可調(diào)自旋-軌道耦合玻色-愛因斯坦凝聚體的隧穿動力學*

馬赟娥 喬鑫 高瑞 梁俊成 張愛霞 薛具奎

(西北師范大學物理與電子工程學院,蘭州 730070)

研究了在周期驅(qū)動拉曼耦合下的可調(diào)自旋-軌道耦合玻色-愛因斯坦凝聚體的能帶結(jié)構(gòu)、非線性朗道-齊納隧穿動力學以及隧穿率.利用高頻近似得到了與時間無關(guān)的Floquet 哈密頓量,發(fā)現(xiàn)周期驅(qū)動可以有效地調(diào)控自旋-軌道耦合和非線性相互作用.與兩能級模型對比,解析地得到了能帶出現(xiàn)loop 的臨界條件以及l(fā)oop的寬度.研究發(fā)現(xiàn),當種內(nèi)原子間相互作用等于種間原子間相互作用時,不出現(xiàn)loop 結(jié)構(gòu).而當種內(nèi)原子間相互作用小于(大于)種間原子間相互作用時,loop 出現(xiàn)在下(上)能帶.此時,自旋-軌道耦合和拉曼耦合都會抑制loop 的出現(xiàn).特別地,通過調(diào)節(jié)外部驅(qū)動能控制能帶出現(xiàn)loop 結(jié)構(gòu)的臨界條件.還研究了可調(diào)自旋-軌道耦合玻色-愛因斯坦凝聚體的隧穿動力學.通過調(diào)節(jié)周期驅(qū)動強度可以調(diào)控系統(tǒng)的隧穿動力學,控制在動量空間發(fā)生非線性朗道-齊納隧穿的位置,并使系統(tǒng)的自旋組分發(fā)生翻轉(zhuǎn).最后計算了系統(tǒng)的朗道-齊納隧穿率,研究表明周期驅(qū)動能夠有效調(diào)控系統(tǒng)的隧穿率.

1 引言

冷原子中合成人工自旋-軌道耦合的實現(xiàn)使得研究高度可控的玻色-愛因斯坦凝聚體中的許多奇異的量子現(xiàn)象成為可能[1-3].在固態(tài)材料中,電子在晶體的本征電場中的運動產(chǎn)生了自旋-軌道耦合,而對中性原子來說可以通過控制光與原子的相互作用來實現(xiàn),2011 年由NIST 小組[4]首次在實驗上設(shè)計實現(xiàn).目前已經(jīng)展開了很多關(guān)于自旋-軌道耦合玻色-愛因斯坦凝聚體的理論研究,如隧穿動力學、基態(tài)相圖[5-8]、非線性動力學[9-13]、非常規(guī)集體偶極振蕩[14]、晶格中超流到莫特絕緣體的轉(zhuǎn)變[15]、條紋相內(nèi)激發(fā)譜中的超固體特征[16,17]以及有趣的相對論效應(yīng)模擬[18,19].對于雙組分自旋-軌道耦合玻色-愛因斯坦凝聚體,其能帶有兩條,呈雙阱結(jié)構(gòu)且隨著相互作用的增大能帶出現(xiàn)loop 結(jié)構(gòu).這與普通的玻色-愛因斯坦凝聚體完全不同,極大豐富了系統(tǒng)的基態(tài)相變[5,7,20,21]和集體動力學[9,22-24].最近的理論研究表明,通過施加弱驅(qū)動力加速可以導致系統(tǒng)兩個能帶之間發(fā)生朗道-齊納隧穿,這在實驗和理論上都得到了證實[25-27].

