虛與實：學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展的兩翼
——以“完全平方公式”為例

王新奇 (江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)第一中學(xué) 215021)

虛實結(jié)合是語文寫作的一種技法.所謂“虛”，是指存在于人們的思想和意識中的部分；所謂“實”，是指通過聽覺、觸覺、視覺等能感覺到的部分.虛與實是相對的，客觀為實，主觀為虛；具體為實，隱者為虛；當(dāng)下為實，未來為虛[1].虛與實也是一體的，實為虛之體，虛為實之魂，在具體問題解決的過程中，潛在體內(nèi)的虛魂是實性的思維方式和解決問題的策略.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，實即客觀的、具體的知識技能，虛即隱藏在知識技能中的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)觀念.實承載著虛，虛浸潤著實，虛與實就像學(xué)生素養(yǎng)發(fā)展的兩翼.虛實結(jié)合，可以凸顯數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心與本質(zhì)，有力促進學(xué)生的素養(yǎng)發(fā)展.筆者以為，初中數(shù)學(xué)教學(xué)需要虛實結(jié)合.本文結(jié)合“完全平方公式”的教學(xué)實例探討如何做好初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的虛實結(jié)合，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1 教學(xué)過程

1.1 完全平方公式的引入

計算：(1)(a+b)(c+d)；(2)(x+1)(x-1)；

(3)(x+5)(x+5)；(4)(3x-2)(3x-2).

問題1 觀察這4道多項式乘法的運算結(jié)果，有什么不同？

追問 觀察這4道題計算結(jié)果的項數(shù)，有什么不同？

問題2 請你寫出兩組具有上述后兩題特征的多項式乘法，并計算結(jié)果.

問題3 能否用字母表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律？

設(shè)計意圖完全平方公式作為多項式乘法的下位知識，是學(xué)生學(xué)習(xí)了整式乘法的一般性方法之后，對特殊對象的研究，是公式(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中a=c，b=d時產(chǎn)生的特殊形式.因此，多項式乘法是完全平方公式的生長點，充分利用多項式乘法是教學(xué)的關(guān)鍵，有助于實現(xiàn)后續(xù)知識的自然生成和學(xué)生的自主學(xué)習(xí).從實的角度出發(fā)，設(shè)計的4道計算題擬從整體的角度引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從一般到特殊的過程，感受特殊化帶來的簡潔性.既復(fù)習(xí)了平方差公式，又自然引出了完全平方公式的學(xué)習(xí).4個具體算式的支撐，使完全平方公式的引出具有了實性.從虛的角度考量，設(shè)計的3個問題，旨在讓學(xué)生從純粹的多項式計算這一經(jīng)驗操作中走出來，通過觀察、比較和結(jié)構(gòu)分析，從中分離出相同屬性(都是兩個二項式相乘)和不同屬性(結(jié)果項數(shù)不同)，經(jīng)歷結(jié)果屬性由一般向特殊演變(由四項到兩項或三項).這種特殊是直觀的，同時催生了學(xué)生產(chǎn)生虛性的思考：這樣的兩個二項式相乘，結(jié)果有怎樣的規(guī)律呢？通過虛實結(jié)合引發(fā)的疑問，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的能力得以發(fā)展，也將使學(xué)生在經(jīng)歷“屬性分離”過程后提升抽象水平.

1.2 完全平方公式的驗證

問題1 上述規(guī)律的正確性需要驗證嗎？

問題2 根據(jù)平方差公式的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，如何驗證？

問題3 通過驗證，你感悟到哪些數(shù)學(xué)思想方法？

設(shè)計意圖完全平方公式的驗證與平方差公式的驗證方法類似，可以進行經(jīng)驗的遷移.學(xué)生在驗證平方差公式時，曾經(jīng)歷過運用圖形面積和多項式乘以多項式驗證的實性過程，積累了從“數(shù)”與“形”兩個方面進行驗證的基本活動經(jīng)驗.通過問題2引導(dǎo)學(xué)生做一個虛性的思考，幫助學(xué)生通過經(jīng)驗遷移確定驗證的基本思路，再予以具體的實性驗證.在這個虛實結(jié)合的過程中，既有思維的提升，也有活動經(jīng)驗的遷移和再認(rèn)識，從而使完全平方公式的教學(xué)效益最大化.同時，通過“剪”“拼”“割”“補”將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形來解決的思想方法，也為后續(xù)學(xué)習(xí)勾股定理的證明積累了經(jīng)驗.

