駕技術(shù)之舟 游千年之旅
——以圓錐曲線為例

劉夢哲 孔雯晴

(華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062)

1 引言

21世紀(jì)以來，隨著計(jì)算機(jī)的日益普及，現(xiàn)代信息技術(shù)逐步進(jìn)入課堂，突破了傳統(tǒng)板書不能動(dòng)態(tài)地展示數(shù)學(xué)圖形、不夠生動(dòng)形象等瓶頸．國務(wù)院頒布的國家教育事業(yè)發(fā)展“十三五規(guī)劃”(2017年)中提及要全力推動(dòng)信息技術(shù)與教育教學(xué)深度融合，鼓勵(lì)教師利用信息技術(shù)提升教學(xué)水平、創(chuàng)新教學(xué)模式．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》和《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》都指出通過信息技術(shù)改進(jìn)教學(xué)方式，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式轉(zhuǎn)變，提高教學(xué)的實(shí)效性[1-2]．由此可見，教師應(yīng)當(dāng)充分認(rèn)識到信息技術(shù)在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的價(jià)值，合理利用信息技術(shù)并發(fā)揮其作用．

圓錐曲線是高中解析幾何教學(xué)的重要內(nèi)容，橢圓、雙曲線和拋物線的定義源自三維的“截線”，現(xiàn)行教科書中的二維定義對學(xué)生了解三種曲線間的關(guān)系和深刻理解定義的內(nèi)涵造成了一定的障礙，因此，部分教師嘗試將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，以此彌補(bǔ)這一空缺．例如，使用旦德林雙球模型建立起橢圓的原始定義和第一定義間的聯(lián)系[3]，但是旦德林雙球模型對學(xué)生的三維空間想象能力提出了挑戰(zhàn)，如果教師使用不當(dāng)，反而會(huì)增加學(xué)生的認(rèn)知負(fù)擔(dān)．倘若能以技術(shù)為輔，這樣的困境便迎刃而解．

GeoGebra(下稱GGB)是一款具有強(qiáng)大代數(shù)運(yùn)算及繪圖功能的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，它能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)知識以直觀的方式呈現(xiàn)，創(chuàng)設(shè)“多元聯(lián)系表征”的學(xué)習(xí)環(huán)境，幫助學(xué)生深入理解知識的內(nèi)在邏輯[4]．尤其是在知識動(dòng)態(tài)性方面，教師能夠借助它呈現(xiàn)知識發(fā)生和發(fā)展的過程，幫助學(xué)生增強(qiáng)空間觀念和空間想象能力，落實(shí)直觀想象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)．但是熟練使用GGB需要耗費(fèi)較多的精力，由于受到技術(shù)水平的限制，在實(shí)際的教學(xué)中教師常常心有余而力不足．因此，本文以圓錐曲線作為抓手，介紹GGB在HPM教學(xué)中的應(yīng)用，以期為教師教學(xué)提供參考．

2 GeoGebra在圓錐曲線教學(xué)中的應(yīng)用舉例

2.1 梅內(nèi)克繆斯三線的繪制

公元前4世紀(jì)，梅內(nèi)克繆斯(Menaechmus，約前380—約前320)用垂直于母線的平面去截三種不同的圓錐，得到三種不同的圓錐曲線，被后人稱之為“梅內(nèi)克繆斯三線”[5-6]．

(1)繪制三種圓錐：頂角分別為直角、銳角和鈍角的圓錐(圖1)．

圖1 梅內(nèi)克繆斯三線的繪制步驟之一

·在“繪圖區(qū)”中分別繪制兩根數(shù)值滑動(dòng)條，名稱分別為h和r，代表圓錐的高和底面半徑．

·依次輸入圓錐的底面圓心O(0,0,0)、頂點(diǎn)P(0,0,h)，并輸入指令“圓錐(O,P,r)”，由此得到一個(gè)底面半徑為r、高為h的圓錐．

(2)繪制垂直于圓錐母線的平面(圖2)．

圖2 梅內(nèi)克繆斯三線的繪制步驟之二

·在“3D繪圖區(qū)”中選擇“多邊形”選項(xiàng)，依次連接圓錐的頂點(diǎn)和圓錐與x軸或y軸的交點(diǎn)，作圓錐軸截面，記為△PAB．

·在線段PA上任取一點(diǎn)C，過點(diǎn)C作垂直于母線PA的平面．最后點(diǎn)擊“相交曲線”選項(xiàng)，即可得到垂直于母線的平面與圓錐的交線．

