一種具有動態(tài)磁負剛度薄膜聲學(xué)超材料的低頻隔聲特性*

胥強榮 朱洋 林康 沈承? 盧天健?

1)(南京航空航天大學(xué),機械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點實驗室,南京 210016)

2)(南京航空航天大學(xué),多功能輕量化材料與結(jié)構(gòu)工信部重點實驗室,南京 210016)

為提升薄膜/板狀結(jié)構(gòu)的低頻隔聲特性,本文提出一種具有動態(tài)磁負剛度的新型準(zhǔn)零剛度薄膜聲學(xué)超材料.首先,應(yīng)用等效磁荷理論推導(dǎo)了動態(tài)磁負剛度;然后,基于伽遼金法建立了有限尺寸下薄膜/板結(jié)構(gòu)的隔聲理論模型.通過理論分析、數(shù)值仿真及實驗測試相結(jié)合的方法,從結(jié)構(gòu)模態(tài)、振動模式、平均速度、相位曲線、等效質(zhì)量密度和等效彈簧-質(zhì)量動力學(xué)模型等多個角度對其低頻(1-1000 Hz)隔聲機理開展了研究.結(jié)果表明:在初始薄膜張力一定時,減小磁間隙或增大剩余磁通密度均可增大動態(tài)磁負剛度,進而減小隔聲峰值頻率,增加隔聲帶寬,實現(xiàn)了較寬頻段下的有效低頻隔聲;進一步,當(dāng)磁間隙大于第二臨界磁間隙小于第一臨界磁間隙時,結(jié)構(gòu)的一階模態(tài)共振消失,對應(yīng)隔聲谷值大幅提升,顯示出超寬頻段的隔聲效果.這種利用動態(tài)磁負剛度改善模態(tài)共振導(dǎo)致的低頻隔聲谷值的方法對薄膜/板型低頻隔聲超材料的設(shè)計具有重要的理論指導(dǎo)價值.

1 引言

中高頻噪聲一般可利用吸音棉、穿孔板等結(jié)構(gòu)吸收控制,技術(shù)較為成熟[1,2],但低頻噪聲(20-400 Hz)的穿透能力強,難以衰減,一直是工程界的瓶頸難題.近年來,聲學(xué)超材料[3](或超構(gòu)材料)的提出和不斷發(fā)展為低頻噪聲控制提供了新的解決思路.作為一種基于微結(jié)構(gòu)思想設(shè)計的人工材料,聲學(xué)超材料相較于普通天然材料具有顯著不同的物理特性,包括聲波的完美吸收[4]、負折射和聲聚焦[5]、超透鏡[6]、聲隱身[7]等,有望在航空航天、國防等領(lǐng)域?qū)崿F(xiàn)重要應(yīng)用.

針對噪聲控制,一般基于局域共振[8]和Bragg散射[9]這兩大類物理機理構(gòu)建聲學(xué)超材料.Bragg散射要求結(jié)構(gòu)尺寸和所控制的波長在同一數(shù)量級,僅適用于高頻情況;局域共振型結(jié)構(gòu)具有亞波長尺度特性,可實現(xiàn)以小尺寸控制大波長,并突破天然材料質(zhì)量定律的限制,故對低頻噪聲控制有更重要的應(yīng)用價值.

按照結(jié)構(gòu)形式,局域共振型聲學(xué)超材料主要分為四類.一是Helmholtz 共振腔型[10],利用頸部空氣腔的振動特性實現(xiàn)在特定頻率下的聲波調(diào)控,其結(jié)構(gòu)設(shè)計簡單、應(yīng)用廣泛,但吸隔聲帶寬較窄,在實際工程應(yīng)用中,往往需要與穿孔板、多孔材料組合使用或基于多頻共振機理布置多頻諧振腔.Nguyen 等[11]基于緊湊組裝縫式亥姆赫茲諧振器設(shè)計了一種用于同時兼顧低頻寬頻隔聲和通風(fēng)特性的亞波長消聲器,通過理論和實驗發(fā)現(xiàn)在目標(biāo)工作頻帶480-950 Hz 達到30 dB 以上的傳輸損失.二是薄膜/薄板型[12],利用薄膜/薄板的振動特性,通過增加局域共振子結(jié)構(gòu)實現(xiàn)聲波的全反射或全吸收.Xiao 等[13]通過在薄板上周期性附加局域共振子,構(gòu)造了一種板狀聲學(xué)超材料,發(fā)現(xiàn)在低頻范圍具有超乎尋常的隔聲效果;此外,還發(fā)現(xiàn)調(diào)制局域工作頻率至吻合效應(yīng)區(qū),還可大幅提升吻合效應(yīng)區(qū)的隔聲量.三是折疊卷曲空間型[14],利用延伸壁面的摩擦阻力、流道變化引起的相位變化及腔體共振等特性,實現(xiàn)低頻聲波調(diào)控.Zhao 等[15]提出了一種具有良好通風(fēng)和厚度小的寬頻隔聲分形聲學(xué)超材料,發(fā)現(xiàn)在反共振頻率附近具有較高的反射系數(shù)導(dǎo)致較高的傳輸損耗;同時,隨著分形階數(shù)的增加,隔聲頻帶增加,低頻隔聲顯著.四是組合型[16],即上述結(jié)構(gòu)的組合,利用耦合作用機理增大吸隔聲帶寬.Lin 等[17]在傳統(tǒng)夾層結(jié)構(gòu)的面板上開孔并內(nèi)插板狀聲學(xué)超材料,提出了一種復(fù)合共振夾層聲學(xué)超材料,相比于傳統(tǒng)的夾層結(jié)構(gòu),這種共振耦合具有更寬的隔聲頻帶.薄膜/薄板型聲學(xué)超材料具有結(jié)構(gòu)簡單、重量輕、經(jīng)濟廉價、制備容易等特性,且在低頻工作區(qū)間具有超常的隔聲效果,故得到廣泛關(guān)注[18-22].