1.3 完全平方公式的概括

問題1 請概括一下你發(fā)現(xiàn)并驗證的規(guī)律，并用字母表示.

問題2 公式中的a和b可以代表什么？

問題3 請仔細(xì)觀察公式的結(jié)構(gòu)，結(jié)合學(xué)習(xí)平方差公式的經(jīng)驗，能否直觀、形象地提煉出計算形式？

問題4 在完全平方公式的探究過程中，你感悟到哪些數(shù)學(xué)思想方法？

設(shè)計意圖數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，而思維最顯著的特點是概括[2].在實性方面，通過圖形語言、文字語言及其關(guān)系的概括總結(jié)，一是去除學(xué)生在公式探究過程中對公式非本質(zhì)屬性的認(rèn)識，把認(rèn)識統(tǒng)一到“兩數(shù)和(差)的平方，等于這兩數(shù)的平方和加上(減去)積的2倍”的多項式乘法這一本質(zhì)屬性上來；二是完全平方公式多視角表征和理解，拓展信息獲取及問題分析的路徑通道.追問“a，b可以表示什么？”旨在滲透數(shù)式通性思想及使用范圍.問題3旨在引導(dǎo)學(xué)生識別公式特征，可以將模型提煉為“(□±○)2=□2±2□○+○2”的形式，從而突破運用過程中的難點.學(xué)生只有識別出公式的特征，才能運用公式解決問題，感悟公式的優(yōu)越性和數(shù)學(xué)的簡潔美.在充分彰顯實性知識的過程中，引導(dǎo)學(xué)生回顧知識的發(fā)生發(fā)展過程，感悟隱藏在知識探究過程中的魂，盡管這個魂是虛性的，但卻是必要的.虛實相生，有力促進學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的逐漸形成.

1.4 完全平方公式的應(yīng)用

問題1 同學(xué)們，根據(jù)a，b的可變性，請自主設(shè)計符合完全平方公式的多項式乘法算式.

問題2 改變a，b前面的符號，一共有幾種情況？通過計算，你有什么發(fā)現(xiàn)？

問題3 計算：(1)(a+b+c)2；(a+b-c)2，(2)1032；992

設(shè)計意圖這個環(huán)節(jié)的設(shè)計，表面上看是實性的操練，實則是引發(fā)學(xué)生虛性的思考，以促進學(xué)生對公式的深度理解.通過學(xué)生自己舉例編題練習(xí)，加深對a，b的意義認(rèn)識，同時有效地促進學(xué)生對完全平方公式結(jié)構(gòu)的主動認(rèn)知.教師從學(xué)生編寫的題目中選擇有代表性的題目進行計算，并就計算中出現(xiàn)的問題進行班級研討，引領(lǐng)學(xué)生深度理解公式的計算方法.同時，在正視錯誤、理解錯誤、糾正錯誤的過程中，挖掘錯誤的成因，抓住錯誤的本質(zhì)，衍生課堂生成性資源，形成規(guī)范的計算步驟，這是一個學(xué)生自主探索、教師有效引導(dǎo)、師生互動有機統(tǒng)一的過程.在這個過程中，學(xué)生由過去的被動式練習(xí)轉(zhuǎn)向主動思考、自主探索，進而形成深度學(xué)習(xí).這個過程是實性的，同時也為學(xué)生進一步虛性的思考打下堅實的基礎(chǔ).問題2的設(shè)計，重點聚焦公式變形，在處理符號的過程中感受和體會內(nèi)在聯(lián)系，形成對公式結(jié)構(gòu)的本質(zhì)理解.問題3的設(shè)計旨在進一步引導(dǎo)學(xué)生觀察公式的結(jié)構(gòu)特征，滲透整體換元和對應(yīng)思想，同時引導(dǎo)學(xué)生從圖形面積角度計算結(jié)果，提升和挖掘圖形計算的價值.應(yīng)用環(huán)節(jié)的設(shè)計，從應(yīng)用→思考→創(chuàng)新應(yīng)用，通過虛實結(jié)合，旨在將完全平方公式與多項式乘法、簡便運算等原有認(rèn)知經(jīng)驗逐漸建立關(guān)聯(lián)，使得完全平方公式不再是一個獨立的個體存儲，而是與其他運算、經(jīng)驗之間形成新的整體關(guān)系，進而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1.5 課堂小結(jié)

今天我們探索了完全平方公式，請用思維導(dǎo)圖回顧和總結(jié)學(xué)習(xí)過程.

