一種與開放系統(tǒng)初態(tài)無關(guān)的非馬爾科夫度量*

賀志 蔣登魁 李艷

1)(湖南文理學(xué)院數(shù)理學(xué)院,常德 415000)

2)(南昌師范學(xué)院物理與電子信息學(xué)院,南昌 330032)

近年來,量化開放量子系統(tǒng)中的非馬爾科夫效應(yīng)已經(jīng)成為了量子消相干控制領(lǐng)域研究中的一個(gè)重要科學(xué)問題.本文對(duì)于單個(gè)開放的兩能級(jí)系統(tǒng),將基于量子Fisher 信息的非馬爾科夫度量從系統(tǒng)初態(tài)為純態(tài)的情況推廣到系統(tǒng)初態(tài)為任意態(tài)的情況.作為該非馬爾科夫度量的應(yīng)用,分別研究了利用量子Fisher 信息在檢測一個(gè)兩能級(jí)系統(tǒng)受到零溫度振幅耗散通道、相位衰減通道和隨機(jī)幺正通道作用時(shí)對(duì)應(yīng)非馬爾可夫過程發(fā)生滿足的條件.研究結(jié)果顯示: 一個(gè)相位參數(shù)的量子Fisher 信息對(duì)這三種衰減通道的非馬爾科夫過程發(fā)生所滿足的條件與系統(tǒng)初態(tài)的選擇是無關(guān)的.進(jìn)一步,對(duì)于振幅耗散通道和相位衰減通道,非馬爾科夫過程發(fā)生的條件同基于跡距離、映射的可分性、量子互信息和量子Fisher 信息矩陣等給出的條件是等價(jià)的.如預(yù)期的一樣,對(duì)于振幅耗散通道情況且選擇系統(tǒng)初態(tài)為最優(yōu)化純態(tài)時(shí),相應(yīng)的結(jié)果正是Lu 等獲得的結(jié)果(Lu X M,Wang X G,Sun C P 2010 Phys.Rev.A 82 042103);而對(duì)于隨機(jī)幺正通道,其馬爾可夫過程發(fā)生的條件同基于跡距離、映射的可分性、量子互信息和量子Fisher 信息矩陣等給出的條件是不完全等價(jià)的.另外,得到了一個(gè)有趣的關(guān)系: 在這三種耗散通道模型中系統(tǒng)演化態(tài)的量子 l1 范數(shù)相干性的平方正好等于相位參數(shù)的量子Fisher 信息.總之,本文得到的結(jié)果不僅完善了用量子Fisher信息來檢測開放系統(tǒng)中非馬爾科夫效應(yīng)的應(yīng)用范圍,同時(shí)也進(jìn)一步彰顯了量子Fisher 信息在量子信息處理中獨(dú)特的作用.

1 引言

在量子消相干控制領(lǐng)域研究中,假設(shè)環(huán)境沒有記憶效應(yīng),開放量子系統(tǒng)的信息或能量只能單方向流入外界環(huán)境,這個(gè)過程常被稱為馬爾科夫過程;相反地,如果環(huán)境有記憶效應(yīng),則系統(tǒng)流入外界環(huán)境的信息或能量在某段時(shí)間還能流回系統(tǒng),此過程常被稱為非馬爾科夫過程.開放量子系統(tǒng)中的這種非馬爾科夫效應(yīng)將會(huì)使得系統(tǒng)的信息和能量的衰減得以延緩.在真實(shí)的量子信息處理中,實(shí)際的環(huán)境一般都具有記憶效應(yīng),所以研究開放系統(tǒng)中的非馬爾科夫效應(yīng)顯得十分必要[1-5].研究表明: 開放系統(tǒng)中的非馬爾科夫效應(yīng)對(duì)量子信息處理有諸多積極的影響.如利用環(huán)境的非馬爾科夫效應(yīng)可延長兩量子比特的糾纏時(shí)間[6-8]、保護(hù)原子熵壓縮[9-11]、以及提高量子Fisher 信息[12,13]等.自然地,怎樣去量化開放系統(tǒng)中的非馬爾科夫效應(yīng)就成為了一個(gè)很有趣的研究課題.近 10 多年來,在理論上相繼有許多優(yōu)秀的非馬爾科夫度量被提出,如基于跡距離[14-16]、映射的可分性[17]、量子Fisher 信息[18]和量子互熵[19]等就是幾種非常流行的非馬爾科夫度量方式,且部分已在實(shí)驗(yàn)上被證實(shí)[20,21].在現(xiàn)有的非馬爾科夫度量中,從不同的角度出發(fā)大概可以分成三大類: 1)基于一些物理量[14,18,22-32]在跡保守且完全正定映射下是非增的性質(zhì);2)從系統(tǒng)經(jīng)歷的動(dòng)力學(xué)映射的可分性[17,33-35];3)考慮在一個(gè)有輔助系統(tǒng)的大系統(tǒng)中基于一些物理量[19,36-40]在跡保守且完全正定映射下具有非增的性質(zhì).

