函數(shù)性質(zhì)中的數(shù)學(xué)抽象在問題解決與設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

201299 上海市新川中學(xué) 姚志青

2017年版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》給出了普通高中數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)要求，包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析六個(gè)方面.數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個(gè)，即抽象、推理、模型，其中抽象是核心.數(shù)學(xué)抽象作為一種數(shù)學(xué)思想滲透在數(shù)學(xué)學(xué)科的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之中，筆者對(duì)如何在函數(shù)性質(zhì)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象以及如何應(yīng)用數(shù)學(xué)抽象進(jìn)行問題設(shè)計(jì)展開實(shí)踐與研究.

一、 數(shù)學(xué)抽象在函數(shù)性質(zhì)中的體現(xiàn)

函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)的一條主線，數(shù)學(xué)抽象在函數(shù)問題中的應(yīng)用非常廣泛，以2021年上海高考的數(shù)學(xué)壓軸題為例.

原題如果對(duì)于任意的x1,x2∈R，當(dāng)x1-x2∈S時(shí)，恒有f(x1)-f(x2)∈S成立，則稱f(x)是S關(guān)聯(lián).

(1)判斷并證明f(x)=2x-1是否是[0,+∞)關(guān)聯(lián)？是否是[0,1]關(guān)聯(lián)？

(2)已知f(x)是{3}關(guān)聯(lián)，且x∈[0,3)時(shí)，f(x)=x2-2x，解不等式2≤f(x)≤3.

(3)求證：“f(x)是{1}關(guān)聯(lián)，且是[0,+∞)關(guān)聯(lián)”的充要條件是“f(x)是[1,2]關(guān)聯(lián)”.

這個(gè)問題是一個(gè)函數(shù)的定義型問題，它定義了“f(x)是集合S關(guān)聯(lián)的概念”，通過函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用體現(xiàn)了其源于教材中的形式，需要將函數(shù)的性質(zhì)在文字語言、符號(hào)語言、圖像表述三個(gè)方面進(jìn)行內(nèi)化，以理解函數(shù)性質(zhì)的本質(zhì)特征.這個(gè)內(nèi)化的過程可以體現(xiàn)在數(shù)學(xué)抽象方面，所謂數(shù)學(xué)抽象就是能夠根據(jù)一類數(shù)學(xué)對(duì)象抽取或歸納出其本質(zhì)特征的思維過程.筆者結(jié)合上述具體的步驟，分析問題中涉及數(shù)學(xué)抽象的三個(gè)方面.

小問(1)解：由f(x)=2x-1，得f(x1)-f(x2)=2(x1-x2).

當(dāng)x1-x2∈[0，+∞)時(shí)，f(x1)-f(x2)∈[0,+∞)，所以f(x)是[0,+∞)關(guān)聯(lián)；當(dāng)x1-x2∈[0,1]時(shí)，f(x1)-f(x2)∈[0,2]，所以f(x)不是[0,1]關(guān)聯(lián).

(一)數(shù)學(xué)抽象需要類比抽象

由題中f(x1)-f(x2)的形式容易類比聯(lián)想到教材中的形式，在函數(shù)單調(diào)性中，通過f(x1)-f(x2)來作差比較f(x1)，f(x2)大小，從而確定f(x)的單調(diào)性.解題過程中“由f(x)=2x-1得到f(x1)-f(x2)=2(x1-x2)，則當(dāng)x1-x2∈[0，+∞)時(shí)，f(x1)-f(x2)∈[0,+∞)”的本質(zhì)就是“當(dāng)x1≥x2時(shí)，都有f(x1)≥f(x2)”，類比聯(lián)想到函數(shù)的單調(diào)遞增的性質(zhì)(非嚴(yán)格單調(diào))，所以可以通過類比的方法抽象得到f(x1),f(x2)的性質(zhì).類比抽象就是通過類比的方法抽象出數(shù)學(xué)對(duì)象的形式或性質(zhì)，它包括兩個(gè)方面，一個(gè)是類比，一個(gè)是抽象.類比本身是非常重要的數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)中的類比是基于對(duì)兩類數(shù)學(xué)對(duì)象的共性比較得出它們可能具有的其他形式或者性質(zhì)的方法.