薄膜型聲學(xué)超材料的雛形可追溯到2008 年Yang 等[23]提出的由彈性膜、附加質(zhì)量和固定彈性膜的支撐框架組成的二維二組元結(jié)構(gòu): 200-300 Hz頻段內(nèi),入射此結(jié)構(gòu)的聲波幾乎被全反射,且整個結(jié)構(gòu)具有負的等效質(zhì)量密度,成功證明采用毫米厚度的輕薄結(jié)構(gòu)可在低頻段實現(xiàn)顯著隔聲,為低頻降噪提供了全新的解決思路.2012 年,基于前人研究,Mei 等[4]提出一種在低頻段具有寬頻超強吸聲性能的暗聲學(xué)超材料,將薄膜型聲學(xué)超材料拓展到吸聲領(lǐng)域.2020 年,Lu 等[24]研究了附加質(zhì)量塊的形狀和位置對隔聲性能的影響,結(jié)果發(fā)現(xiàn)通過優(yōu)化設(shè)計,可實現(xiàn)在隔聲頻段的拓展.2021 年,Li 等[25]在薄膜上貼敷鐵片并在外側(cè)布置磁鐵,通過調(diào)節(jié)磁鐵與鐵片之間距離實現(xiàn)薄膜張力的調(diào)控,進而實現(xiàn)任意頻率下的良好隔聲.總體而言,以薄膜附加質(zhì)量塊構(gòu)建薄膜型聲學(xué)超材料,雖可利用反共振機理實現(xiàn)低頻超高隔聲,但隔聲效果和隔聲帶寬強烈依賴于膜結(jié)構(gòu)的預(yù)張力及附加質(zhì)量: 張力越小,反共振頻率越小,作用區(qū)間隔聲量和隔聲帶寬越小;附加質(zhì)量越大,反共振頻率越小,作用區(qū)間隔聲量和隔聲帶寬越大.

針對薄膜型聲學(xué)超材料在低頻隔聲不顯著的缺點,He 等[26]設(shè)計了一種附加質(zhì)量的薄膜底面Helmholtz 腔隔聲結(jié)構(gòu),基于有限元法評估了在20-1200 Hz 頻段內(nèi)的傳輸損失,發(fā)現(xiàn)其低頻隔聲效果相較于單一的Helmholtz 腔和薄膜聲學(xué)超材料更好,但隔聲帶寬依然較窄.針對單個隔聲峰、帶寬窄等不足,Naify 等[27]提出具有附加環(huán)質(zhì)量的薄膜型聲學(xué)超材料,通過在單個單元上布置多個環(huán)形質(zhì)量塊陣列的方式,實現(xiàn)了多峰隔聲;但這種結(jié)構(gòu)由于模態(tài)共振產(chǎn)生了離散的隔聲波谷,且單個隔聲帶寬仍不夠顯著.因此,有必要探索新的物理機制,進一步改善傳統(tǒng)薄膜聲學(xué)超材料在有限尺寸下的低頻隔聲性能.

隔聲和隔振在物理本質(zhì)上具有一定的相似性,故隔振領(lǐng)域的相關(guān)研究成果也許可成為解決低頻隔聲難題的靈感源泉.事實上,低頻隔振也一直是工程界重點關(guān)注的老大難問題.目前,非線性準(zhǔn)零剛度隔振器已成為隔振領(lǐng)域的研究熱點,其基本思想是通過正負剛度機構(gòu)并聯(lián),使組合剛度在靜態(tài)足夠大、動態(tài)足夠小,即具有“高靜低動”的特性,進而實現(xiàn)近似零頻的隔振效果,具有顯著的工程應(yīng)用價值.負剛度結(jié)構(gòu)設(shè)計是構(gòu)建準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)的核心.目前,“屈曲梁系統(tǒng)”[28]、“傾斜彈簧系統(tǒng)”[29]和“磁負剛度系統(tǒng)”等[30]是實現(xiàn)負剛度的主要形式.如何借鑒準(zhǔn)零剛度隔振器的設(shè)計思想,構(gòu)建新型隔聲結(jié)構(gòu)實現(xiàn)更好的低頻隔聲效果,是一個有趣且有重要工程應(yīng)用價值的問題.

本課題組首次利用傾斜彈簧將準(zhǔn)零剛度概念引入隔聲領(lǐng)域,提出一種準(zhǔn)零剛度薄板型聲學(xué)超材料[31],實現(xiàn)了較好的低頻寬帶隔聲性能.有別于前文的尺寸無限大假設(shè)、傾斜彈簧及局域振子設(shè)計方案[31],本文基于動態(tài)磁負剛度結(jié)構(gòu),提出一種新型準(zhǔn)零剛度薄膜型聲學(xué)超材料,通過理論、仿真和實驗相結(jié)合的研究方法,對其在有限尺寸下的低頻調(diào)控機制和大寬帶隔聲機理進行分析和討論,為反射型薄膜聲學(xué)超材料提供新的設(shè)計方法和理念.

2 模型建立

2.1 準(zhǔn)零剛度薄膜聲學(xué)超材料

圖1 給出了準(zhǔn)零剛度薄膜型聲學(xué)超材料(quasi zero stiffness membrane acoustic metamaterial,QZSMAMM)的單元結(jié)構(gòu),其中圖1(a)為單胞模型,主要由中心貼敷圓柱形磁鐵A 的矩形薄膜、起支撐作用的框架、外磁鐵B 和C 三部分組成;其中,B 和C 通過螺柱固定于支撐框架.由于框架自身的彎曲剛度遠高于薄膜結(jié)構(gòu),理論建模中假設(shè)其為剛性體,薄膜的邊界約束近似為固定.圖1(b)為結(jié)構(gòu)xoy中面圖,深色區(qū)為膠粘于框架的薄膜,淺色區(qū)為懸空薄膜;圖1(c)為結(jié)構(gòu)yoz中面圖,中空部分為空氣;圖1(d)為結(jié)構(gòu)的簡化模型,鑒于薄膜位移較小,磁鐵B 和C 對磁鐵A 的作用簡化為具有線性剛度的彈簧,稱其為磁力彈簧.