在過去的幾年中,周期驅(qū)動量子系統(tǒng)引起了越來越多的關(guān)注[28].實驗上通過周期驅(qū)動來實現(xiàn)一個有效Floquet 哈密頓量,使得量子系統(tǒng)的物理可被與時間無關(guān)的有效Floquet 哈密頓控制[29,30],從而實現(xiàn)了可調(diào)自旋-軌道耦合[31].在自旋-軌道耦合玻色-愛因斯坦凝聚體中,周期驅(qū)動也被用于誘導和調(diào)控光晶格系統(tǒng)中的自旋-軌道耦合[32],即可以通過快速相干調(diào)制拉曼激光強度來調(diào)控[33,34].在深光晶格中可調(diào)自旋-軌道耦合的玻色-愛因斯坦凝聚體也可產(chǎn)生平帶和動力學局域化[29,35].最近發(fā)現(xiàn),自由空間中可調(diào)自旋-軌道耦合玻色-愛因斯坦凝聚體的相變可通過外部驅(qū)動調(diào)節(jié)[36].因此,可調(diào)自旋-軌道耦合玻色-愛因斯坦凝聚體中有著豐富的能帶結(jié)構(gòu)和動力學現(xiàn)象,是一個非常有意義的研究系統(tǒng).但是,通過拉曼耦合的周期性驅(qū)動如何調(diào)控系統(tǒng)的能帶結(jié)構(gòu)和隧穿動力學仍不清楚,因此本文深入研究了可調(diào)自旋-軌道耦合玻色-愛因斯坦凝聚體的能帶結(jié)構(gòu)和隧穿動力學.

與兩能級模型對比,解析地得到了能帶出現(xiàn)loop 的臨界條件以及l(fā)oop 的寬度.研究發(fā)現(xiàn),當種內(nèi)原子間相互作用等于種間原子間相互作用時,不出現(xiàn)loop 結(jié)構(gòu),而當種內(nèi)原子間相互作用小于(大于)種間原子間相互作用時,loop 出現(xiàn)在下(上)能帶.此時,自旋-軌道耦合和拉曼耦合都會抑制loop的出現(xiàn).有趣的是,出現(xiàn)loop 的臨界條件和loop寬度隨周期驅(qū)動強度呈周期性變化.能帶不存在loop 結(jié)構(gòu)時,周期驅(qū)動強度不改變系統(tǒng)的動力學,即原子沿能帶平穩(wěn)的演化發(fā)生了自旋交換.當出現(xiàn)loop 結(jié)構(gòu)時,周期驅(qū)動強度的變化使得系統(tǒng)的動力學出現(xiàn)了從非線性朗道-齊納隧穿到自旋交換動力學的周期性變化,并且使得系統(tǒng)的自旋組分發(fā)生了翻轉(zhuǎn).特別地,周期驅(qū)動強度的變化可以精確調(diào)控發(fā)生非線性朗道-齊納隧穿動力學的位置.最后計算了系統(tǒng)的隧穿率,研究表明系統(tǒng)的隧穿率可由自旋-軌道耦合、拉曼耦合和周期驅(qū)動強度操控.

2 理論模型和能帶結(jié)構(gòu)

2.1 理論模型

考慮由Rashba 型和Dresselhaus 型等權(quán)疊加的贗自旋為1/2 的自旋-軌道耦合玻色-愛因斯坦凝聚體.在平均場近似下,玻色-愛因斯坦凝聚體可由以下無量綱的Gross-Pitaevskii(G-P)方程描述[29]:

其中,Φ=(Φ1,Φ2)T是兩組分凝聚體波函數(shù),而系統(tǒng)單粒子哈密頓量H0=+Vext,其中px是x方向的動量算符,k0是自旋-軌道耦合強度,Ω是拉曼耦合,Vext是外部囚禁勢,是泡利矩陣.HI是系統(tǒng)原子間相互作用哈密頓量.無量綱的兩體相互作用可以表示為[37]

不失一般性,考慮g11=g22=g.