(3)調(diào)整與優(yōu)化．教師可以根據(jù)實(shí)際需求，隱藏相關(guān)坐標(biāo)點(diǎn)或平面，并標(biāo)注圓錐頂角的大小等．

拖動(dòng)兩根滑動(dòng)條，當(dāng)r

2.2 阿波羅尼奧斯對圓錐截線的研究

古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯(Apollonius，約前262—前190年)編著了《圓錐曲線論》，對前人的研究進(jìn)行綜合和創(chuàng)新．阿波羅尼奧斯是第一個(gè)使用同一正圓錐或斜圓錐來得到三種不同圓錐曲線的人，同時(shí)也是第一個(gè)發(fā)現(xiàn)雙曲線有兩支的人[6]．

(1)繪制對頂圓錐．

·在已有兩根數(shù)值滑動(dòng)條h和r的基礎(chǔ)上，再添加一根數(shù)值滑動(dòng)條h1和兩根角度滑動(dòng)條α,β1；

·輸入對頂圓錐的底面圓心“O(0,0,0)”“Q(0,0,2h)”及頂點(diǎn)“P(0,0,h)”，并輸入指令“圓錐(O,P,r)”和“圓錐(Q,P,r)”，由此得到一對頂圓錐．

(2)繪制與圓錐底面成β的平面．

·輸入“u=(1;α,;β_1)”，并輸入指令“垂直平面((0,0,h_1),u)”，于是得到與圓錐底面成β=90°-β1的平面．最后點(diǎn)擊“相交曲線”選項(xiàng)，可以得到該平面與對頂圓錐的交線．

(3)調(diào)整與優(yōu)化．教師可以根據(jù)實(shí)際需求，隱藏相關(guān)坐標(biāo)點(diǎn)或平面，并添加圓錐頂角及平面與圓錐底面的夾角等文本，便于學(xué)生歸納圓錐曲線的截線定義(圖3)．

圖3 阿波羅尼奧斯截圓錐

通過動(dòng)手操作，改變截面與圓錐底面所成二面角的大小，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：當(dāng)β=0，截線為圓；0<β<π，截線為橢圓；β=α，截線為拋物線；β>α，截線為雙曲線．

2.3 旦德林雙球模型

翻開歷史的畫卷，雖然數(shù)學(xué)家們先后給出了橢圓的圓錐截線定義和軌跡定義，并推導(dǎo)出了橢圓方程，研究了橢圓的性質(zhì)，但這兩個(gè)定義很長時(shí)間都彼此缺乏統(tǒng)一．直到1822年，比利時(shí)數(shù)學(xué)家旦德林(Dandelin)在一篇論文中利用圓錐的兩個(gè)內(nèi)切球，直接在圓錐上作出橢圓截面的焦點(diǎn)，導(dǎo)出橢圓的焦半徑性質(zhì)，從而證明了截線定義與軌跡定義的統(tǒng)一性，填平了古希臘圓錐曲線定義(截線定義)和17世紀(jì)新定義(今稱橢圓第一定義)之間的鴻溝．

以橢圓的旦德林雙球模型為例，利用GGB繪制需要經(jīng)歷圓錐及平面、雙球、輔助線及調(diào)整優(yōu)化四步．

(1)圓錐及橢圓所在平面的繪制(圖4)．

圖4 旦德林雙球模型步驟之一

·按照前面的方法，繪制出底面半徑為r、高為h的圓錐，并利用“多邊形”選項(xiàng)，作出圓錐的軸截面△PAB．

·在線段PA上任取一點(diǎn)C，PB上任取一點(diǎn)D，過點(diǎn)C作△PAB的垂線．最后，過這條垂線和點(diǎn)D作平面，再利用“相交曲線”選項(xiàng)，即可得到橢圓．