然而,當(dāng)將這些非馬爾科夫度量應(yīng)用到具體模型時(shí)不難發(fā)現(xiàn),只有部分非馬爾科夫度量在檢測非馬爾科夫效應(yīng)時(shí)的有效性與系統(tǒng)初態(tài)選擇是無關(guān)的.早在2011 年,Zeng 等[41]已經(jīng)闡明,利用基于跡距離的非馬爾科夫度量[14]在檢測零溫度振幅耗散模型和相位衰減模型中的非馬爾科夫效應(yīng)時(shí),與系統(tǒng)初態(tài)選擇有關(guān)的要求可以被移除,但不影響其檢測的有效性.近來,有部分基于量子相干性的非馬爾科夫度量被揭示在檢測非馬爾科夫效應(yīng)時(shí)的有效性也同系統(tǒng)初態(tài)選擇是無關(guān)的,如量子l1范數(shù)相干性[28]、基于skew 信息和修改的Tsallis 相對(duì)α熵的相干性[30]、基于保真度和幾何度量相干性[32]等.可是,也有相當(dāng)一部分非馬爾科夫度量的有效性與系統(tǒng)初態(tài)選擇是有關(guān)的,如基于量子糾纏[17]、量子互信息[19]、最大相對(duì)熵[29]、Hilbert-Schmidt speed(HSS)[31]、量子局域不確定度[36]及量子相對(duì)熵相干性[40]等.Lu 等[18]基于量子Fisher 信息流定義了一種非馬爾科夫度量,并運(yùn)用其去檢測零溫度振幅耗散模型的非馬爾科夫效應(yīng).后來,Song 等[26]基于兩參數(shù)的量子Fisher 信息矩陣定義了一種非馬爾科夫度量.然而,這兩個(gè)文獻(xiàn)中考慮的都是假設(shè)系統(tǒng)初態(tài)為純態(tài)的情況.那么,一個(gè)問題可能被提出: 基于量子Fisher 信息的非馬爾科夫度量在檢測非馬爾科夫效應(yīng)時(shí)的有效性是否與系統(tǒng)初態(tài)選擇有關(guān)? 另外,該非馬爾科夫度量與系統(tǒng)初態(tài)選擇無關(guān)的特性是否取決于考慮的耗散模型? 這些問題是促使本文研究的主要初衷.

本文在文獻(xiàn)[18]的基礎(chǔ)上,假設(shè)一個(gè)開放兩能級(jí)系統(tǒng)初態(tài)為任意量子態(tài),將基于量子Fisher 信息的非馬爾科夫度量運(yùn)用到三種常見的耗散通道--零溫度振幅耗散通道、相位衰減通道和隨機(jī)幺正通道中,得到了對(duì)應(yīng)非馬爾可夫過程或馬爾可夫過程發(fā)生的條件,并同其他非馬爾科夫度量作了詳細(xì)的比較.研究發(fā)現(xiàn): 基于量子Fisher 信息的非馬爾科夫度量在這三種耗散通道中的有效性同系統(tǒng)初態(tài)的選擇是無關(guān)的.特別地,對(duì)于振幅耗散通道模型,如果選擇系統(tǒng)初態(tài)為文獻(xiàn)[18]中考慮的純態(tài),相應(yīng)結(jié)果簡化成文獻(xiàn)[18]中的特殊情況.當(dāng)然,對(duì)于相位衰減通道模型,其非馬爾科夫過程發(fā)生的條件同用跡距離、映射的可分性、量子互信息和量子 Fisher信息矩陣給出的條件是等價(jià)的.然而對(duì)于隨機(jī)幺正通道模型,通過對(duì)通道的一些具體參數(shù)進(jìn)行討論,發(fā)現(xiàn)其馬爾可夫過程發(fā)生的條件同基于跡距離、映射的可分性、量子互信息和量子Fisher 信息矩陣給出的條件是不完全等價(jià)的.另外,也揭示了在這三種耗散通道模型中量子Fisher 信息與相干性之間的一個(gè)密切關(guān)系,即系統(tǒng)演化態(tài)的量子l1范數(shù)相干性的平方正好等于相位參數(shù)的量子Fisher 信息.因此,本文得到的結(jié)果可能為開放系統(tǒng)中非馬爾科夫動(dòng)力學(xué)研究提供了一種與系統(tǒng)初態(tài)無關(guān)的非馬爾科夫度量,進(jìn)一步強(qiáng)化了量子Fisher 信息在量子信息處理中的獨(dú)特作用.

本文結(jié)構(gòu)安排如下: 第2 節(jié)利用量子Fisher信息在跡保守且完全正定映射下具有非增性的性質(zhì)構(gòu)建了一種非馬爾科夫度量;第3 節(jié)給出了將基于量子Fisher 信息的非馬爾科夫度量用于三種典型的耗散通道模型中的非馬爾科夫過程或馬爾科夫過程發(fā)生的條件,并詳細(xì)討論了同其他非馬爾科夫度量給出的條件之間的等價(jià)性問題;第4 節(jié)對(duì)文中獲得的結(jié)果作了簡要總結(jié)和展望.