QZSMAMM 結(jié)構(gòu)的相關(guān)參數(shù)如下: 懸空薄膜的邊緣長度Lx=Ly=40 mm,彈性膜厚度t=0.2 mm,面密度ρmem=0.24 kg/m2;三個圓柱形磁鐵的半徑rA=rB=rC=3 mm,厚度t1=2 mm,質(zhì)量mA=mB=mC=441 mg,面密度ρmag=15.6 kg/m2.靜平衡位置,三個磁鐵沿厚度方向充磁且N 極均朝z方向,B,C 與A 的質(zhì)心間距(簡稱: 磁間隙)為H=4 mm,A 受到的初始磁力為零,其重力由薄膜張力承載,假設(shè)薄膜的初始張力為T=500 N/m.

2.2 動態(tài)磁負剛度

計算兩磁體之間相互作用時,可采用有限元、分子電流模型、等效磁荷法等多種方法.本文采用Akoun 和Yonnet[32]結(jié)合等效磁荷理論給出的矩形磁鐵之間作用力的解析模型.根據(jù)圖1 所示模型,將圓柱形磁鐵等效為等面密度的矩形磁鐵,邊長為lx=ly=,磁鐵A,B 和C 的尺寸為lx×ly×t1,B 和C 與支撐框架固定不動,聲振耦合下A 只在z方向受到擾動,故A 只受到B 和C 在z方向的合力:

圖1 準(zhǔn)零剛度薄膜聲學(xué)超材料結(jié)構(gòu)(a)單胞模型;(b)xoy 中面圖;(c)yoz 中面圖;(d)簡化模型Fig.1.Unit cell of quasi-zero stiffness membrane acoustic metamaterial(QZSMAMM):(a)Schematic of unit cell;(b)xoy mid-plane view;(c)yoz mid-plane view;(d)simplified model.

圖2 給出兩矩形磁體的磁力計算模型,沿z方向的磁力分量為

圖2 矩形磁鐵的磁荷模型示意圖Fig.2.Schematic of the magnetic charge model for a cuboidal magnet.

式中,μ0=4π×10-7是真空磁導(dǎo)率;J'和J分別為上下磁體的極化強度(磁表面曲率為零時,J和剩余磁通密度Br相等);Φ函數(shù)的定義為

其中U,V,W,r定義為

(x0,y0,z0)為兩磁體質(zhì)心的相對坐標(biāo).根據(jù)圖1 所示幾何模型,其質(zhì)心相對坐標(biāo)為(0,0,H)和(0,0,-H),磁鐵的邊長a＇=a=lx/2,b＇=b=ly/2,c＇=c=t1/2.

根據(jù)(1)式,對其關(guān)于z求負導(dǎo)數(shù)得k==K(z-H)+K(z+H),其中的磁力剛度K為

(5)式表明磁力剛度主要與磁體的幾何尺寸、磁間隙、表面極化強度和方向有關(guān),對于本文的理論模型,極化方向決定磁力剛度的正負,同向極化(磁體A 受磁體B,C 為吸力)為負剛度,反向極化(磁體A 受磁體B,C 為斥力)為正剛度.由于各參數(shù)對磁力剛度的影響具有類似性,其他參數(shù)不變情況下,本文僅討論磁間隙和剩余磁通密度對磁力剛度的影響.圖3(a)和圖3(b)分別給出了同向極化下,變表面剩余磁通密度和變磁間隙對磁力剛度的影響,其中實線為等面密度矩形磁鐵由(5)式計算的理論值,虛線為圓柱形磁鐵的有限元數(shù)值模擬值,兩者吻合較好,表明計算磁力剛度時可將其等效為等面密度的矩形磁鐵,同時表明增大表面剩余磁通密度和減小磁間隙均能增大負剛度值.此外,本文假設(shè)聲波為小擾動簡諧波,在其激勵下磁體A位移很小,因此在動態(tài)變形過程中磁力剛度變化極小,故可取平衡位置處磁力剛度進行計算,并忽略其非線性[33].

圖3 (a)磁間隙保持不變(H=4.0 mm),磁力負剛度隨剩余磁通密度的變化;(b)剩余磁通密度保持不變(Br=1.0 T),磁力負剛度隨磁間隙的變化Fig.3.(a)Variation of negative magnetic stiffness with residual flux density at H=4.0 mm;(b)variation of negative magnetic stiffness with magnetic gap at Br=1.0 T.

2.3 隔聲理論

如圖1(d)所示,QZSMAMM 單元結(jié)構(gòu)可簡化為帶有受動態(tài)磁負剛度彈簧作用的附加質(zhì)量的張緊薄膜.基于經(jīng)典薄膜振動理論[34],QZSMAMM單元結(jié)構(gòu)在聲波激勵下的運動方程為

其中w(x,y,t)是薄膜在位置(x,y)處隨時間的z方向撓度;(x0,y0)是等面密度矩形磁鐵左下角位置的坐標(biāo),?2=為笛卡爾坐標(biāo)系下的拉普拉斯算子;Kmag為磁負剛度.

P-和P+分別是薄膜上下側(cè)的聲壓,假設(shè)平面入射聲波的入射角為θ,方位角為φ,考慮到本文固定邊界條件對膜結(jié)構(gòu)振動的影響,將反射聲壓和透射聲壓表示為模態(tài)級數(shù)形式,其表示為

式中p0為入射聲壓幅值;φmn為薄膜的振型函數(shù);βmn和εmn為反射聲波和透射聲波的聲壓幅值系數(shù);ω為聲波角頻率;kx,ky,kz為x,y,z方向的波數(shù)分量,分別為

其中k0=ω/c0為空氣中的聲波波數(shù),c0為聲波在空氣中傳播速度.

為使聲壓表示一致性和方程求解的可行性,將入射聲壓進行如下傅里葉變換:

其中

由聲學(xué)邊界條件知,兩種介質(zhì)在分界面上的法向質(zhì)點速度連續(xù),即膜結(jié)構(gòu)法向振動速度等于膜表面流體介質(zhì)質(zhì)點速度,結(jié)合流體動力學(xué)方程可得[35]

其中ρ0為空氣的密度.

將(7)式-(10)式代入(11)式可得薄膜(z=0)上下側(cè)處的聲壓差:

(6)式左側(cè)的函數(shù) ? 為四個Heaviside 函數(shù)的組合,即:

該函數(shù)在附著質(zhì)量的表面上取1,在薄膜的其他位置取0,代入(12)式至(6)式中,可得

入射聲壓為平面簡諧波時,薄膜亦簡諧振動,其橫向撓度由下式給出:

其中φ是薄膜的振型函數(shù).