(2)雙球的繪制(圖5)．

圖5 旦德林雙球模型步驟之二

·創(chuàng)建△PAB的平面視圖，利用“直線”選項(xiàng)，連結(jié)PO，利用“線段”選項(xiàng)，連結(jié)CD．分別作∠PCD和∠CDB的角平分線，交直線PO于點(diǎn)E、點(diǎn)F，這兩點(diǎn)即為所求雙球的球心．

·分別過點(diǎn)E,F作線段CD的垂線，垂足為點(diǎn)G,H．將這兩點(diǎn)重命名為F1和F2，易知，這兩點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，于是線段EF1和FF2為雙球的半徑．

·回到“3D繪圖區(qū)”，利用“球面”選項(xiàng)，分別作以點(diǎn)E為球心、EF1為半徑的球和以點(diǎn)F為球心、FF2為半徑的球．

(3)添加相關(guān)輔助線(圖6)．

圖6 旦德林雙球模型步驟之三

·在△PAB的平面視圖中，過點(diǎn)E,F分別作PA的垂線，垂足為點(diǎn)G,H．

·在“3D繪圖區(qū)”中，過點(diǎn)G，H分別作與z軸垂直的平面，由此得到雙球與圓錐的交線．

·在橢圓上任取一點(diǎn)Q，利用“直線”選項(xiàng)，連結(jié)PQ，直線PQ分別交雙球與圓錐的兩條交線于點(diǎn)J,K．利用“線段”選項(xiàng)，連結(jié)QF1,QJ,QF2,QK．

(4)調(diào)整優(yōu)化(圖7)．

圖7 旦德林雙球模型步驟之四

·創(chuàng)建橢圓的平面視圖，由此可以讓平面與圓錐的截線一目了然．當(dāng)然，教師還可以隱藏不需要的點(diǎn)、直線或平面，改變點(diǎn)、直線或平面的顏色，同時(shí)在平面視圖區(qū)創(chuàng)建文本，顯示QF1+QF2及QJ+QK的長度等．

如圖7，圓錐內(nèi)含兩球且與圓錐內(nèi)表面相切，現(xiàn)用一不平行于母線且不經(jīng)過圓錐頂點(diǎn)的平面去截圓錐，并與兩球分別相切于F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)，可以證明其交線為橢圓[7]．母線與兩個(gè)球面相切于J，K兩點(diǎn)．由球外一點(diǎn)Q向球引切線，其切線長相等，即QJ=QF1及QK=QF2，則QF1+QF2=QJ+QK=JK>F1F為定值．因此我們可以知道，橢圓上的任意一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)(即橢圓的焦點(diǎn))之和為一個(gè)常值．

若在對頂圓錐中，我們也可以按照類似的方式作出圓錐的截線，并證明此截線為雙曲線[7]．旦德林雙球模型的建立，不僅將古希臘的幾何傳統(tǒng)與截線定義有效結(jié)合，還幫助教師在今天的數(shù)學(xué)課堂中更好地采用發(fā)生教學(xué)法．

3 結(jié)論與啟示

綜上，信息技術(shù)宛如一縷和煦的春風(fēng)，為數(shù)學(xué)教育注入了新的活力；信息技術(shù)宛如一艘巨輪，在數(shù)學(xué)的海洋里乘風(fēng)破浪；信息技術(shù)宛如教育百花園中 一枝靚麗的奇葩，讓數(shù)學(xué)教學(xué)變得多姿多彩．以網(wǎng)絡(luò)和多媒體技術(shù)為核心的信息技術(shù)的發(fā)展，給教育帶來了極大的挑戰(zhàn)，也帶來了新的契機(jī)．?dāng)?shù)學(xué)史的可貴之處并不只在于歷史本身，而更在于發(fā)現(xiàn)探索的過程，是精神意志力和方法的體現(xiàn)．因此，數(shù)學(xué)教師有必要主動(dòng)轉(zhuǎn)變教育理念，將GGB與數(shù)學(xué)史深度融合，使數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)效得到提升，有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

