基于多元線性回歸與ARIMA 組合模型的水電功率預測研究

李冰簫，張世偉，鄭舒宇，趙志帆

（四川中電啟明星信息技術有限公司，四川成都 611700）

引言

近年來，國家新型電力系統(tǒng)建設與電力市場化改革發(fā)展，水電作為主力的清潔能源，在新形勢下迎來了新的挑戰(zhàn)與發(fā)展機遇。四川是全國水電大省，2021年水電裝機容量達到9 315 萬千瓦時，按照規(guī)劃到2030 年四川水電裝機將突破1.3 億千瓦，約占全國水電裝機容量的，水電容量大，相應的水電站發(fā)電量波動也較大，容易造成“棄水”，所以準確把握未來水情氣象信息（降雨、徑流、洪水、干旱），使用水情氣象綜合監(jiān)測系統(tǒng)，對水電站的防洪決策和發(fā)電調度起著重要作用，還可以提高水電站經(jīng)濟運行水平和災害性預警能力。所以預測其來水的功率也是非常重要的一步。

文賢馗[1]等人發(fā)明了一種考慮前池水位的小水電功率預測方法及預測系統(tǒng), 主要是用到了SVM 以及BP 神經(jīng)網(wǎng)絡。還有張晶[2]的基于大數(shù)據(jù)技術的徑流式小水電功率預測。辜庭帥[3]的小水電集群短期功率預測系統(tǒng)。本研究以福堂電站水機大量的歷史原始數(shù)據(jù)為對象，對功率預測方法進行了研究, 提出一種結合多元線性回歸（MLR）和整合移動平均自回歸模型（ARIMA）的水電功率預測新方法。

1 多元線性回歸模型

崔上書[4]等人先是采用主成分分析得出影響該地區(qū)空氣質量的3 大指標，再通過多元線性回歸得出空氣質量指數(shù)與3 大指標的多元線性回歸方程，最終得出空氣質量指數(shù)與空氣污染物質量濃度的多元線性回歸方程。馬旭[5]針對功率曲線擬合度差和風電功率預測準確度不高，提出了結合深度置信網(wǎng)絡(DBN)和多元線性回歸(MLR) 的深度學習模型對風電功率進行預測。多元線性回歸的模型方程：y=b0+b1x1+b2x2+…+bkxk+e 其中，b0為常數(shù)項，b1，b2，…bk為回歸系數(shù)。樣本與自變量的選取。

從福堂電站水機的數(shù)據(jù)中，選取2022 年1 月5日至2022 年5 月5 日的功率數(shù)據(jù)作為研究樣本。先是要對數(shù)據(jù)進行清洗操作，然后分析數(shù)據(jù)，構建訓練集與測試集，根據(jù)該數(shù)據(jù)中功率的特點，假設X1為耗水流量數(shù)據(jù)，X2為導葉開度數(shù)據(jù)，X1、X2為自變量；Y是功率數(shù)據(jù)為因變量。然后使用LinearRegression()來進行多元線性預測。

使用最小二乘法對影響因素建立多元線性回歸模型，使用Python 對以上兩個因素建立最小二乘法的模型，獲得4 臺電站水機最小二乘法的線性回歸模型：

Y=-6.245-1.181X1+0.346X2

Y=-1.125-1.449X1+0.054X2

Y=-3.085-1.710X1-0.117X2

Y=-3.878-0.430X1+0.958X2

分別將X1～X2的值代入公式后可基于多元線性回歸模型迭代計算未來的水電功率。本研究使用的是擬合優(yōu)度（R2）來進行檢驗。

具體步驟為：

（1）總平方和SST(total sum of squares)：

（2）回歸平方和SSR(regression sum of squares)：

（3）殘差平方和SSE(error sum of squares)：

確定系數(shù)：

從上列公式可以看出，SST=SSR+SSE，總變異來自兩個方面的影響，一個是來自因變量x 的影響（SSR），一個是來自無法預測的殘差干擾（SST），想要回歸直線擬合的越好，就需要讓能被回歸可解釋的部分（SSR/SST） 占比越高，無法被回歸解釋的部分（SSE/SST）占比越小。經(jīng)計算后發(fā)現(xiàn)擬合優(yōu)度均在0.85 左右，一般來說，擬合優(yōu)度達到0.8 以上認為數(shù)據(jù)擬合效果好。圖1 為1F 電站預測數(shù)據(jù)。

圖1 多元線性回歸預測數(shù)據(jù)

2 ARIMA 模型

ARIMA(p,d,q)模型全稱為差分自回歸移動平均模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model,簡記ARIMA）。