小問(2)解：f(x)是{3}關(guān)聯(lián)，所以當(dāng)x1-x2=3時(shí)，恒有f(x1)-f(x2)=3成立.

由f(x1)-f(x2)=x1-x2，得f(x1)-x1=f(x2)-x2，令F(x)=f(x)-x，有F(x1)=F(x2)，得到F(x2+3)=F(x2)，即對(duì)任意x∈R，都有F(x+3)=F(x).

故F(x)是一個(gè)周期為3的函數(shù)，且x∈[0,3)時(shí)，F(xiàn)(x)=x2-3x.

圖1

(二)數(shù)學(xué)抽象需要表征抽象

表征抽象就是以數(shù)學(xué)對(duì)象的呈現(xiàn)特征抽象構(gòu)建出其形象化的特征結(jié)構(gòu).譬如由f(x1)-x1=f(x2)-x2的呈現(xiàn)特征，令F(x)=f(x)-x，為使f(x)-x的性質(zhì)表征更加明顯，需要抽象構(gòu)建出函數(shù).解不等式2-x≤F(x)≤3-x的過程中，代數(shù)方法解決不等式問題比較復(fù)雜，利用數(shù)形結(jié)合的思想，可以用幾何圖像解決不等式問題，作出F(x)=x2-3x，g(x)=2-x，h(x)=3-x的圖像滿足F(x)在g(x)，h(x)之間的部分.對(duì)于表征抽象而言，關(guān)鍵在于結(jié)構(gòu)特征的研究和歸納表述.對(duì)于同一個(gè)問題，表征抽象的觀察點(diǎn)不同，抽象得到的性質(zhì)特征也會(huì)不同，譬如上述“當(dāng)x1-x2=3時(shí)，恒有f(x1)-f(x2)=3成立”還可以抽象到“對(duì)任意的實(shí)數(shù)x∈R，恒有f(x+3)=f(x)+3成立”.

小問(3)解：

必要性：已知f(x)是{1}關(guān)聯(lián)，且是[0,+∞)關(guān)聯(lián)，

由f(x)是{1}關(guān)聯(lián)知f(x+1)-f(x)=1，即f(x+1)=f(x)+1，

由f(x)是[0,+∞)關(guān)聯(lián),可知對(duì)任意x1-x2≥0，都有f(x1)-f(x2)≥0，即x1≥x2時(shí)，都有f(x1)≥f(x2)，所以，當(dāng)x1-x2≥1時(shí),x1≥x2+1,f(x1)≥f(x2+1),則有f(x1)≥f(x2)+1，f(x1)-f(x2)≥1.

當(dāng)x1-x2≤2時(shí)，x1≤x2+2，有f(x1)≤f(x2+2)，則f(x1)≤f(x2+1)+1=f(x2)+2，f(x1)-f(x2)≤2.

因此，當(dāng)x1-x2∈[1,2]時(shí)，都有f(x1)-f(x2)∈[1,2]，即f(x)是[1,2]關(guān)聯(lián).