為了實現(xiàn)可調(diào)的自旋-軌道耦合,考慮一個周期性驅(qū)動的拉曼耦合,

其中,Ω0是拉曼耦合的常數(shù)部分,ΩM是調(diào)制振幅,ω是調(diào)制頻率,該方案可以在實驗中通過改變拉曼激光強度實現(xiàn).調(diào)制頻率ω的選擇比系統(tǒng)中的其他能量尺度要大得多,在這種高頻情況下,可以用高頻近似來抵消拉曼耦合中隨時間變化的調(diào)制項,這已被數(shù)值模擬及實驗結(jié)果證實[29,30].為此,引入幺正變換[34]:

其中Ψ=(Ψ1,Ψ2)T是變換后的凝聚體波函數(shù).

因此,根據(jù)Floquet 理論[34]變換之后的哈密頓量可以表示為

其中,J0(χ)是第一類零階貝塞爾函數(shù),χ=ΩM/ω是拉曼耦合的周期性驅(qū)動強度.此時兩體相互作用的哈密頓量變換為

發(fā)現(xiàn)經(jīng)過高頻近似后系統(tǒng)在非對角項中出現(xiàn)了新的相互作用項g3,這是由于相互作用不具有SU(2)對稱性(即gg12)所導致的.如果相互作用具有SU(2)對稱性(即g=g12),則非對角項消失,此時相互作用與周期調(diào)制無關(guān).從物理上看,相互作用哈密頓量非對角項出現(xiàn)的原因是gg12時相互作用哈密頓量和自旋算符不對易,相互作用哈密頓量和自旋算符沒有共同的本征函數(shù)系,所以進行自旋相關(guān)的幺正變換以后相互作用哈密頓量就會出現(xiàn)非對角的矩陣元.

假設(shè)試探波函數(shù)Ψ=,不考慮外部囚禁勢(Vext=0),將試探波函數(shù)代入G-P方程可得到如下玻色-愛因斯坦凝聚體的動力學方程:

考慮系統(tǒng)的基態(tài),假設(shè)φ=e-iμtφ(φ=(φ1,φ2)T),可得到系統(tǒng)的能量方程:

數(shù)值求解方程(9)可得到系統(tǒng)在不同相互作用關(guān)系下的能帶結(jié)構(gòu).對于雙組分的自旋-軌道耦合玻色-愛因斯坦凝聚體,系統(tǒng)能帶有兩條.從方程(9)可以看出,周期驅(qū)動拉曼耦合修正了系統(tǒng)的自旋-軌道耦合項和非線性相互作用項.因此可以通過周期驅(qū)動拉曼耦合調(diào)控系統(tǒng)的基態(tài)能量μ進一步改變系統(tǒng)的基態(tài)能帶結(jié)構(gòu).

2.2 能帶結(jié)構(gòu)

圖1 是在不同系統(tǒng)參數(shù)下的能帶.顯然,系統(tǒng)的能帶結(jié)構(gòu)可以由周期驅(qū)動強度χ調(diào)控.從圖1 可以發(fā)現(xiàn),能帶在k=0 處出現(xiàn)了loop 結(jié)構(gòu),且隨著相互作用關(guān)系的變化,loop 可出現(xiàn)在上能帶或下能帶.當種內(nèi)原子間相互作用小于種間原子間相互作用時(g＜g12)loop 出現(xiàn)在下能帶,且隨著周期驅(qū)動強度χ的增加loop 寬度逐漸減小出現(xiàn)尖點,見圖1(a1)和圖1(a2).而當種內(nèi)原子間相互作用大于種間原子間相互作用時(g＞g12),loop 出現(xiàn)在上能帶,此時增加周期驅(qū)動強度χ也使得能帶的loop寬度減小并且出現(xiàn)尖點,直至能帶光滑,見圖1(c1)和圖1(c2).特別地,當兩者相等時(g=g12),不出現(xiàn)loop 結(jié)構(gòu).此時雖然增大了周期驅(qū)動強度χ,但是能帶中仍然不出現(xiàn)loop 結(jié)構(gòu),僅改變了能帶的形狀,見圖1(b1)和圖1(b2).如圖1 的第一列和第三列所示,自旋-軌道耦合和拉曼耦合增大可以有效減小loop 的寬度.因此系統(tǒng)loop 結(jié)構(gòu)的存在由自旋-軌道耦合、拉曼耦合和周期驅(qū)動強度的耦合效應(yīng)所決定,實驗中可以通過改變周期驅(qū)動的驅(qū)動強度有效操控loop 的出現(xiàn).