為了得到方程(14)的解,本文采用伽遼金加權(quán)殘余法[36],伽遼金加權(quán)殘余法是一種求解微分方程的有效方法.其基本思路是選取有限多項能夠滿足邊界條件的勢函數(shù)(又稱基函數(shù)或形函數(shù)),將它們線性疊加作為微分方程的近似解,再將該近似解代入微分方程求出殘差,并在求解域內(nèi)及邊界上對權(quán)函數(shù)(即勢函數(shù)本身)加權(quán)積分,令加權(quán)積分為零求出待定系數(shù).附著質(zhì)量塊的薄膜的橫向撓度可表示為無窮多階振型函數(shù)的疊加:

設(shè)薄膜邊界固定,其振型函數(shù)φmn(x,y)可取為

將(16)式和(17)式代入(14)式,采用伽遼金加權(quán)殘余法,乘以正交模態(tài)函數(shù)φrs(x,y)作為加權(quán)函數(shù),在薄膜表面積分,可得

(18)式是無限代數(shù)方程,在滿足精度的條件下,可對指標(biāo)作截斷(1＜r＜M,1＜s＜N),將其寫成矩陣的形式:

將(19)式代入(18)式,可得

其中矩陣 [M],[D]和[K]是MN×MN的對角矩陣;[R],[H],[λ],[φ] 和是MN×1 的矩陣;[I]和 [F]是MN×MN的矩陣.

由(20)式可得薄膜的模態(tài)系數(shù)為

薄膜任意位置(x,y)的撓度為

定義任意入射角下薄膜的聲功率透射系數(shù)τ為透射強度與入射強度之比:

其中θlim為入射角的上限.由此,薄膜的傳輸損失TL(transmission loss)為

2.4 收斂性驗證及有限元模型

采用級數(shù)截斷方法對理論模型進行求解時,求和項的數(shù)量應(yīng)足夠大才能確保所有解滿足收斂性和精度的要求,故有必要開展收斂性驗證.Lee 和Kim[37]發(fā)現(xiàn),如展開項數(shù)可保證在某個頻率收斂,則低于該頻率時均收斂.因此,具體計算時,可選取感興趣的最大頻率(即1000 Hz)開展收斂性驗證即可.針對QZSMAMM 結(jié)構(gòu)(Br=1.0 T,H=4.0 mm),給定垂直入射聲激勵的頻率為1000 Hz,圖4 給出截斷數(shù)對計算所得TL 收斂性的影響.結(jié)果表明,取M=N=40 時可基本滿足收斂的要求.

圖4 1000 Hz 垂直入射 聲激勵下,QZSMAMM 的TL 收斂性驗證Fig.4.Convergence check of theoretically predicted transmission loss(TL)of QZSMAMM under the excitation of a normally incident sound wave at 1000 Hz.

為驗證理論模型的有效性,建立相應(yīng)的有限元模型;如圖5 所示,模型由QZSMAMM 單元結(jié)構(gòu)、入射場、透射場和完美匹配層組成.空氣域的四周為硬聲場邊界,模擬聲阻抗管測試環(huán)境;單元框架設(shè)置為剛形體,四周為固定約束;完美匹配層模擬聲全吸收以消除反射聲波的干擾.在入射場施加1 Pa 的法向背景聲場;在完美匹配層與入射場、透射場的邊界(S1和S2),采用積分法計算結(jié)構(gòu)的傳輸損失,即:

圖5 QZSMAMM 的有限元模型Fig.5.Finite element simulation model of QZSMAMM.

其中pin為S1面入射聲壓,ptr為S2面透射聲壓,Win和Wtr分別為入射聲功率和透射聲功率,TL的單位為分貝.

QZSMAMM 單元采用膜單元和固體單元建模,空氣域由基于波動方程的壓力聲學(xué)建模,空氣域和固體域邊界為聲固耦合,磁相互作用采用動平衡位置的線性化剛度乘以磁鐵平均法向位移實現(xiàn).采用自由四面體單元對固體域和空氣域進行網(wǎng)格劃分,膜單元則采用平面三角形網(wǎng)格: 為確保結(jié)果的準(zhǔn)確性,最大單元尺寸為最小聲波波長的1/8.空氣的密度和聲速分別選用1.29 kg/m3和340 m/s.

3 分析與討論

3.1 模型驗證與隔聲機理探究

為驗證理論模型的正確性,針對1-1000 Hz頻率范圍的傳輸損失曲線,圖6(a)比較了有/無動態(tài)磁負剛度三組對照結(jié)構(gòu)的理論預(yù)測(實線)和有限元數(shù)值模擬(虛線),其中紅色和黑色線表示無動態(tài)磁負剛度(簡稱: Non-NS)的結(jié)果;綠色和藍色線為Br=1.0 T,H=4.0 mm 的結(jié)果;青色和粉紅色線為Br=1.0 T,H=3.5 mm 的結(jié)果.表1 為計算式采用的QZSMAMM 結(jié)構(gòu)參數(shù).分別取磁鐵B 和C 的磁間隙為H=4 mm 和H=3.5 mm,據(jù)(5)式,磁鐵A 在動平衡位置的動態(tài)剛度分別為Kmag=-1289 N/m 和Kmag=-1883 N/m,基于2.3 節(jié)建立的隔聲理論模型即可進行理論預(yù)測.

表1 QZSMAMM 單元幾何參數(shù)和材料參數(shù)Table 1. Geometric and material parameters of QZSMAMM unit.

圖6 三組對照結(jié)構(gòu)的理論和數(shù)值模擬傳輸損失對比Fig.6.Comparison between theoretical model predictions and numerical simulation results of transmission loss for three different structures.