(三)數(shù)學(xué)抽象需要強(qiáng)、弱抽象

上述解題過程中將“f(x)是{1}關(guān)聯(lián)推出對(duì)任意的x1-x2=1，都有f(x1)-f(x2)=1”理解為當(dāng)自變量相差1的時(shí)候都有相應(yīng)的函數(shù)值也相差1，這樣的表述雖然弱化了對(duì)于定義描述的嚴(yán)謹(jǐn)性，但便于記憶表述.在應(yīng)用過程中，又可以進(jìn)一步加強(qiáng)為“對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，都有f(x+1)-f(x)=1”，這樣的描述是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模冶阌诶斫獗硎?在概念教學(xué)中，數(shù)學(xué)抽象需要體現(xiàn)出不拘于形式的內(nèi)化理解，這個(gè)內(nèi)化理解根據(jù)實(shí)際情況的需要可以對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行弱化或強(qiáng)化的表述，也就是強(qiáng)抽象和弱抽象.滬教版新教材中關(guān)于增函數(shù)的定義為：“對(duì)于定義在D上的函數(shù)y=f(x)，設(shè)區(qū)間I是D的一個(gè)子集，對(duì)于區(qū)間I上的任意給定的兩個(gè)自變量的值x1,x2，當(dāng)x10都有f(x+ε)>f(x)成立，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上為嚴(yán)格增函數(shù)”.用強(qiáng)抽象可以將上述圖形特征抽象為“函數(shù)f(x)圖像上的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，都有右邊的點(diǎn)高于左邊的點(diǎn)，則函數(shù)f(x)圖像為嚴(yán)格增函數(shù)圖像”.強(qiáng)抽象即通過在原型中引入新特征，使原型內(nèi)涵增加，結(jié)構(gòu)變強(qiáng)，從數(shù)學(xué)對(duì)象的關(guān)鍵屬性或特征中強(qiáng)化其特征屬性.

二、 應(yīng)用數(shù)學(xué)抽象進(jìn)行問題設(shè)計(jì)

從顯性來看，數(shù)學(xué)抽象是學(xué)生在觀察、思考、表達(dá)三個(gè)方面的能力，通過數(shù)學(xué)抽象進(jìn)行問題設(shè)計(jì)是幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)問題解決和提升數(shù)學(xué)抽象能力的有效途徑.在高三函數(shù)性質(zhì)的復(fù)習(xí)課中，根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求，筆者對(duì)如何通過數(shù)學(xué)抽象進(jìn)行問題設(shè)計(jì)展開教學(xué)實(shí)踐的研究和分析(如圖2所示).

圖2

問題設(shè)計(jì)1對(duì)于任意的x1,x2∈R，當(dāng)x1-x2∈S時(shí)，恒有f(x1)-f(x2)∈S成立，則稱f(x)是S關(guān)聯(lián).求證:如果f(x)是{1}關(guān)聯(lián)，那么f(x)是{2}關(guān)聯(lián).

解題反饋1學(xué)生解題情況統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，參加解題的十位學(xué)生都不能給出完整的證明過程，但是證明過程中的第一步基本都能表述出來，即寫到如下證明步驟后證明思路就戛然而止.

解：由f(x)是{1}關(guān)聯(lián)，則對(duì)任意的x1,x2∈R，當(dāng)x1-x2=1時(shí)，都有f(x1)-f(x2)=1.

解題難點(diǎn)分析：由“對(duì)任意的x1,x2∈R，當(dāng)x1-x2=1時(shí)，都有f(x1)-f(x2)=1”推理得到“對(duì)任意的x1,x2∈R，當(dāng)x1-x2=2時(shí)，都有f(x1)-f(x2)=2”的邏輯關(guān)系缺乏直觀想象，而且推出關(guān)系的表述存在較大困難.在教材中，經(jīng)常用一個(gè)變量x的特征形式來表示函數(shù)f(x)的性質(zhì)，學(xué)生對(duì)于理解x1-x2=1中兩個(gè)變量x1,x2之間的關(guān)系存在一定的困難.

難點(diǎn)突破策略：通過數(shù)學(xué)抽象，在保持函數(shù)性質(zhì)不變的前提下，可以將問題抽象轉(zhuǎn)化為熟悉的形式.譬如，將“對(duì)任意的x1-x2=1，都有f(x1)-f(x2)=1”進(jìn)行適當(dāng)?shù)膹?qiáng)、弱抽象.通過弱抽象表述為“當(dāng)自變量增大1個(gè)單位時(shí)，函數(shù)值增大1個(gè)單位”，通過強(qiáng)抽象表述為“對(duì)任意的x∈R,都有f(x+1)-f(x)=1”.通過數(shù)學(xué)抽象之后，將問題進(jìn)行再設(shè)計(jì).