為了詳細研究圖1 中所展示的各參數(shù)對能帶結(jié)構(gòu)的影響,下面將其映射到非線性兩能級模型中,研究能帶出現(xiàn)loop 結(jié)構(gòu)的臨界條件.通過使用歸一化條件|φ1|2+|φ2|2=1,可以將方程(9)寫成μntlφ=Hntlφ,其中

圖1 動量空間中不同相互作用關(guān)系下的能帶結(jié)構(gòu)(a1),(a2)g=0.0＜g12=0.7;(b1),(b2)g=g12=0.7;(c1),(c2)g=1.5＞g12=0.7Fig.1.Energy band structure in momentum space under different interactions:(a1),(a2)g=0.0＜g12=0.7;(b1),(b2)g=g12=0.7;(c1),(c2)g=1.5＞g12=0.7.

則非線性兩能級哈密頓量可寫為如下形式:

其中σi是泡利矩陣.(10)式中第一項是等效自旋-軌道耦合能,第二項是等效非線性相互作用能,第三項是拉曼耦合能.拉曼耦合使上下能帶發(fā)生耦合,并使能帶免交叉,且在k=0 處產(chǎn)生間距為Ω0的帶隙.而能帶在k=0 處出現(xiàn)loop 結(jié)構(gòu)主要是拉曼耦合能和等效相互作用能之間競爭的結(jié)果.只有當?shù)刃Х蔷€性相互作用能占優(yōu),即等效非線性相互作用能大于拉曼耦合能時能帶才會出現(xiàn)loop 結(jié)構(gòu).當種內(nèi)原子間相互作用與種間原子間相互作用相等時(g12=g),等效相互作用能為0,此時能帶無法出現(xiàn)loop 結(jié)構(gòu).則可以得到出現(xiàn)loop 結(jié)構(gòu)的臨界條件為=Ω0.loop 結(jié)構(gòu)出現(xiàn)在上能帶還是下能帶是由等效非線性相互作用是吸引還是排斥決定的.當種間原子相互作用占優(yōu)時(即g＜g12),＞0,等效非線性相互作用能為排斥的,loop 結(jié)構(gòu)出現(xiàn)在下能帶,而當種內(nèi)原子間相互作用占優(yōu)時(即g＞g12),＜0,等效非線性相互作用能為吸引的,loop 出現(xiàn)在上能帶.為了更為直接地展示不同參數(shù)對出現(xiàn)loop 結(jié)構(gòu)的影響,在圖2 中給出了不同種內(nèi)原子間相互作用下,出現(xiàn)loop 結(jié)構(gòu)的臨界拉曼耦合Ω0的變化圖.可以看出,g-Ω0平面對于固定的種內(nèi)原子間相互作用g,存在一個臨界拉曼耦合Ωc,只有Ω0＜Ωc能帶才能出現(xiàn)loop 結(jié)構(gòu),而且臨界拉曼耦合隨著周期驅(qū)動強度χ的增大先減小后增大.當g＜g12時,等效非線性相互作用是排斥的,下能帶出現(xiàn)loop 結(jié)構(gòu).而g＞g12時,等效非線性相互作用是吸引的,上能帶出現(xiàn)loop 結(jié)構(gòu),并且Ωc隨著|g12-g|的增大而增大.

圖2 不同周期驅(qū)動強度下能帶出現(xiàn)loop 結(jié)構(gòu)的臨界拉曼耦合 Ω0 隨種內(nèi)原子間相互作用的變化規(guī)律.g12=0.7.圖中“Loop down”表示loop 出現(xiàn)在下能帶,“Loop up”表示loop 出現(xiàn)在上能帶Fig.2.Critical Raman coupling Ω0 as a function of intraspecies atomic interaction for different periodic driving strength with g12=0.7 .“Loop down” means that the loop appears in lower band,while “Loop up” means that the loop appears in upper band.