總體來看,理論預(yù)測和數(shù)值模擬吻合較好,從而驗證了本文所建模型的準(zhǔn)確性.同時,從傳輸損失曲線可以看出,相比于傳統(tǒng)的薄膜聲學(xué)超材料(membrane acoustic metamaterial,MAMM)結(jié)構(gòu)(Non-NS),QZSMAMM 結(jié)構(gòu)能夠使TL 峰值頻率向低頻移動,且隨著磁間隙的減小,峰值頻率越小.此外,表2 列出了三組對照結(jié)構(gòu)的理論預(yù)測和有限元數(shù)值模擬的峰/谷值頻率.理論預(yù)測的峰值頻率依次為432 Hz,336 Hz 和281 Hz,谷值頻率依次為297 Hz,143 Hz 和86 Hz,峰/谷頻率差依次為135 Hz,193 Hz 和195 Hz.有限元模擬的峰值頻率依次為435 Hz,325 Hz 和270 Hz,谷值頻率依次為295 Hz,130 Hz 和95 Hz,峰/谷頻率差依次為140 Hz,195 Hz 和175 Hz.上述結(jié)果表明,相較于峰值頻率,QZSMAMM 的第一隔聲谷頻率向低頻移動得更快,尤其是當(dāng)H=3.5 mm 時,原本的隔聲谷值高達20 dB,進一步體現(xiàn)了QZSMAMM的低頻超寬帶隔聲效果.

表2 理論和數(shù)值模擬的峰/谷頻率Table 2. Theoretical and numerical results for peak/valley frequencies.

模態(tài)是結(jié)構(gòu)本身自由振動的固有屬性.對于受聲場作用的強迫振動,其響應(yīng)(隔聲量)與結(jié)構(gòu)的模態(tài)密不可分,故對解釋隔聲峰/谷至關(guān)重要.鑒于本文所研究的隔聲頻段為1-1000 Hz,模態(tài)頻率不在該頻段的振動模式對結(jié)果影響較小,故有限元模擬只給出前四階模態(tài),如圖7 所示: 其中,圖7(a)為Non-NS 的前四階模態(tài);圖7(b)為Br=1.0 T,H=4.0 mm 的前四階模態(tài);圖7(c)為Br=1.0 T,H=3.5 mm 的前四階模態(tài).結(jié)果表明,三組對照結(jié)構(gòu)的前四階模態(tài)具有相似性,一階模態(tài)表現(xiàn)為薄膜-質(zhì)量整體同相共振,其頻率接近圖6 有限元數(shù)值模擬(虛線)傳輸損失的第一隔聲谷頻率(H=3.5 mm 除外).聲波頻率接近一階模態(tài)頻率時會激發(fā)結(jié)構(gòu)的一階本征模,此時整個結(jié)構(gòu)的振動速度大,導(dǎo)致在透射場產(chǎn)生強烈的聲輻射,進而產(chǎn)生第一隔聲谷.需要注意的是,Br=1.0 T 和H=3.5 mm 對應(yīng)的一階模態(tài)共振頻率為純虛數(shù)(即125.47i Hz),表明此時一階共振模態(tài)已消失.伴隨著一階模態(tài)的消失,第一隔聲谷大幅提升,故該隔聲谷并非一階模態(tài)所致,其原因?qū)⒃诤笪慕忉?二階和三階模態(tài)為反對稱模態(tài),此時質(zhì)量塊幾乎無位移,磁負剛度對其無影響,三組對照結(jié)構(gòu)的二階和三階頻率相同,且在薄膜反對稱振動時,其聲場也呈現(xiàn)反對稱,故二階和三階模態(tài)不影響超材料的隔聲性能.四階模態(tài)為薄膜-質(zhì)量反相共振,整體疊加后的平均振動速度大,故當(dāng)聲波頻率接近四階模態(tài)頻率時,薄膜透射側(cè)也可產(chǎn)生強烈的聲輻射,進而在隔聲曲線上出現(xiàn)第二隔聲谷.值得注意的是,在四階共振模態(tài)頻率下,由于質(zhì)量塊本身的位移較小,磁負剛度對其產(chǎn)生的磁相互作用可忽略不計,故三組對照結(jié)構(gòu)的四階模態(tài)頻率幾乎相等,由此解釋了所有曲線在600-1000 Hz 頻率段基本重合的原因.

圖7 共振模態(tài)(a)無動態(tài)磁負剛度;(b)Br=1.0 T,H=4.0 mm;(c)Br=1.0 T,H=3.5 mmFig.7.Resonance mode:(a)Non-NS;(b) Br=1.0 T,H=4.0 mm;(c)Br=1.0 T,H=3.5 mm.

為進一步分析結(jié)構(gòu)在第一隔聲峰/谷頻率下的傳聲特性,采用有限元模型,模擬了三組對照結(jié)構(gòu)在第一隔聲峰/谷處的振動模式(圖8),以及薄膜的橫向平均速度和相位變化(圖9).圖8 顯示,在隔聲谷處(H=3.5 mm 除外),受一階模態(tài)共振影響,薄膜-質(zhì)量表現(xiàn)為共振模式,此時質(zhì)量塊和薄膜做同相振動,薄膜的橫向平均速度達到極大值(如圖9(a)所示),進而向周圍空氣域輻射大量聲能量.H=3.5 mm 的隔聲谷處,薄膜-質(zhì)量也表現(xiàn)為共振模式,但其平均振動速度達到的極大值相比前者較小,故其隔聲量得到大幅提升.相反,在隔聲峰處,受四階共振模態(tài)影響,薄膜-質(zhì)量表現(xiàn)為反共振模式,質(zhì)量塊與薄膜做反相振動使薄膜的橫向平均速度為零(如圖9(a)所示),進而使透射聲場聲波疊加相消,抑制了聲能量的傳輸.此外,圖9(b)所示的相位變化顯示,隔聲峰相位發(fā)生突變(達±90°),隔聲谷相位為零(H=3.5 mm 除外),H=3.5 mm的隔聲谷相位達到極小,但仍接近-90°.相位表示透射聲壓的傳播方向,零相位表明聲能量幾乎全透射,±90°相位則表示聲能量幾乎全反射: 該現(xiàn)象在聲壓云圖(圖11)中得到證實.

圖8 隔聲峰/谷的振動模式(a)無動態(tài)磁負剛度;(b)Br=1.0 T,H=4.0 mm;(c)Br=1.0 T,H=3.5 mmFig.8.Vibration mode diagrams at sound insulation peak/valley:(a)Non-NS;(b)Br=1.0 T,H=4.0 mm;(c)Br=1.0 T,H=3.5 mm.