2 基于量子Fisher 信息的非馬爾科夫度量的構(gòu)建

量子Cramér-Rao 不等式[42]揭示了量子Fisher信息是刻畫單個(gè)待估計(jì)參數(shù)達(dá)到最優(yōu)理論精度的一個(gè)物理量,它已經(jīng)成為了量子度量學(xué)的核心概念之一.根據(jù)量子Cramér-Rao 不等式,對(duì)某一個(gè)待估計(jì)參數(shù)θ測量的精度由下面的不等式[42]決定:

其中ρ(θ)是系統(tǒng)包含待估計(jì)參數(shù)θ的厄米算符,L(θ)是一個(gè)厄米算符,常被稱為對(duì)稱對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)(symmetric logarithmic derivation,SLD),并由下列方程決定:

方程(2)和方程(3)定義的量子Fisher 信息F(ρ(θ))是量子信息理論中一個(gè)非常重要的物理量,它具有許多優(yōu)良的物理性質(zhì)[18,43]:

1)具有在非參么正演化U(UU?=U?U=I)下不變性:F(ρ(θ))=F(Uρ(θ)U?);

2)具有在跡保守且完全正定映射Φt下非增性(或者被稱為收縮性(contractivity)):F(Φtρ(θ))≤F(ρ(θ));

3)具有直積可加性:F(ρ(θ))=,其中ρ(θ)=;

4)具有凸性:F(ρ(θ))≤,其中ρ(θ)=,λi是子系統(tǒng)ρi(θ)所占的比重.

特別地,量子Fisher 信息F(ρ(θ))同量子信息理論中其他一些重要的度量像保真度f(ρ1,ρ2)=有著密切的聯(lián)系,如[44]ξ=?2f(ρ(θ),ρ(θ+δθ))/?(δ2θ)=Fθ/4,其中ξ是保真率.這進(jìn)一步印證了量子Fisher 信息在量子信息領(lǐng)域中扮演著一個(gè)極其重要的角色.

在量子消相干的主方程框架下,如果一個(gè)開放系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)可以用一個(gè)跡保守且完全正定映射來描述,就表明開放系統(tǒng)經(jīng)歷了一個(gè)馬爾科夫過程[1,14].因此,這個(gè)完全正定映射在某個(gè)時(shí)間段的違反就可用來表征此時(shí)開放系統(tǒng)經(jīng)歷了一個(gè)非馬爾科夫過程.考慮到量子Fisher 信息F(ρ(θ))在一個(gè)跡保守且完全正定映射下具有非增的性質(zhì),那么它在某段時(shí)間上的違反就可以被用來檢測開放系統(tǒng)在這段時(shí)間上非馬爾科夫過程的發(fā)生.為此,基于量子Fisher 信息的非馬爾科夫性(non-Markovianity)能被定義為

其中定義χ(t)=dF(ρ(θ))/dt,最大化(“max”)取遍系統(tǒng)所有的初態(tài).明顯地,χ(t)≤0 對(duì)應(yīng)馬爾科夫過程;χ(t)＞0 對(duì)應(yīng)非馬爾科夫過程.文獻(xiàn)[18]建議了一種類似的非馬爾科夫度量,相應(yīng)的χ(t)被命名為量子Fisher 信息流(其中χ(t)＞0 表示量子信息流是向內(nèi)的,對(duì)應(yīng)非馬爾科夫過程;χ(t)＜0表示量子信息流是向外的,對(duì)應(yīng)馬爾科夫過程),他們具體研究了用系統(tǒng)初態(tài)為純態(tài)的量子Fisher 信息來見證一個(gè)零溫度振幅耗散通道模型中非馬爾科夫過程的發(fā)生.

本文在文獻(xiàn)[18]的啟發(fā)下,嘗試將方程(4)中對(duì)于最大化的要求移除,但不影響用量子Fisher信息來檢測非馬爾科夫過程的有效性.通常地,在研究開放系統(tǒng)中的非馬爾科夫過程時(shí),尋找一種與系統(tǒng)初態(tài)選擇無關(guān)的非馬爾科夫度量方式不管是理論研究還是實(shí)驗(yàn)角度看都是十分重要的.其原因是: 一方面,只需要關(guān)注系統(tǒng)受到外界環(huán)境的影響而不需要關(guān)心系統(tǒng)自身的量子態(tài);另一方面,它也降低了在實(shí)驗(yàn)上驗(yàn)證開放系統(tǒng)中非馬爾科夫效應(yīng)對(duì)于系統(tǒng)初態(tài)制備的要求,簡化了實(shí)驗(yàn)的操作性.下面,首先用基于量子Fisher 信息的非馬爾科夫度量(如方程(4)所示)來重新考察一個(gè)二能級(jí)系統(tǒng)經(jīng)歷一個(gè)零溫度振幅耗散通道作用時(shí)其非馬爾科夫過程發(fā)生的條件.有趣的是,研究表明: 對(duì)于零溫度振幅耗散通道模型,方程(4)中對(duì)于最大化的要求確實(shí)可以被移除,而不影響其測度非馬爾科夫過程的有效性.相應(yīng)地,文獻(xiàn)[18]中考慮系統(tǒng)初態(tài)為純態(tài)的情況是這里的一種特殊情況.進(jìn)一步,我們研究了基于量子Fisher 信息的非馬爾科夫度量在其他非馬爾科夫衰減通道,如相位衰減通道和隨機(jī)幺正通道模型中的表現(xiàn),發(fā)現(xiàn)也有類似的特點(diǎn).