從圖2 可以看出,周期驅(qū)動強度對能帶出現(xiàn)loop 結(jié)構(gòu)有著非常顯著的影響.為了更直觀地展示周期驅(qū)動強度對于出現(xiàn)loop 結(jié)構(gòu)的臨界條件的影響,圖3(a)和圖3(b)分別給出了g＜g12和g＞g12情況下隨周期驅(qū)動強度χ變化的出現(xiàn)loop 結(jié)構(gòu)的臨界拉曼耦合圖.可以看出,與圖2 類似,在χ-Ω0平面內(nèi)對于一個確定的驅(qū)動強度χ,存在一個臨界拉曼耦合Ωc,且Ωc隨著種內(nèi)原子間相互作用g的變化而變化.當種內(nèi)原子間相互作用g一定時,臨界拉曼耦合Ωc的值隨著周期驅(qū)動強度χ的增大先減小后增大之后又減小,呈周期性變化.總的來說,能帶中出現(xiàn)loop 的臨界拉曼耦合Ωc隨著周期驅(qū)動χ的變化呈貝塞爾函數(shù)型變化.周期驅(qū)動通過調(diào)控自旋-軌道耦合能和等效非線性相互作用能的大小,進而改變能帶出現(xiàn)loop 的臨界條件和loop 結(jié)構(gòu)的大小.但改變周期驅(qū)動強度并不能改變等效非線性相互作用能的符號,因此僅改變loop 結(jié)構(gòu)的大小.

圖3 不同種內(nèi)原子間相互作用下出現(xiàn)loop 的臨界拉曼耦合 Ω0 隨周期驅(qū)動強度 χ 的變化規(guī)律(a)g＜g12;(b)g＞g12.g12=0.7.圖中“Loop down”表示loop 出現(xiàn)在下能帶,“Loop up”表示loop 出現(xiàn)在上能帶Fig.3.Critical Raman coupling Ω0 as a function of periodic driving strength for different intraspecies atomic interaction:(a)g＜g12;(b)g＞g12 .The other parameters are g12=0.7.“Loop down” means that the loop appears in lower band,while“Loop up” means that the loop appears in upper band.

能帶中出現(xiàn)loop 后,其在動量空間存在的區(qū)域為-kc≤k≤kc,其中

因此loop 的寬度為 2kc.圖4 詳細展示了自旋-軌道耦合強度k0、拉曼耦合Ω0和周期驅(qū)動強度χ在g＜g12(圖4(a1)和圖4(a2))和g＞g12(圖4(b1)和圖4(b2))的情況下對loop 寬度的耦合效應(yīng).當g＜g12且Ω0一定時,loop 寬度隨著周期驅(qū)動強度χ的增加先減小至0 后又增加,繼續(xù)增大χ,loop寬度又減小(圖4(a1)).同樣可以發(fā)現(xiàn),g＞g12且Ω0一定時,周期驅(qū)動強度對loop 寬度的影響與g＜g12時相同(圖4(a2)).從圖4 也可以看出,當周期驅(qū)動強度χ一定時,在不同相互作用關(guān)系下,隨著自旋-軌道耦合強度k0和拉曼耦合Ω0的增大,loop 的寬度都減小,也就是抑制了loop 結(jié)構(gòu)的出現(xiàn).總的來說,發(fā)現(xiàn)自旋-軌道耦合強度k0、拉曼耦合Ω0和周期驅(qū)動強度χ對loop 寬度存在耦合效應(yīng).尤其是周期驅(qū)動強度χ的變化使得能帶中l(wèi)oop 寬度的變化呈現(xiàn)復雜的周期性,這是可調(diào)自旋-軌道耦合玻色-愛因斯坦凝聚體中特有的現(xiàn)象.