圖9 (a)三組對照結(jié)構(gòu)的傳輸損失和平均速度;(b)三組對照結(jié)構(gòu)的傳輸損失和相位變化Fig.9.Curves of(a)transmission loss and average velocity and(b)transmission loss and phase change for three different structures.

圖10 給出了上述三組對照結(jié)構(gòu)的等效質(zhì)量面密度.結(jié)果表明,在隔聲峰處,等效質(zhì)量面密度趨于無窮,實現(xiàn)了聲波的全反射,而該結(jié)果可從圖11 所示的聲壓云圖得到驗證;相反,在隔聲谷處(H=3.5 mm 除外),等效質(zhì)量面密度近似為零,實現(xiàn)了聲波幾乎全透射,從圖11 所示的聲壓云圖也可得到驗證.對應(yīng)于H=3.5 mm 的傳輸損失和等效質(zhì)量面密度則顯示,在95 Hz 的隔聲谷處,等效質(zhì)量面密度達到極小但仍較大,故此時聲波實現(xiàn)了部分反射,這同樣在圖11 所示的聲壓云圖中得到證實.綜上,該隔聲谷并非一階模態(tài)共振所致,而是結(jié)構(gòu)邊界約束和質(zhì)量效應(yīng)共同作用的結(jié)果.

圖10 三組對照結(jié)構(gòu)的傳輸損失和等效質(zhì)量面密度曲線Fig.10.Transmission loss and equivalent mass surface density curves of three different structures.

圖11 隔聲峰/谷的聲壓云圖(單位: Pa)(a)無動態(tài)磁負剛度;(b)Br=1.0 T,H=4.0 mm;(c)Br=1.0 T,H=3.5 mmFig.11.Sound pressure cloud diagram at sound insulation peak/valley(unit: Pa):(a)Non-NS;(b) Br=1.0 T,H=4.0 mm;(c)Br=1.0 T,H=3.5 mm.

3.2 等效二自由度系統(tǒng)

盡管薄膜-質(zhì)量結(jié)構(gòu)具有無窮多自由度,相應(yīng)會產(chǎn)生無窮多的振動模態(tài),但如前文所述,本文考慮結(jié)構(gòu)的低頻隔聲性能僅受一階共振和四階反共振模態(tài)的影響,故可用二自由度振動系統(tǒng)近似描述其動力學(xué)特性,相應(yīng)的解析解可清楚地反映各參數(shù)的影響規(guī)律.圖12 給出了等效的二自由度彈簧-質(zhì)量模型.由于阻尼對低頻隔聲影響較小,故忽略薄膜的阻尼,其中m1,m2分別表示質(zhì)量塊和薄膜的質(zhì)量,剛度kmem表示張緊薄膜在質(zhì)量塊位置的等效剛度,剛度Kmag表示動態(tài)磁負剛度.該二自由度彈簧-質(zhì)量等效模型的自由振動方程可表示為

圖12 QZSMAMM 的彈簧-質(zhì)量等效模型Fig.12.Spring-mass equivalent model of QZSMAMM.

式中x1,x2分別表示m1,m2的位移.f1,f2為上述二自由度系統(tǒng)的固有頻率,可由(27)式求得:

其中

通過類比模態(tài)可知,f1和f2分別對應(yīng)結(jié)構(gòu)的一階和四階模態(tài)頻率,同時也對應(yīng)圖6 所示的第一(H=3.5 mm 除外)和第二隔聲谷頻率.因m1遠大于m2,故.隨著磁負剛度Kmag的增大,X減小,Y增大,X+Y減小,故f1相比f2下降更顯著,即第一隔聲谷頻率相比第二隔聲谷頻率向低頻移動得更快,體現(xiàn)了QZSMAMM 的低頻寬帶效果.此外,就(28)式而言,隨著磁負剛度的增大,f1顯著下降,故必然存在兩個臨界磁負剛度對應(yīng)的臨界磁間隙H0(第一臨界磁間隙,對應(yīng)于結(jié)構(gòu)的一階模態(tài)頻率為零時的磁間隙)和H1(第二臨界磁間隙,對應(yīng)于結(jié)構(gòu)的相位突變頻率為零時的磁間隙),分別使得第一隔聲谷/峰頻率為零.磁間隙滿足H1＜H＜H0時,一階模態(tài)頻率f1為純虛數(shù),隔聲峰頻率大于零: 此時,一階模態(tài)消失,隔聲谷值得到大幅提升,對應(yīng)圖6中Br=1.0 T,H=3.5 mm 的結(jié)果.

3.3 磁間隙的影響

如前所述,其余參數(shù)不變,增大剩余磁通密度或減小磁間隙均能增大動態(tài)磁負剛度,而動態(tài)磁負剛度對結(jié)構(gòu)的低頻調(diào)制具有重要影響.因此,保持剩余磁通密度Br=1.0 T 不變,本節(jié)給出七組不同磁間隙下的傳輸損失曲線,如圖13 所示.磁間隙H=3.7 mm 時,第一隔聲谷頻率幾乎為零,該磁間隙即為3.2 節(jié)所提的第一臨界磁間隙H0.磁間隙H=2.92 mm 時,第一隔聲峰頻率幾乎為零,該磁間隙即為3.2 節(jié)所提的第二臨界磁間隙H1.當(dāng)H0＜H且減小時,隔聲峰頻率向低頻移動,第一隔聲谷頻率較第二隔聲谷頻率向低頻移動更快,從而隔聲帶寬變大且隔聲峰值很高.H1＜H＜H0且減小時,結(jié)構(gòu)的一階模態(tài)消失,第一隔聲谷值得到大幅提升且隔聲量更大,呈現(xiàn)出低頻超寬帶的隔聲特性.因剩余磁通密度的影響具有相似性,不再贅述.

圖13 剩余磁通密度保持不變(Br=1.0 T),傳輸損失隨磁間隙的變化Fig.13.Variation of transmission loss with magnetic gap fixed at Br=1.0 T.