接下來,當(dāng)討論各種具體的非馬爾科夫耗散模型中某個(gè)參數(shù)估計(jì)問題時(shí),必然要涉及到量子Fisher 信息的計(jì)算問題.一般來說,量子Fisher 信息F(ρ(θ))的計(jì)算在系統(tǒng)密度矩陣的本征空間中操作是方便的.根據(jù)文獻(xiàn)[45],在系統(tǒng)的密度矩陣對(duì)角化形式,如ρ(θ)=(其中M表示所有非零本征值λi(θ)對(duì)應(yīng)的本征態(tài)|ψi(θ)〉構(gòu)成的子空間,也被稱為支集(support)的維 度)下,量子Fisher 信息F(ρ(θ))表示如下:

其中

分別代表只與密度矩陣本征值有關(guān)的經(jīng)典貢獻(xiàn)和與本征態(tài)有關(guān)的量子貢獻(xiàn).考慮到M≤d(假設(shè)密度矩陣的總維度為d),那么,量子Fisher 信息F(ρ(θ))如方程(5)和方程(6)所示的表達(dá)式對(duì)任意秩的密度矩陣都是成立的.特別地,對(duì)于純態(tài),也就是M=1(對(duì)應(yīng)λ1(θ)=1)的量子Fisher 信息F(ρ(θ))退化成

特別地,文獻(xiàn)[46]給出了單個(gè)封閉和開放量子比特系統(tǒng)在布洛赫球表示,如ρ(θ)=1/2(1+ω·σ)(其中ω=(ωx,ωy,ωz)T表示布洛赫矢量,σ=(σx,σy,σz)表示著名的泡利矩陣)中量子Fisher 信息的計(jì)算表達(dá)式:

其中FC(ρ(θ))代表單個(gè)封閉量子比特系統(tǒng)的量子Fisher 信息,FO(ρ(θ))代表單個(gè)開放量子比特系統(tǒng)的量子Fisher 信息,ε表示一個(gè)量子噪聲的動(dòng)力學(xué)映射,它在量子態(tài)上作用可以用Kraus 算符形式來表達(dá),如ε(ρ)=.

3 應(yīng)用到三類典型的非馬爾科夫耗散通道模型

3.1 非馬爾科夫零溫度振幅耗散通道

首先,注意到文獻(xiàn)[18]研究了利用一個(gè)相位參數(shù)的量子Fisher 信息去量化一個(gè)二能級(jí)系統(tǒng)受到一個(gè)零溫度振幅耗散通道作用的非馬爾科夫效應(yīng).文中的這個(gè)相位參數(shù)測量估計(jì)的方案是: 一個(gè)二能級(jí)系統(tǒng)最初處在最優(yōu)化純態(tài) |ψin〉=|ψo(hù)pt〉=(|g〉+|e〉)/(|g〉+|e〉)/(這里,|g〉,|e〉分別表示二能級(jí)系統(tǒng)的基態(tài)和激發(fā)態(tài));然后在 |ψo(hù)pt〉 執(zhí)行一個(gè)量子比特相位門,如Uθ=|g〉〈g|+exp(iθ)|e〉〈e|(引入相位參數(shù)θ);最后,假設(shè)這個(gè)相位參數(shù)進(jìn)行測量估算之前系統(tǒng)受到了一個(gè)零溫度振幅耗散通道作用.本文研究的方案同文獻(xiàn)[18]是類似的,唯一不同的是這里考慮在基矢 {|e〉,|g〉}下系統(tǒng)最初處于一個(gè)一般量子態(tài)情況,如

這樣,不難得到系統(tǒng)在經(jīng)過量子比特相位門作用后的量子態(tài)如下:

接下來,這個(gè)二能級(jí)系統(tǒng)受到一個(gè)零溫度振幅耗散通道作用時(shí)其動(dòng)力學(xué)演化滿足下列主方程[1]:

其中,初始條件有h(0)=1,記憶核f(t-t1)=是與零溫度熱庫的譜密度J(ω)有關(guān)的函數(shù).這樣在任意時(shí)刻t,系統(tǒng)的密度算符能夠表示為

最后,利用方程(7)或方程(8),通過直接的代數(shù)運(yùn)算獲得待測參數(shù)θ的量子Fisher 信息F(ρ(θ))為

像預(yù)期的一樣,當(dāng)考慮系統(tǒng)最初處在最優(yōu)化純態(tài) |ψin〉=|ψo(hù)pt〉=,即ρeg(0)=1/2,且h(t)為實(shí)數(shù)時(shí),量子Fisher 信息F(ρ(θ))恰好簡化成文獻(xiàn)[18]中的結(jié)果,即F(ρ(θ))=h2(t).