圖4 (a1),(a2)g＜g12(g=0.2＜g12=0.7)時不同自旋-軌道耦合強度 k0 下loop 寬度隨 χ 的變化規(guī)律(Ω0=0.3);(b1),(b2)g＞g12(g=1.5＞g12=0.7)時不同拉曼耦合 Ω0 下loop 寬度隨 χ 的變化規(guī)律(k0=1)Fig.4.(a1),(a2)Loop width as a function of χ for various spin-orbit coupled strength k0 when g＜g12(g=0.2＜g12=0.7)with Ω0=0.3;(b1),(b2)loop width as a function of χ for various Raman coupling Ω0 when g＞g12(g=1.5＞g12=0.7)with k0=1.

3 隧穿動力學

由于原子間非線性相互作用存在,使得能帶出現(xiàn)loop 結(jié)構(gòu).從第2 節(jié)可以發(fā)現(xiàn),周期驅(qū)動可以有效地調(diào)控系統(tǒng)的能帶結(jié)構(gòu).而loop 結(jié)構(gòu)的出現(xiàn)使得系統(tǒng)的動力學受到了顯著的影響,即系統(tǒng)的布洛赫振蕩被破壞,發(fā)生了非線性朗道-齊納隧穿.因此,可以通過loop 結(jié)構(gòu)的周期變化來研究周期驅(qū)動強度對系統(tǒng)隧穿動力學的調(diào)控.通過向系統(tǒng)施加非常弱的加速力[25-27],驅(qū)動系統(tǒng)的準動量定向移動.假設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)處于下或上能帶(圖5(a1)),通過弱加速力緩慢地改變系統(tǒng)的準動量k,使原子發(fā)生定向移動.當原子沿上能帶運動到loop 邊緣時,由于能帶的突然中斷,原子只能向上或向下跳,即發(fā)生了非線性的朗道-齊納隧穿.因此,本節(jié)研究不同周期驅(qū)動強度χ下能帶的結(jié)構(gòu)和對應(yīng)的系統(tǒng)動力學.通過對方程(8)進行數(shù)值計算模擬系統(tǒng)的隧穿動力學.在動量空間中,加速力F改變準動量,k=kini+αt,其中kini是初始準動量,α是加速度.