3.4 聲波入射角和方位角的影響

如前所述,透射系數(shù)不僅與QZSMAMM 的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān),還與聲波的入射角θ和方位角φ有關(guān).為進一步獲得斜入射聲波對QZSMAMM 結(jié)構(gòu)的隔聲特性影響規(guī)律,通過理論計算得到了圖14(a)方位角φ=0°時,傳輸損失隨入射角θ的變化和圖14(b)入射角θ=30°時,傳輸損失隨方位角φ的變化.圖14(a)顯示聲波入射角不改變隔聲峰/谷值頻率,故不影響本文所述QZSMAMM 結(jié)構(gòu)的獨特優(yōu)勢,但隨著入射角θ的增大,隔聲谷值增大,峰值減小.這是由于第一隔聲谷為一階模態(tài)共振所致,是結(jié)構(gòu)的固有屬性,隔聲峰為反共振引起透射聲場疊加相消所致,也是結(jié)構(gòu)的固有特性,聲波入射角只是削弱了結(jié)構(gòu)在法向方向的入射聲能量,導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的振動幅值減小,從而表現(xiàn)出第一隔聲谷值增大,峰值減小.此外,圖14(b)顯示由于結(jié)構(gòu)具有對稱性,方位角φ對隔聲無影響.

圖14 (a)方位角 φ=0°,傳輸損失隨入射角 θ 的變化;(b)入射角 θ=30°,傳輸損失隨入射角 φ 的變化Fig.14.(a)Variation of transmission loss with incidence angle at φ=0°;(b)variation of transmission loss with azimuth at θ=30°.

3.5 QZSMAMM 的優(yōu)勢再討論

前文討論的三組對照結(jié)構(gòu)中,有/無動態(tài)磁負剛度對應(yīng)不同的隔聲峰值頻率(對應(yīng)反共振模式),即引入動態(tài)磁負剛度改變了結(jié)構(gòu)的整體動力特性.通過設(shè)計磁負剛度和張力,讓QZSMAMM 和傳統(tǒng)的MAMM 保持相同的隔聲峰值頻率,此時兩種結(jié)構(gòu)在峰值頻率處對應(yīng)的隔聲量和有效隔聲帶寬是否產(chǎn)生差別,是一個有趣的問題.為此,設(shè)計了三種工況,對應(yīng)不同的峰值頻率: 386 Hz,274 Hz 和138 Hz,結(jié)果見圖15.其中,I 型代表傳統(tǒng)薄膜聲學(xué)超材料(無磁負剛度),II 型代表QZSMAMM,具體結(jié)構(gòu)參數(shù)見表3.

圖15 (a)三種工況的傳輸損失對比(I:MAMM,II:QZSMAMM);(b)三種工況的等效質(zhì)量面密度對比(I: MAMM,II:QZSMAMM)Fig.15.(a)Comparison of transmission loss curves among three working conditions(I: MAMM,II: QZSMAMM);(b)comparison of equivalent mass surface density curves among three working conditions(I: MAMM,II: QZSMAMM).

表3 三種不同工況的結(jié)構(gòu)參數(shù)和目標(biāo)頻率Table 3. Structural parameters and target frequencies for three different operating conditions.

圖15 結(jié)果表明,對于傳統(tǒng)的薄膜聲學(xué)超材料,通過減小薄膜張力可將其隔聲峰值頻率調(diào)節(jié)到低頻,但隔聲的峰值隨之降低,且有效帶寬變小.通過調(diào)整薄膜張力和磁負剛度,QZSMAMM 結(jié)構(gòu)也可將隔聲峰值頻率調(diào)低,但其隔聲峰值和有效帶寬并未降低;換言之,QZSMAMM 仍然擁有較好的隔聲量和有效帶寬.原因在于,QZSMAMM 的主要設(shè)計參數(shù)包含預(yù)張力和磁負剛度,結(jié)構(gòu)隔聲特性是兩者共同影響的結(jié)果: 一方面,通過盡量保持大的預(yù)張力,可實現(xiàn)較大的隔聲帶寬和隔聲峰值;另一方面,通過設(shè)計動態(tài)磁負剛度,可在降低峰值頻率的同時,使第一谷值頻率較第二谷值頻率向低頻移動更快.此外,圖15(b)給出了上述三種工況對應(yīng)的等效質(zhì)量面密度曲線.結(jié)果表明,相較于傳統(tǒng)的薄膜聲學(xué)超材料,QZSMAMM 在峰值頻率處的等效質(zhì)量面密度明顯更高,與隔聲峰值的規(guī)律相吻合.綜上,相較于傳統(tǒng)的MAMM 結(jié)構(gòu),本文提出的QZSMAMM 具有更低頻更寬帶的隔聲特性.

4 實驗驗證

4.1 結(jié)構(gòu)制備

實驗選取的薄膜材料為聚酰亞胺,厚度t=0.025 mm,寬Lx=Ly=40 mm;所用框架采用環(huán)氧樹脂材料3D 打印而成,直徑為98.6 mm,如圖16(b)所示;磁鐵采用常規(guī)型的稀土磁體,半徑rA=rB=rC=3 mm,厚度t1=1.68 mm,剩余磁通密度Br=0.378 T,相對磁導(dǎo)率為1.023.相關(guān)材料參數(shù)見表4.鑒于實驗阻抗管為圓管,將圖1(a)所示單元結(jié)構(gòu)制備成圓形樣件,制備過程主要分為三個過程,如圖16 所示.

圖16 QZSMAMM 單元的制備過程(a)施加薄膜張力;(b)將中心貼敷有磁鐵的張力薄膜粘接于支撐框架;(c)添加外圍磁鐵;(d)將樣件置于阻抗管Fig.16.Schematic of the preparation process of QZSM AMM unit:(a)Applying membrane tension;(b)tension membrane with a magnet applied to the center is bonded to the support frame;(c)adding peripheral magnets;(d)test sample positioned in impedance tube.

表4 實驗樣件的相關(guān)材料參數(shù)Table 4. Material parameters of experimental samples.

1)取適當(dāng)大小的薄膜,無褶皺置于直徑為120 mm 的圓形繡撐中,如圖16(a).

2)在薄膜的邊界處,施加張力的同時鎖緊繡撐,使其具有一定的張力,然后將框架膠結(jié)在薄膜上,待膠固化后移除繡撐,并在中心貼敷磁鐵,如圖16(b).