這樣,根據(jù)方程(4),對(duì)于基于量子Fisher 信息的非馬爾科夫性能夠表示如下:

其中含時(shí)的衰減率γ(t)=.等價(jià)地,相應(yīng)非馬爾科夫過程發(fā)生的條件可以用下列關(guān)系式來表示:

方程(16)清楚地顯示: 用量子Fisher 信息見證零溫度振幅耗散模型中非馬爾科夫過程發(fā)生的條件,即γ(t)＜0,同其他非馬爾科夫度量,如跡距離[47]、映射的可分性[47]、量子互熵[48]及量子Fisher 信息矩陣[26]給出的條件是相同的.另外,觀察方程(15)不難發(fā)現(xiàn)一個(gè)值得注意的特征,即方程(15)最大化的要求其實(shí)可以被移除,但不影響它見證非馬爾科夫過程的有效性.換句話說.用量子Fisher 信息來檢測非馬爾科夫過程發(fā)生的有效性或靈敏度是與系統(tǒng)初態(tài)的選擇無關(guān)的.對(duì)于零溫度振幅耗散模型,也存在一些與系統(tǒng)初態(tài)選擇無關(guān)的非馬爾科夫度量,如基于跡距離[41]和量子l1范數(shù)相干性[28]等.以上研究結(jié)果顯示,利用量子Fisher 信息可以提供一種可選擇的與系統(tǒng)初態(tài)無關(guān)的非馬爾科夫度量.注意到,文獻(xiàn)[18]中考慮的系統(tǒng)最初處在最優(yōu)化純態(tài) |ψin〉=|ψo(hù)pt〉=(|g〉+|e〉)/,即ρeg(0)=1/2,正好是使得方程(15)取得最大值的初態(tài).而我們的結(jié)果延伸了文獻(xiàn)[18]的結(jié)果,將系統(tǒng)初態(tài)為純態(tài)的情況推廣到了任意混合態(tài)的情況,這是本文獲得的主要結(jié)果之一.為了進(jìn)一步直觀顯示基于量子Fisher 信息的非馬爾科夫度量是否與同系統(tǒng)初態(tài)有關(guān),圖 1 給出了在不同系統(tǒng)初態(tài)下NQFI隨參數(shù)λ的變化關(guān)系.對(duì)于零溫度振幅耗散通道模型,這里假設(shè)二能級(jí)系統(tǒng)的本征頻率與環(huán)境庫的中心頻率是相同的即共振情況,且環(huán)境庫的譜密度是洛倫茲譜密度[1]

時(shí),h(t)存在下列的解析表達(dá)式[1]:

其中d=,λ表示耦合的譜寬度,它與環(huán)境庫的關(guān)聯(lián)時(shí)間尺度τB的關(guān)系為τB=λ-1;γ0表示系統(tǒng)和環(huán)境的耦合強(qiáng)度,它與系統(tǒng)的弛豫時(shí)間尺度τR的關(guān)系為τR=.從圖 1 可以明顯地看到,對(duì)于不同系統(tǒng)初態(tài)(如|ρeg(0)|=3/10→2/5→1/2),雖然NQFI的初始值有所不同,但它們隨λ的增加呈單調(diào)遞減的關(guān)系,以及變化趨勢都是相同的.這與之前得到的結(jié)果也完全符合: 基于量子Fisher 信息的非馬爾科夫度量在見證零溫度振幅耗散通道模型中非馬爾科夫過程時(shí)的有效性確實(shí)與系統(tǒng)初態(tài)選擇是無關(guān)的.另外,對(duì)于不同的系統(tǒng)初態(tài),NQFI之所以隨λ的增加而單調(diào)遞減,其原因是: 耦合的譜寬度λ與環(huán)境庫的關(guān)聯(lián)時(shí)間尺度τB有以下關(guān)系:τB=λ-1,這樣,越大的λ意味著環(huán)境庫的關(guān)聯(lián)時(shí)間越短,從環(huán)境庫流回系統(tǒng)的信息或能量就會(huì)越少,從而導(dǎo)致非馬爾科夫效應(yīng),即NQFI隨λ的增加而單調(diào)遞減.

圖1 在不同系統(tǒng)初態(tài)(這里用不同初態(tài)對(duì)應(yīng)的非對(duì)角元值 |ρeg(0)| 來表示)下 NQFI 隨參數(shù) λ 的變化Fig.1.Non-Markovianity NQFI as a function of λ for different initial states of system denoted by their off-diagonal elements |ρeg(0)|.