圖5(a1)-(e1)表示不同周期驅(qū)動強度χ下的系統(tǒng)能帶.圖5(a2)-(e2)和圖5(a3)-(e3)分別表示粒子數(shù)|φ1|2(圖中紅色細線)和|φ2|2(圖中藍色細線)在不同初始狀態(tài)下隨時間的演化.玻色-愛因斯坦凝聚體最初制備在系統(tǒng)的下(上)能帶由圓(正方形)標記,原子沿箭頭所示的方向移動(圖5(a1)-(e1)).從圖5 可以看出,粒子處于不同的初始狀態(tài)所對應(yīng)的動力學是完全不相同的.當周期驅(qū)動強度χ=0 且loop 出現(xiàn)在上能帶時(圖5(a1)),如果粒子初始位于上能帶,粒子數(shù)初始沿著能帶平穩(wěn)演化,運動到一定的位置,即loop 的邊緣時(見圖中垂直藍線),粒子數(shù)發(fā)生劇烈的振蕩(圖5(a2)),這證明系統(tǒng)發(fā)生了非線性朗道-齊納隧穿.這可以用于測量loop 的寬度.圖5(a2)中兩條垂直藍線的距離正好對應(yīng)于能帶結(jié)構(gòu)中k=0 到loop 邊緣的距離.隨著周期驅(qū)動強度χ的增加,loop 的寬度開始減小,系統(tǒng)發(fā)生非線性朗道-齊納隧穿的位置發(fā)生改變,即圖中粒子數(shù)發(fā)生劇烈振蕩的位置發(fā)生變化(圖5(b2)中垂直藍線).周期驅(qū)動強度χ的進一步增加使得能帶中不出現(xiàn)loop 結(jié)構(gòu),此時原子沿上能帶平穩(wěn)地演化,發(fā)生了自旋交換(圖5(c1)和圖5(c2)).繼續(xù)增加周期驅(qū)動強度χ,圖5(d1)和圖5(e1)中的上能帶又出現(xiàn)loop 結(jié)構(gòu),原子沿上能帶運動時又發(fā)生非線性朗道-齊納隧穿,并且發(fā)生振蕩的位置也發(fā)生了改變.下能帶中不存在loop結(jié)構(gòu),原子沿著能帶平穩(wěn)地演化,在一定的時間變得自旋無極化(見圖中垂直藍線),且隨著時間的變化,粒子數(shù)發(fā)生了自旋交換,結(jié)果如圖5(a3)-(e3)所示.此時雖然改變了周期驅(qū)動強度χ,但是發(fā)生自旋交換的位置并不發(fā)生改變,仍然位于k=0 處.而且,周期驅(qū)動強度χ的增加使得自旋組分發(fā)生了翻轉(zhuǎn).當原子初始位于上能帶,χ=0時|φ1|2的粒子數(shù)接近于1,而隨著χ的增大自旋組分發(fā)生了翻轉(zhuǎn),粒子數(shù)|φ2|2接近于1(見圖5(a2)和圖5(e2)).由此可以看出,由于周期驅(qū)動強度對loop 結(jié)構(gòu)的調(diào)控,使得初始態(tài)位于上能帶的系統(tǒng)動力學發(fā)生了從非線性朗道-齊納隧穿到自旋交換再到非線性朗道-齊納隧穿的交替變化.總的來說,周期驅(qū)動強度χ的變化不改變自旋交換的位置,但可以精確調(diào)控發(fā)生非線性朗道-齊納隧穿的位置.此外,由于兩個能帶之間的能量差隨著準動量而變化,所以振蕩周期也發(fā)生變化.

圖5 (a1)-(e1)存在loop 結(jié)構(gòu)時的能帶結(jié)構(gòu),原子最初制備在系統(tǒng)的上(下)能帶用正方形(圓)標記;(a2)-(e2)原子初始制備在上能帶中時對應(yīng)的非線性朗道-齊納隧穿動力學;(a3)-(e3)原子初始制備在下能帶中時對應(yīng)的非線性朗道-齊納隧穿動力學.第一行至第四行分別取 χ=0,1,2,3,4. k0=1 ,Ω0=0.3 ,g=1.5 ,g12=0.7,α=0.0001Fig.5.(a1)-(e1)Energy band structure.The Bose-Einstein condensates are initially prepared in the lower(upper)band of the system labeled by the square(circle).(a2)-(e2)The corresponding nonlinear Landau-Zener tunneling dynamics when the atomics are initially prepared in the upper band.(a3)-(e3)The corresponding nonlinear Landau-Zener tunneling dynamics when the atomics are initially prepared in the lower band.From the first row to the fourth row: χ=0,1,2,3,4,respectively.The other parameters are k0=1,Ω0=0.3,g=1.5,g12=0.7,α=0.0001.

4 隧穿率

朗道-齊納隧穿是量子動力學中的一個基本現(xiàn)象,它描述了在不同的物理系統(tǒng)中靠近免交叉位置處可能發(fā)生的非絕熱躍遷.而隧穿率與非線性能帶結(jié)構(gòu)的變化密切相關(guān),本節(jié)通過理論和數(shù)值模擬兩方面研究可調(diào)自旋-軌道耦合系統(tǒng)能帶間隧穿率的變化情況.