ARIMA[6]模型的方程為：yi=θ0+φ1yt-1+φ2yt-2+…+φpyt-p+εt-θ1εt-1-θ2εt-2+…-θqεt-q其中，φi（i=1，2，…，q）表示AR 的系數(shù)，θi=（1，2，…，q）表示MA 的系數(shù)。p 表示預測模型中采用的時序數(shù)據(jù)本身的滯后數(shù)，d 表示時序數(shù)據(jù)需要進行幾階差分化，才是穩(wěn)定的，q 表示預測模型中采用的預測誤差的滯后數(shù)。使用ARIMA 模型預測水電功率首先獲取水電數(shù)據(jù)的時間序列數(shù)據(jù)繪圖，觀察其是否為平穩(wěn)性時間序列，對于非平穩(wěn)時間序列要先進行d 階差分運算，化為平穩(wěn)時間序列。再求得其自相關系數(shù)ACF 和偏自相關系數(shù)PACF，通過對自相關圖和偏自相關圖的分析，得到最佳的階層p 和階數(shù)q，d 為差分運算的次數(shù)，最后由以上得到的d、q、p，得到ARIMA 模型，然后開始對得到的模型進行模型檢驗。

數(shù)據(jù)處理：

（1） 導入數(shù)據(jù)，可視化觀察數(shù)據(jù)趨勢，并劃分測試集和訓練集。

（2） 平穩(wěn)性檢驗：單位根檢驗ADF。

（3） 若不平穩(wěn)，使時間序列平穩(wěn)化：d 階差分。

建模預測：

計算自相關系數(shù)ACF 和偏相關系數(shù)PACF，對模型定階，如圖2 所示，為1F 電站的ACF 和PACF 圖形。AR 模型是自回歸模型，其基本假設是當前的序列值取決于它之前的值，且存在一定滯后。p 值可從PACF 圖的最大滯后點來大致判斷，q 值可從ACF 圖的最大滯后點來大致判斷，也可以遍歷搜索AIC 和BIC 最小的參數(shù)組合。AIC 和BIC 都是量統(tǒng)計模型擬合優(yōu)良性的一種標準，且引入了對模型參數(shù)過多過復雜的懲罰項，避免過擬合（BIC 的懲罰項比AIC 的大，還考慮了樣本數(shù)量過多）最后由d，p，q 得到ARIMA模型。

圖2 自相關系數(shù)ACF 和偏相關系數(shù)PACF

3 多元線性回歸與ARIMA 組合模型

多元線性回歸和ARIMA 組合模型預測步驟[7-8]：

首先，將水電站的4 臺電站水機及相關水流因素四個月的數(shù)據(jù)分為兩組，前三個月數(shù)據(jù)作為訓練集，后一個月數(shù)據(jù)作為驗證集。通過多元線性回歸預測模型得到xt，通過ARIMA 預測模型得到y(tǒng)t。

將多元線性回歸預測模型的結果xt與ARIMA 預測模型的結果yt進行組合，組合模型的預測結果為zt，組合的公式如下：

式中：θ+φ=1，且θ，φ∈[0，1]。通過對θ 和φ 進行循環(huán)迭代，以0.01 為標準。對模型的精度的評估選擇RMSE、MAE 和MAPE，以1F 電站水機為例，通過評估后最終取最優(yōu)結果θ=0.08 和φ=0.92，多元線性回歸和ARIMA 組合模型的計算公式為：

使用最后一個月的數(shù)據(jù)即驗證集再進行一次上述步驟操作，獲得多元線性回歸模型、ARIMA 模型及其組合模型的RMSE、MAE 和MAPE 的精度評估，3個模型的誤差見表1。該表的數(shù)據(jù)明顯可以看到，本研究所使用的組合模型的RMSE、MAE 和MAPE 小于多元線性回歸模型和ARIMA 模型，即表示該組合模型在預測的精度上有所提升。

表1 3 個模型的誤差比對

實證分析：

本研究所使用的多元線性回歸-ARIMA 組合模型對水電功率進行預測，然后作出最后一個月的原始數(shù)據(jù)與該模型預測出的最后一個月的數(shù)據(jù)進行作圖分析，見圖3，其中“長線”為水電功率原始數(shù)據(jù)，“點線”為多元線性回歸-ARIMA 模型預測功率的數(shù)據(jù)。由圖3 可知，本研究所使用的多元線性回歸-ARIMA 組合模型在水電功率預測結果上較好，具有一定的使用價值。

圖3 多元線性回歸-ARIMA 組合模型預測數(shù)據(jù)

4 結論

本研究對水電功率進行預測驗證，結果表明，多元線性回歸模型與ARIMA 組合模型相對于單獨的多元線性回歸或者是ARIMA 模型在水電功率預測中的有效性，可以較準確地對未來的水電功率進行短期預測。水電功率一般受天氣，環(huán)境等多種因素的影響，本研究引入了多元線性回歸模型，在一定的程度上提高了模型預測的效果。對于引入ARIMA，多元線性回歸模型在此可以預防模型的過擬合和滯后性。通過上述實證分析，該模型的擬合度在實用的環(huán)境中發(fā)揮不錯。在此工作下的長遠考慮是引入更多對水電功率影響的因素，比如一些不可避免的隨機因素，引入的因素越多，對于模型預測的準確性越強。