3.2 非馬爾科夫相位衰減通道

本節(jié)繼續(xù)研究利用一個(gè)相位參數(shù)的量子Fisher 信息來量化一個(gè)二能級(jí)系統(tǒng)受到一非馬爾科夫相位衰減通道作用時(shí)其非馬爾科夫效應(yīng)問題.類似于3.1 節(jié)對(duì)于處理非馬爾科夫零溫度振幅耗散通道的方案,假設(shè)一個(gè)二能級(jí)系統(tǒng)受到一非馬爾科夫相位衰減通道作用之前處在方程(10)所示的量子態(tài).而一個(gè)二能級(jí)系統(tǒng)在經(jīng)歷一個(gè)非馬爾科夫相位衰減通道作用時(shí),系統(tǒng)的密度算符的演化遵循下列的主方程[1]:

因此,處于方程(10)所示量子態(tài)的二能級(jí)系統(tǒng)按方程(19)所示的規(guī)律演化,最終該二能級(jí)系統(tǒng)在任意時(shí)刻t的密度算符能夠被寫成:

其中f(t)=.根據(jù)方程(7)或方程(8),通過一些簡單的計(jì)算,不難得到相位參數(shù)θ的量子Fisher 信息為

相應(yīng)地,根據(jù)方程(4),基于量子Fisher 信息的非馬爾科夫性能夠被獲得如下:

顯然,對(duì)于相位衰減通道中非馬爾科夫過程發(fā)生的條件χ(t)＞0 等價(jià)于γ(t)＜0.這個(gè)非馬爾科夫條件與用其他非馬爾科夫度量,如跡距離[47]、映射的可分性[47]、量子互熵[48]及量子Fisher 信息矩陣[26]等給出的條件是相同的.類似地,在方程(22)中的最大化的要求也可以被移除,而不影響用量子Fisher 信息來測度非馬爾科夫過程的有效性.

3.3 非馬爾科夫隨機(jī)幺正通道

進(jìn)一步,考慮當(dāng)一個(gè)二能級(jí)量子系統(tǒng)與一個(gè)隨機(jī)幺正通道相互作用模型,該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)演化可以用下列唯象的主方程[47]來描述:

這里,γi(t)(i=1,2,3)表示含時(shí)的衰減系數(shù),σi(i=1,2,3)表示著名的泡利矩陣.明顯地,隨機(jī)幺正通道模型是相位衰減通道模型的一個(gè)推廣模型,即它除了考慮相位衰減通道模型中σz(σ3)以外,同時(shí)還考慮了σx(σ1)和σy(σ2)的影響.

等價(jià)地,主方程(23)可以寫成以下兩種表示形式:

這里,σ0=I,pi(t)≥0 以及=1.特別地,在t=0 時(shí),由Φ0=I得到p0(0)=1 以及pi(0)=0(i=1,2,3).另外,方程(24)和方程(25)中的參數(shù)pi(t)和λi(t)之間有下列關(guān)系:

注意到,方程(25)揭示了隨機(jī)幺正通道作用在泡利矩陣上的運(yùn)算規(guī)則,那么系統(tǒng)的初態(tài)被選擇成布洛赫球形式比較方便,這樣,系統(tǒng)在經(jīng)歷隨機(jī)幺正通道作用之前的態(tài)可表示成

在方程(25)所示的映射作用下,系統(tǒng)在任意時(shí)刻t的態(tài)可被獲得如下:

利用方程(7)或方程(8),可以給出相位參數(shù)θ的量子Fisher 信息的解析表達(dá)式如下:

因?yàn)殡S機(jī)幺正通道涉及到多個(gè)通道情況,其非馬爾科夫過程發(fā)生的條件有點(diǎn)復(fù)雜,現(xiàn)在大多數(shù)文獻(xiàn)研究這個(gè)模型的時(shí)候都集中在馬爾科夫條件上.因?yàn)橐坏R爾科夫條件中某個(gè)子條件被違反,則意味著系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)是非馬爾科夫的.對(duì)于相同的隨機(jī)幺正通道,Chruscinski 和Wudarski[47]研究顯示,基于跡距離和映射的可分性的馬爾科夫條件是不完全等價(jià)的;Jiang 和Luo[48]研究顯示,基于量子互熵、跡距離以及映射的可分性的馬爾科夫條件是不完全等價(jià)的;Song 等[26]研究顯示,基于量子Fisher信息矩陣、量子互熵和跡距離的馬爾科夫條件是不完全等價(jià)的.He 等[40]研究顯示,基于量子相對(duì)熵相干性、跡距離、映射的可分性以及量子互熵的馬爾科夫條件也是不完全等價(jià)的.所以,這里也只研究該模型中基于量子Fisher 信息的馬爾科夫條件.從方程(30)容易得到,基于量子Fisher 信息的馬爾科夫條件χ(t)≤0 等價(jià)于當(dāng)且僅當(dāng)γ2(t)+γ3(t)≥0和γ1(t)+γ3(t)≥0.明顯地,該馬爾科夫條件同基于跡距離的馬爾科夫條件(如當(dāng)且僅當(dāng)γ1(t)+γ2(t)≥0,γ1(t)+γ3(t)≥0,γ2(t)+γ3(t)≥0)、基于映射的可分性的馬爾科夫條件(如當(dāng)且僅當(dāng)γ1(t)≥0,γ2(t)≥0,γ3(t)≥0)是不完全等價(jià)的.為了更具體地同其他非馬爾科夫度量的馬爾科夫條件進(jìn)行比較,這里主要考慮一類特殊情況:pi(t)=αi(1-p0(t))(i=1,2,3),且α1=α2=α,α3=1-2α(α∈[0,1/2]).那么,基于量子Fisher 信息的馬爾科夫條件γ2(t)+γ3(t)≥0 以及γ1(t)+γ3(t)≥0 能簡化為