當g12=g時,也就是不存在等效非線性時,可以用朗道-齊納模型來描述控制系統(tǒng)量子態(tài)在兩個絕熱本征能級之間的躍遷[25]:

式中,E1,2是φ1,2所對應(yīng)的能量,Ω0是兩個能級之間的耦合參數(shù).此時,隧穿率可以定義為PLZ=exp[-2π(Ω0/2)2/(?αβ)]. 其中,α是加速度,β=|?E1/?x-是能帶在xc處的斜率差.根據(jù)方程(10)將E1,2代入可得β=2k0J0(χ),因此可以計算得出隧穿率為

其中,k0是自旋-軌道耦合強度,χ是周期驅(qū)動強度.當系統(tǒng)處于強相互作用時,可以用穩(wěn)相近似[40]法推導隧穿率的解析表達式為

其中p=2π(Ω0/2)2/(2αk0J0(χ)).

還可以數(shù)值求解系統(tǒng)的隧穿率.假設(shè)凝聚體的初始狀態(tài)為φ=(φ1,φ2)T,經(jīng)過概率為PNLZ隧穿之后,凝聚體的狀態(tài)可表示為[33]

而凝聚體隧穿前后的狀態(tài)可通過數(shù)值模擬方程(8)求得,從而可以數(shù)值求出系統(tǒng)的隧穿率,并與理論結(jié)果相比較.

圖6 不同周期驅(qū)動強度 χ 下朗道-齊納隧穿率隨(a)自旋-軌道耦合強度 k0 和(b)拉曼耦合 Ω0 的變化規(guī)律(a)Ω0=0.03;(b)k0=1.0.不同形狀的符號代表方程(12)給出的理論值,不同的線條代表從方程(8)得到的數(shù)值解. g=g12=0.02,α=0.001Fig.6.The Landau-Zener tunneling probabilities as a function of(a)the spin-orbit coupling strength k0 and(b)Raman coupling Ω0 for various periodic driving strength χ:(a)Ω0=0.03;(b)k0=1.0 .The different symbols represent the theoretical values given by Eq.(12)and different lines represent the results obtained by Eq.(8).The other parameters are g=g12=0.02,α=0.001 .

圖7 不同周期驅(qū)動強度下非線性朗道-齊納隧穿率隨(a)拉曼耦合 Ω0 和(b)自旋-軌道耦合強度 k0 的變化規(guī)律(a)k0=1 ;(b)Ω0=0.1.不同形狀的符號代表方程(14)給出的理論值,不同的線條代表從方程(8)得到的數(shù)值解. g=1.5＞g12=0.7,α=0.005Fig.7.The nonlinear Landau-Zener tunneling probabilities as a function of(a)Raman coupling Ω0 and(b)the spin-orbit coupling strength k0 for various periodic driving strength χ .(a)k0=1 ,(b)Ω0=0.1 .The different symbols represent the theoretical values given by Eq.(14)and different lines represent the results obtained by Eq.(8). The other parameters are g=1.5＞g12=0.7,α=0.005.

5 結(jié)論

綜上所述,本文研究了可調(diào)自旋-軌道耦合玻色-愛因斯坦凝聚體的能帶結(jié)構(gòu)、隧穿動力學和隧穿率.通過周期驅(qū)動的拉曼耦合,利用高頻近似得到了與時間無關(guān)的Floquet 哈密頓量.與非線性兩能級模型對比,解析地得到了出現(xiàn)loop 的臨界條件和loop 寬度.結(jié)果表明,能帶中出現(xiàn)loop 結(jié)構(gòu)的臨界條件可通過改變周期性驅(qū)動強度來控制.當種內(nèi)原子相互作用小于(大于)種間原子相互作用時,loop 結(jié)構(gòu)出現(xiàn)在下能帶(上能帶).而當兩者相等時,不出現(xiàn)loop 結(jié)構(gòu),能帶呈雙阱結(jié)構(gòu).由于loop 結(jié)構(gòu)的存在,系統(tǒng)發(fā)生了非線性朗道-齊納隧穿.而周期驅(qū)動強度的這種調(diào)控作用可以操控系統(tǒng)的隧穿動力學,并且使系統(tǒng)的自旋組分發(fā)生了翻轉(zhuǎn).最后計算了系統(tǒng)的隧穿率.