3)將圓柱形磁鐵貼附于螺柱的一端,將附著有磁鐵的螺柱旋進外框架,并將其貼附于框架,然后旋進兩螺柱上的磁鐵,使其距離薄膜磁鐵的磁間隙相等,如圖16(c).

最后,將圓形樣件置于阻抗管中進行傳輸損失測試,如圖16(d).

4.2 薄膜張力反演

如前所述,薄膜的張力對結(jié)構(gòu)的隔聲性能影響較大.鑒于在試樣的制備過程中很難精確確定薄膜的預(yù)張力大小,本文采用反演法,先根據(jù)實驗測得無磁力負剛度下的隔聲曲線,依據(jù)有限元法反演出薄膜的預(yù)張力大小并與實驗結(jié)果作對比,驗證曲線是否吻合,然后將反演出的薄膜預(yù)張力帶入含動態(tài)磁負剛度的有限元數(shù)值模擬中,將預(yù)測與實驗結(jié)果進行對比,再次驗證曲線是否吻合,以驗證理論模型的有效性.

根據(jù)4.1 節(jié)給出的實驗樣件結(jié)構(gòu)參數(shù),經(jīng)過實驗和仿真反演得到的薄膜預(yù)張力大小為T=210 N/m,其TL 曲線對比如圖17 所示.由圖17 可見,實驗和仿真的TL 峰谷和曲線走勢吻合較好,驗證了薄膜預(yù)張力反演的正確性,表明該預(yù)張力可用于預(yù)測含動態(tài)磁負剛度的隔聲效果.

圖17 實驗和有限元反演張力的傳輸損失對比Fig.17.Comparison between experimentally measured and numerically predicted transmission loss versus frequency curves.

4.3 傳輸損失測試

為進一步驗證本文理論模型的正確性,采用圖18 所示傳輸損失實驗裝置,基于傳遞函數(shù)法,在60-1000 Hz 頻段內(nèi),分別測試傳統(tǒng)薄膜聲學(xué)超材料(無磁負剛度)和準(zhǔn)零剛度薄膜聲學(xué)超材料樣件的傳輸損失.實驗裝置主要由聲源、阻抗管、功率放大器、數(shù)據(jù)采集器、筆記本電腦和試驗樣件組成,管徑為100 mm.為減少實驗結(jié)果的離散誤差,采用多次實驗取平均.測試前,首先調(diào)節(jié)兩螺柱使其上磁鐵與薄膜磁鐵的磁間隙相等,記錄磁間隙距為d,然后將其置于阻抗管中進行傳輸損失測試.分別調(diào)節(jié)磁間隙為d1=4 mm,d2=3.8 mm 和d3=3.5 mm,由(5)式計算得到的磁負剛度為Kmag=-181 N/m,Kmag=-212 N/m 和Kmag=-269 N/m,然后將其與4.2 節(jié)反演得到的薄膜預(yù)張力一并代入有限元模擬中計算傳輸損失,實驗結(jié)果與有限元模擬的對比如圖19 所示,峰/谷值頻率見表5.圖19 中的紅色和藍色實線代表無磁負剛度的實驗和仿真;黑色實線和虛線分別代表d1=4 mm 時的實驗和仿真;綠色實線和虛線分別為d2=3.8 mm 的實驗和仿真;棕色實線和虛線分別為d3=3.5 mm 的實驗和仿真.實驗和有限元仿真吻合較好,同時實驗結(jié)果顯示四組對照結(jié)構(gòu)的TL 峰值頻率與第一谷值頻率差依次為78 Hz,128 Hz,144 Hz 和155 Hz,且第二谷頻率幾乎無變化,展現(xiàn)了第一谷頻率相較于峰頻率和第二隔聲谷頻率向低頻移動得更快,體現(xiàn)了QZSMAMM 的低頻且寬頻帶的隔聲特性.

圖18 傳輸損失實驗裝置Fig.18.Schematic of transmission loss experimental setup.

圖19 傳輸損失的實驗測量與數(shù)值模擬對比Fig.19.Comparison between experimentally measured and numerically predicted transmission loss versus frequency curves.

表5 實驗和數(shù)值模擬的峰/谷頻率Table 5. Experimentally measured and numerically predicted peak/valley frequencies.

5 結(jié)論

本文提出一種具有動態(tài)磁負剛度的新型薄膜聲學(xué)超材料,采用伽遼金法建立了其在有限尺寸下的隔聲理論模型,并通過有限元仿真和實驗測試的方法驗證了理論預(yù)測的準(zhǔn)確性,并對隔聲機理進行了分析和討論.主要結(jié)論如下:

1)磁負剛度主要與磁鐵的幾何尺寸、磁間隙、表面極化強度和方向有關(guān),其余參數(shù)不變下,增大剩余磁通密度或減小磁間隙,均能增大動態(tài)磁負剛度.

2)薄膜在一階模態(tài)頻率時出現(xiàn)明顯的傳輸損失(TL)谷值現(xiàn)象,薄膜-質(zhì)量同相振動,薄膜的橫向平均速度達到極大值且等效質(zhì)量面密度近似為零,聲波幾乎全透射;通過調(diào)節(jié)磁負剛度,可消除薄膜的一階模態(tài)共振,等效質(zhì)量面密度達到極小非零,TL 谷值大幅提升,聲波部分反射.

3)TL 峰值頻率處,薄膜-質(zhì)量反相振動,薄膜的橫向平均速度為零且等效質(zhì)量面密度趨于無窮,聲波幾乎全反射.在具有相同峰值頻率條件下,相較于傳統(tǒng)的薄膜聲學(xué)超材料,本文提出的新型薄膜聲學(xué)超材料在峰值頻率處具有更高的隔聲量,帶寬更寬.

總體而言,除了基本的材料和幾何參數(shù),傳統(tǒng)薄膜聲學(xué)超材料主要依賴張力設(shè)計調(diào)整隔聲曲線,而新型薄膜聲學(xué)超材料引入了新的物理變量-動態(tài)磁負剛度,可有效抑制由于有限尺寸邊界帶來的低頻共振,實現(xiàn)低頻段有效的隔聲效果,為薄膜/板狀結(jié)構(gòu)的低頻噪聲控制提供了新的設(shè)計思路.