其中,定義ν(α)=2(1-α)p0(t)+2α.文獻(xiàn)[40]給出了在這種特殊情況下基于跡距離和映射的可分性的馬爾科夫條件為

其中,定義μ(α)=4αp0(t)+2(1-2α)和Q(α)=2p0(t)α(1-α)+2(1-α)2.一般來說,方程(31)-(33)所示的馬爾科夫條件是不同的,但在某些具體參數(shù)α下也有相同的情況.表1 列出了幾種流行的非馬爾科夫度量對(duì)不同的α值的馬爾科夫條件的比較情況.

表1 中基于量子互熵和量子Fisher 矩陣的馬爾科夫條件的數(shù)據(jù)已經(jīng)在文獻(xiàn)[26]中給出.

表1 幾種流行的非馬爾科夫度量對(duì)不同 α 值的馬爾科夫條件比較Table 1.Comparisons of the Markovian conditions for some popular non-Markovian measures under different α.

從表1 不難看出3 個(gè)有用的信息: 1)當(dāng)選擇α=1/3 時(shí),表格中的五種非馬爾科夫度量對(duì)應(yīng)的馬爾科夫條件都是相同的;2)當(dāng)選擇α=1/4 時(shí),除了量子互信息外的其他四種非馬爾科夫度量對(duì)應(yīng)的馬爾科夫條件也都是相同的,且與其他度量相比,基于量子互信息對(duì)應(yīng)的馬爾科夫條件是更廣一些;3)當(dāng)選擇α=2/5 時(shí),這五種非馬爾科夫度量對(duì)應(yīng)的馬爾科夫條件則是完全不同的,且與其他度量相比,基于量子Fisher 信息對(duì)應(yīng)的馬爾科夫條件更廣一些.特別地,與量子Fisher 信息矩陣相比,基于量子Fisher 信息對(duì)應(yīng)的馬爾科夫條件也是更廣一些.另外也注意到,雖然量子Fisher 信息與量子相對(duì)熵相干性[49]是兩個(gè)完全不同的物理量,且表達(dá)式也不同,但當(dāng)選擇α=2/5 時(shí),基于量子Fisher 信息對(duì)應(yīng)的馬爾科夫條件p0(t)≥0.167 同利用量子相對(duì)熵相干性給出的條件[40]是相同的.其原因可能是在考慮具體的通道參數(shù)(如p1(t)=p2(t)=α(1-p0(t)))導(dǎo)致γ1(t)=γ2(t).因此,對(duì)于隨機(jī)幺正通道各種非馬爾科夫度量給出的馬爾科夫條件是否等價(jià)與通道的參數(shù)密切相關(guān).