其一，歷歷在目，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)．

幾何一直以來都是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容，從小學(xué)階段起，學(xué)生先要接觸一些最簡單的幾何圖形，進(jìn)而在初中階段學(xué)習(xí)相關(guān)的初等幾何知識，而到了高中，學(xué)生還需要學(xué)習(xí)解析幾何和立體幾何知識，可以說，幾何知識一直伴隨著學(xué)生．然而，一些學(xué)生普遍認(rèn)為幾何很抽象、很難學(xué)．因此，教師應(yīng)努力尋找原因、摸索對策，以幫助學(xué)生擺脫“望幾何生畏”的困境．

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休．”GGB作為一款功能強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件，可以直觀地揭示出“數(shù)與形”之間的內(nèi)在聯(lián)系，有助于實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的可視化、可理解化和可操作化．例如，在圓錐曲線的教學(xué)中，教師可以借助GGB，繪制平面截圓錐的立體圖形，學(xué)生通過改變圓錐頂角的大小或圓錐截面的位置，發(fā)現(xiàn)圓錐曲線的截線定義，這一過程既有助于解答“為何橢圓、雙曲線及拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線”之困惑，又將加深對圓錐曲線的截線定義的理解與記憶．

由此可見，數(shù)字化軟件的應(yīng)用為數(shù)學(xué)教學(xué)打開了一扇新門.教師在幾何教學(xué)中，應(yīng)嘗試?yán)肎GB繪制幾何圖形，將原本抽象的圖形變靜為動(dòng)，形象化地表達(dá)數(shù)學(xué)知識，從而打破“意會(huì)”與“言傳”之間的壁壘.我們有理由相信，GGB必將成為培育學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的有效利器[8]．

其二，繼往開來，強(qiáng)化學(xué)生的邏輯推理能力．

數(shù)學(xué)推理是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的重要部分，數(shù)學(xué)運(yùn)算、證明、作圖等都蘊(yùn)含著邏輯推理的成分，而GGB不僅可以助力幾何圖形可視化，還可以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展．

一方面，借助GGB活躍思維，通過搭建幾何圖形，學(xué)生可以從可視化圖形的制作過程中，思考每一步操作成立的依據(jù)．以制作旦德林雙球模型中的一步為例，教師可以設(shè)置思考題：為什么∠PCD和∠CDB的角平分線與直線PO的交點(diǎn)是圓錐的兩個(gè)內(nèi)切球的球心(圖5)．顯然，由對稱性可知，雙球的球心一定在面PAB中，由此問題可以轉(zhuǎn)化為求△PCD的內(nèi)切圓的圓心和求與AC，CD，DB三邊相切的圓的圓心．在△PCD中，因?yàn)橹本€CE和PO分別是∠PCD和∠APB的角平分線，則兩直線的交點(diǎn)即為△PCD的內(nèi)心，同理可作出另一個(gè)圓的圓心．

另一方面，借助GGB發(fā)散思維，通過繪制動(dòng)態(tài)圖形，為數(shù)學(xué)概念的生成、數(shù)學(xué)定理的推導(dǎo)、數(shù)學(xué)公式的證明、數(shù)學(xué)問題的解答創(chuàng)造了無限的可能性．在探究圓錐曲線的截線定義的過程中，教師可以讓學(xué)生借助手機(jī)或平板電腦上的GGB軟件，親自動(dòng)手改變圓錐截面的位置，從直觀上感受三條圓錐曲線的形成過程，并對此進(jìn)行歸納，由此加深學(xué)生對圓錐曲線的截線定義的理解．

我們有理由相信，信息技術(shù)為數(shù)學(xué)史進(jìn)課堂插上了騰飛的翅膀．GGB本身的直觀性、有趣性的特點(diǎn)，可以幫助教師更好地使歷史再現(xiàn)于數(shù)學(xué)課堂，使學(xué)生有身臨其境的感覺，以數(shù)學(xué)史為載體促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)理解，對于發(fā)展學(xué)生的思維、營造良好課堂的氛圍，乃至促進(jìn)教師專業(yè)發(fā)展都起到重要的作用．