表現出極大熱情，呈現出豐富而個性鮮明的實驗成果，為模型分析和反思奠定了堅實基礎.通過Excel和圖形計算器等處理復雜數據，節(jié)省了計算時間，提高了準確率，確保單元探究高效而中心突出.