另外也注意到,對(duì)于相同的隨機(jī)幺正通道模型基于量子Fisher 信息的馬爾科夫條件,如γ2(t)+γ3(t)≥0和γ1(t)+γ3(t)≥0,同我們之前的工作[28]中利用量子l1范數(shù)相干性給出的馬爾科夫條件是相同的.這是否暗示著量子 Fisher信息和量子態(tài)的量子l1范數(shù)相干性之間存在某種密切的聯(lián)系? 通過直接計(jì)算不難發(fā)現(xiàn): 不管是隨機(jī)幺正通道還是零溫度振幅耗散通道和相位衰減通道模型,相位參數(shù)的量子Fisher 信息都恰好等于系統(tǒng)演化態(tài)中的量子l1范數(shù)相干性的平方,即F(ρ(θ))=,其中是著名的量子l1范數(shù)相干性[49].注意到,對(duì)于單個(gè)兩能級(jí)系統(tǒng),在一般的參數(shù)化背景下也存在一個(gè)類似的關(guān)系[50].然而,這里需要說明的是,這個(gè)關(guān)系可能只對(duì)二能級(jí)系統(tǒng)是適用的,對(duì)多維系統(tǒng)是不成立的.其原因是: 在多維系統(tǒng)的量子態(tài)上作參數(shù)化處理時(shí),可能不是所有的非對(duì)角元都帶參數(shù)信息,而二能級(jí)系統(tǒng)只有一個(gè)非對(duì)角元且參數(shù)信息恰好在非對(duì)角元上,從而導(dǎo)致它是一個(gè)特殊情況.如預(yù)期的一樣,當(dāng)選擇γ1(t)=γ2(t)=0時(shí),隨機(jī)幺正通道的非馬爾科夫條件簡化成相位衰減通道對(duì)應(yīng)的條件.另外,通過簡單的計(jì)算不難發(fā)現(xiàn): 一種特殊的非馬爾科夫過程,即所謂永久的非馬爾科夫過程(eternal non-Markovian process[35],其各種通道的衰減系數(shù)滿足γ1(t)=γ2(t)=1/2,γ3(t)=-tanht/2)不能用量子Fisher 信息流來判定其非馬爾科夫過程的發(fā)生.因?yàn)榭紤]到γ1(t)+γ3(t)=γ2(t)+γ3(t)=(1-tanht)/2＞0,這樣導(dǎo)致χ(t)總會(huì)小于零.其實(shí),這是利用一些量子信息度量在跡保守且完全正定映射下具有非增性的性質(zhì)來量化開放系統(tǒng)中的非馬爾科夫效應(yīng)時(shí)的局限之一.例如著名的跡距離、量子糾纏、量子互熵和量子Fisher 信息矩陣等都有類似的局限性[35].綜合以上三個(gè)典型的非馬爾科夫衰減通道的研究結(jié)果看,同跡距離一樣,基于量子Fisher 信息的非馬爾科夫度量可能也是一種與系統(tǒng)初態(tài)無關(guān)的度量方式,這對(duì)文獻(xiàn)[18]中的結(jié)果是一個(gè)重要的補(bǔ)充.量子Fisher 信息的這個(gè)優(yōu)點(diǎn)是否適用于其他非馬爾可夫模型,還待于進(jìn)一步研究,但我們認(rèn)為它至少對(duì)于單個(gè)兩能級(jí)系統(tǒng)經(jīng)歷單個(gè)衰減通道作用模型是成立的.當(dāng)然,基于量子Fisher 信息的非馬爾科夫度量也有其自身的局限性,如一個(gè)系統(tǒng)初始態(tài)如果不帶量子Fisher 信息,那么該系統(tǒng)與環(huán)境相互作用時(shí),信息依然會(huì)在系統(tǒng)與環(huán)境之間不斷進(jìn)行交換,顯然,量子Fisher 信息就不能用來見證非馬爾科夫過程.總之,各種非馬爾科夫度量對(duì)于單個(gè)耗散通道情況中馬爾科夫或非馬爾科夫效應(yīng)的量化都能給出彼此等價(jià)的條件.然而,它們?cè)诹炕鄠€(gè)通道,如隨機(jī)幺正通道時(shí)則給出不完全等價(jià)的馬爾科夫或非馬爾科夫條件,這也是人們持續(xù)關(guān)注非馬爾科夫過程度量問題的興趣所在.

4 結(jié)論

本文對(duì)于單個(gè)開放的兩能級(jí)系統(tǒng),已經(jīng)將基于量子Fisher 信息的非馬爾科夫度量由系統(tǒng)初態(tài)為純態(tài)的情況推廣到系統(tǒng)初態(tài)為任意態(tài)的情況.具體地,通過三種典型的耗散通道模型驗(yàn)證了這一有用的結(jié)果.在探索開放系統(tǒng)中的非馬爾科夫機(jī)制時(shí),尋找一種與系統(tǒng)初態(tài)選擇無關(guān)的非馬爾科夫測度方式不管在理論研究還是實(shí)驗(yàn)角度看都是非常有用的.一方面是只需要關(guān)注系統(tǒng)受到外界環(huán)境的影響而不需要關(guān)心系統(tǒng)自身的量子態(tài);另一方面,它也降低了在實(shí)驗(yàn)上驗(yàn)證開放系統(tǒng)中非馬爾科夫效應(yīng)時(shí)對(duì)于系統(tǒng)初態(tài)制備的要求,簡化了實(shí)驗(yàn)的操作性.總之,本文的結(jié)果完善了用量子Fisher 信息來檢測開放系統(tǒng)中非馬爾科夫效應(yīng)的應(yīng)用范圍,可能在開放系統(tǒng)中的非馬爾科夫機(jī)制研究上有一定的理論指導(dǎo)意義.在本文結(jié)束之前,有必要對(duì)開放量子系統(tǒng)中非馬爾科夫過程發(fā)生的物理機(jī)制作一個(gè)簡要的說明.通常地,開放量子系統(tǒng)中的非馬爾科夫過程基本都是用從系統(tǒng)流向環(huán)境的信息在某些時(shí)間段會(huì)流回系統(tǒng)來解釋[14],也就是說信息的存儲(chǔ)要么處于開放系統(tǒng)中,要么處于環(huán)境中.有趣的是,文獻(xiàn)[51]提出了一個(gè)不同的觀點(diǎn),即量子Fisher信息并不僅僅是存儲(chǔ)在系統(tǒng)和環(huán)境里,它還可以存在于系統(tǒng)和環(huán)境的關(guān)聯(lián)之中.這個(gè)新穎的觀點(diǎn)可能給開放量子系統(tǒng)中的非馬爾科夫過程提供一個(gè)更為準(zhǔn)確的物理解釋,但目前還沒有一個(gè)統(tǒng)一的結(jié)論,這留給我們今后進(jìn)一步深入研究.