問題設(shè)計(jì)2對(duì)于任意的x1,x2∈R，當(dāng)x1-x2∈S時(shí)，恒有f(x1)-f(x2)∈S成立，則稱f(x)是S關(guān)聯(lián).

(1)求證：如果f(x)是{1}關(guān)聯(lián)，那么對(duì)任意的x∈R，都有f(x+1)-f(x)=1.

(2)求證：如果f(x)是{1}關(guān)聯(lián)，那么f(x)是{2}關(guān)聯(lián).

解題反饋2學(xué)生解題情況統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，參加解題的十位學(xué)生都能完成小問(1)的證明，完成小問(2)證明的學(xué)生只有五位.對(duì)比問題設(shè)計(jì)1中的解題情況反饋，通過數(shù)學(xué)抽象得到“任意的x∈R，都有f(x+1)-f(x)=1”的形式后，學(xué)生可以明顯體會(huì)到數(shù)學(xué)抽象的思想和方法，由表征抽象將“f(x1),f(x2)的關(guān)系”抽象到“f(x+1),f(x)的關(guān)系”.對(duì)于小問(2)，有五位學(xué)生能夠獨(dú)立應(yīng)用表征抽象將“f(x1),f(x2)的關(guān)系”抽象到“f(x+2),f(x)的關(guān)系”后得到f(x)是{2}的關(guān)聯(lián)，這五位學(xué)生在這個(gè)問題中表現(xiàn)出已經(jīng)逐步達(dá)到了應(yīng)用數(shù)學(xué)抽象解決問題的素養(yǎng)要求.完成全部證明過程學(xué)生的解題過程歸納如下.

小問(1)解：由f(x)是{1}關(guān)聯(lián)，則對(duì)任意的x1,x2∈R，當(dāng)x1-x2=1時(shí)，都有f(x1)-f(x2)=1.由x1-x2=1，得x1=x2+1，代入f(x1)-f(x2)=1得f(x2+1)-f(x2)=1，故f(x2+1)=f(x2)+1，即f(x+1)-f(x)=1.

小問(2)解：由小問(1)得對(duì)任意的x∈R,都有f(x+1)-f(x)=1，同理f(x+2)-f(x+1)=1，上述兩式相加得f(x+2)-f(x)=2，即f(x)是{2}關(guān)聯(lián).

解題難點(diǎn)分析：小問(2)中，“f(x)是{2}關(guān)聯(lián)”的充要條件為“對(duì)任意的x1,x2∈R，當(dāng)x1-x2=2時(shí)，都有f(x1)-f(x2)=2”，需要繼續(xù)通過數(shù)學(xué)抽象表述為“對(duì)任意的x∈R，都有f(x+2)-f(x)=2”，數(shù)學(xué)抽象是邏輯推理和表述過程的前提.

難點(diǎn)突破策略：通過數(shù)學(xué)抽象的表征抽象將“f(x)是{2}關(guān)聯(lián)”抽象為“f(x+2)-f(x)=2”.

問題設(shè)計(jì)3對(duì)于任意的x1,x2∈R，當(dāng)x1-x2∈S時(shí)，恒有f(x1)-f(x2)∈S成立，則稱f(x)是S關(guān)聯(lián).

(1)求證：如果f(x)是{1}關(guān)聯(lián)，那么對(duì)任意的x∈R，都有f(x+1)-f(x)=1.

(2)如果任意的x∈R，都有f(x+1)-f(x)=1，求證：f(x+2)-f(x)=2.

(3)求證：如果f(x)是{1}關(guān)聯(lián)，那么f(x)是N*關(guān)聯(lián).