設(shè)計意圖要求學(xué)生繪制思維導(dǎo)圖，旨在引導(dǎo)學(xué)生對整節(jié)課的學(xué)習(xí)進行回顧和提升，使得學(xué)習(xí)過程結(jié)構(gòu)化.經(jīng)過長期的訓(xùn)練，學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維能力將會得到提升，這個過程是虛性的，但卻引導(dǎo)學(xué)生自主實性學(xué)習(xí)的方向，也是數(shù)學(xué)教育的價值.

2 教學(xué)思考

2.1 學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展，需要求實

形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)的前提是具備扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和技能，而基礎(chǔ)知識技能訓(xùn)練的主陣地在課堂，這就要求每一節(jié)常態(tài)數(shù)學(xué)課都要在求實上下功夫.但是，在求實的過程中，不能讓學(xué)生被動地接受知識，而是要引導(dǎo)學(xué)生主動探索，在知識的發(fā)生發(fā)展過程中形成實性認(rèn)識.首先在內(nèi)容設(shè)計上求實，緊緊圍繞完全平方公式的特征，觀其形、拼其形、定其形、找其形、用其形、補其形，主線明確，層次豐富.其次，在學(xué)生活動設(shè)計上求實，通過問題驅(qū)動、操作驅(qū)動、學(xué)思驅(qū)動，引領(lǐng)學(xué)生體悟完全平方公式的本質(zhì)，特殊化研究公式的外延關(guān)聯(lián)，努力實現(xiàn)有結(jié)構(gòu)、有邏輯、有源頭的精準(zhǔn)化教學(xué).最后，在學(xué)以致用上求實，引導(dǎo)學(xué)生自主編題，自主練習(xí)，集體糾錯，在正視錯誤、糾正錯誤中挖掘成因，促進學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)和良好品質(zhì)的形成.

2.2 學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展，需要務(wù)虛

從知識到方法，從方法到思想，這是數(shù)學(xué)教育的追求，也是從實性知識技能走向虛性思想方法的必然結(jié)果.數(shù)學(xué)思想方法蘊含在知識形成過程中，這是學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想方法的良好載體.本節(jié)課蘊含兩個重要數(shù)學(xué)思想：從一般到特殊的思想、數(shù)形結(jié)合思想.筆者試圖讓學(xué)生充分經(jīng)歷知識的形成過程，讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)活動是在數(shù)學(xué)思想引導(dǎo)下進行的，從而使學(xué)生既能理解知識的本質(zhì)，又能感悟到數(shù)學(xué)思想.以后，學(xué)生在解決問題的過程中，特別是遇到困難，需要尋求突破難點的時候，這些積累的數(shù)學(xué)思維活動經(jīng)驗和數(shù)學(xué)思想方法將會適時引導(dǎo)他們的有效思維，啟發(fā)其主動思考獲取數(shù)學(xué)知識.這些隱藏的虛性思考將真正成為思維策略，促進學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展.

2.3 學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展，需要虛實結(jié)合

虛實本為一體，在實際數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師對實性的知識技能往往更加重視，而對虛性的思想方法和思維能力常常容易忽視.如應(yīng)用環(huán)節(jié)的設(shè)計，注重訓(xùn)練的實性與思維的虛性并行，在訓(xùn)練的過程中滲透轉(zhuǎn)化、對應(yīng)等思想，打通各知識板塊之間的關(guān)聯(lián)障礙，形成“做一題、通一類、連一片”，從而獲得新的經(jīng)驗增值，提升解決問題的能力.其實，從數(shù)學(xué)教育的根本宗旨看，實為虛體，虛為實魂，在解決具體問題的過程中，隱藏著的虛魂將變?yōu)閷嵭缘乃季S方式和解決問題的策略指引，這就是學(xué)生應(yīng)該具備的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達世界.正如愛因斯坦所說，教育就是當(dāng)一個人把在學(xué)校所學(xué)的全部忘光之后剩下的東西.