解題反饋3問題設(shè)計(jì)3中的小問(2)是主要針對(duì)在問題設(shè)計(jì)2中沒能完成解答的五位學(xué)生進(jìn)行的教學(xué)對(duì)比實(shí)驗(yàn)，其主要變化是將原先的條件“f(x)是{2}關(guān)聯(lián)”替換為“f(x+2)-f(x)=2”.統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示這五位學(xué)生對(duì)小問(2)都給出了正確的證明，還有學(xué)生對(duì)小問(3)進(jìn)行了嘗試證明.對(duì)小問(3)的解題過程歸納如下.

小問(3)解：由f(x)是{1}關(guān)聯(lián)，可知對(duì)任意的x∈R，都有f(x+1)-f(x)=1，f(x+1)=f(x)+1，所以對(duì)n∈N*，有f(x+n)=f(x+n-1)+1=f(x+n-2)+2=…=f(x)+n，即f(x+n)-f(x)=n，所以f(x)是N*關(guān)聯(lián).

解題難點(diǎn)分析：小問(3)的問題設(shè)計(jì)是由“f(x)是{1}關(guān)聯(lián)”的特征類比抽象到“f(x)是{2}關(guān)聯(lián)”，進(jìn)而由特殊到一般的思想，繼續(xù)通過類比抽象得到問題“f(x)是N*關(guān)聯(lián)”.由問題中的數(shù)字運(yùn)算拓展到字母運(yùn)算，其難點(diǎn)在于邏輯關(guān)系的導(dǎo)出與描述.

難點(diǎn)突破策略：通過由“f(x)是{1}關(guān)聯(lián)”推理出“f(x)是{2}關(guān)聯(lián)”的邏輯關(guān)系，不難得出“f(x)是{3}關(guān)聯(lián)，{4}關(guān)聯(lián)……”類比這樣的遞推關(guān)系，可以聯(lián)系到數(shù)列中的遞推關(guān)系，因此可以通過類比抽象的思想，應(yīng)用數(shù)列中遞推關(guān)系的表述方法來證明f(x)是N*關(guān)聯(lián).

在函數(shù)的性質(zhì)中，函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性等性質(zhì)都可以嘗試通過數(shù)學(xué)抽象達(dá)到理解內(nèi)化的過程.以函數(shù)的奇偶性為例，關(guān)于偶函數(shù)定義中“對(duì)于任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)”的理解，通過弱抽象可以表述為“定義域內(nèi)的任意兩個(gè)互為相反數(shù)的自變量，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等”，通過強(qiáng)抽象可以表述為“對(duì)于任意的x1,x2∈D，當(dāng)x1+x2=0時(shí)，都有f(x1)=f(x2)”，這種抽象到x1,x2來定義的形式，可以與函數(shù)單調(diào)性的定義形式統(tǒng)一起來.用相同的x1,x2來定義不同的函數(shù)性質(zhì)可以幫助學(xué)生體會(huì)這些性質(zhì)的共性以及本質(zhì)特征，啟發(fā)學(xué)生的抽象思維.函數(shù)的性質(zhì)本質(zhì)上是由自變量和因變量的變化特征所體現(xiàn)出來，所以在表征抽象之后可以通過弱抽象幫助學(xué)生理解函數(shù)的本質(zhì)，通過強(qiáng)抽象幫助學(xué)生用不同方式嚴(yán)謹(jǐn)而準(zhǔn)確地表述函數(shù)性質(zhì).學(xué)生對(duì)于學(xué)習(xí)內(nèi)容掌握的關(guān)鍵在于能夠?qū)⑺芯康臄?shù)學(xué)對(duì)象抽象到能夠理解內(nèi)化的文字語言、符號(hào)語言和圖像語言.關(guān)于數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模，史寧中教授給出這樣的理解：通過抽象，在現(xiàn)實(shí)生活中得到數(shù)學(xué)的概念和運(yùn)算法則，通過推理得到數(shù)學(xué)的發(fā)展，然后通過模型建立數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系.可以看出，無論是由現(xiàn)實(shí)生活到數(shù)學(xué)概念的抽象，還是在數(shù)學(xué)問題解決過程中的數(shù)學(xué)抽象思維，都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象作為數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心價(jià)值.