五階KdV方程的行波解、周期波解及其漸近分析

秦春艷

(宿州學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，安徽 宿州 234000)

眾所周知，在非線性科學中，研究變系數(shù)非線性演化方程具有重要的作用，特別是求精確解的問題。因此，研究非線性偏微分方程的精確解是有重要意義的。精確解有很多種類型如孤子解、行波解、周期波解、復解、有理解等。過去的幾十年里，在孤子理論中，有很多求解精確解的方法。成功的求解方法是Hirota雙線性方法[1]，反散射變換方法[2], 達布變換法[3]、Tanh-coth法[4]、齊次平衡法[5]、李對稱方法[6]等等。在這些方法中，Tanh-coth法是一種強大的方法，在處理各種非線性色散方程中已得到廣泛的應用，本文正是利用它來求五階KdV方程的行波解。Hirota雙線性方法是其中重要的一種構(gòu)造非線性偏方程孤子解的簡便方法，更重要的是該方法與Riemann theta函數(shù)相結(jié)合可以得到方程的周期波解。

本研究首先利用Tanh-coth法研究五階KdV方程的行波解：

ut+αu2ux+γuuxxx+βuxuxx+uxxxxx=0

(1)

考慮到在文獻[7]中，上述五階KdV方程的雙線性形式、可積性、孤子解和1-周期波解及其漸近性分析已經(jīng)被研究，接下來重點討論如下廣義的五階KdV方程：

ut+h1u2ux+h2(uuxxx+uxuxx)+h3uxxxxx=0

(2)

1 Tanh-coth法

為了得到方程的行波解，下面簡單介紹一下此方法，主要分為以下幾個步驟：

(i)令波變量ξ=x-ct,則u(x,t)=u(ξ),從而可以將非線性的偏微分方程Ρ(u,ut,ux,uxx,uxxx,…)=0轉(zhuǎn)化成常微分方程Q(u,u′,u″,u?,…)=0。然后只要常微分方程所有項都包含導數(shù),對它關于ξ積分,積分常數(shù)被認為是0。

(ii) 引入一個新的自變量Y=tanh(μξ),ξ=x-ct,其中，μ是波數(shù),于是可以得到：

(iv) 分別將(2)和(3)步驟中的式子代入(1)步驟中所得到的常微分方程,通過合并同類項,并令Y的各次冪的系數(shù)為零就可以得到關于c,μ,a0,a1,a2,b1,b2的方程組，求解這些代數(shù)方程組，得到它們的數(shù)值,進而也就得到所求方程的解u(x,t)。

2 五階KdV方程的行波解

利用上述Tanh-coth法，首先對方程(1)做如下變形：

利用波變量ξ=x-ct, 然后關于ξ取一次積分，則上述方程可以轉(zhuǎn)化為：

(3)

第一種情況：

第二種情況：

a0=A, (A是一個常數(shù))，

對于第一種情況，可以得到五階KdV方程(1)的行波解如下：

同理，對于第二種情況，可以得到五階KdV方程(1)的行波解如下：

3 廣義的五階KdV方程的2-周期波解

3.1 雙線性形式、二孤子解和Riemann theta函數(shù)

為了下一小節(jié)構(gòu)造2-周期波解，首先，根據(jù)文獻[7]中的結(jié)果，很容易得出：

定理1：在5h1h3=h22的條件下，通過考慮變換u=30h2-1h3(lnf)xx，廣義的五階KdV方

程有如下的雙線性表示：

Ξ(Dx,Dt)≡(DxDt+h3Dx6+δ)f·f=0,

(4)

其中Dx,Dt表示雙線性算子，δ=δ(t)是積分常數(shù)。

同樣地，它的二孤子解具有如下形式：

(5)

然后簡單回顧Riemann theta函數(shù)的內(nèi)容，考慮以下多維Riemann theta函數(shù)：

(6)

其中n=(n1,…,nN)T∈N是整數(shù)值向量，復相位變量ξ=(ξ1,…,ξN)T∈N。此外，對于兩個向量f=(f1,…,fN)T和g=(g1,…,gN)T，它們的內(nèi)積被定義為：

〈f,g〉=f1g1+f2g2+…+fNgN。

-iτ=(-iτij) 是一個正定實值對稱的N×N矩陣，可以稱之為Riemann theta函數(shù)的周期矩陣。周期矩陣中的元素-iτ可以看作是Riemann theta函數(shù)的自由參數(shù)。在這種情況下,傅里葉級數(shù)(6)收斂于一個帶有任意向量ξ∈N的實值函數(shù)。

3.2 2-周期波解和它的漸近性

為了構(gòu)造廣義的五階KdV方程的2-周期波解，考慮雙線性方程(4)的更廣義的形式。假設方程(2)滿足非零漸近條件，即當|ξ|→0時，u→u0，則引入一個變量變換：

u=u0+30h2-1h3?x2ln?(ξ),

(7)

其中，u0是方程(2)的常數(shù)解，相位變量ξ的形式為：

ξ=(ξ1,…,ξN)T,ξi=kix+ωit+εi,i=1,2,…,N

將(7)代入方程(2)中并關于x取積分，可以得到新的雙線性方程為：

Θ(Dx,Dt)?(ξ)·?(ξ)=(DxDt+h3Dx6+u0h3Dx6+c)?(ξ)·?(ξ)=0

(8)

這里，c=c(t)是積分常數(shù)。在文獻[8]中，利用多維Riemann theta函數(shù)提出了構(gòu)造非線性偏微分方程的Riemann theta函數(shù)周期波解的兩個重要定理?，F(xiàn)在根據(jù)這一結(jié)果，可以直接得到廣義的五階KdV方程的2-周期波解。

3.2.1 2-周期波解

定理2：假設Riemann theta函數(shù)?(ξ,τ)中N=2,ξi=kix+ωit+εi,(i=1,2)，則廣義的五階KdV方程有如下形式的2-周期波解：

u=u0+30h3h2-1?x2ln?(ξ1,ξ2,τ),

其中，ω1,ω2,u0和δ滿足公式H(ω1,ω2,u0,δ)T=b, 這里：

證明：為了得到方程(2)的2-周期波解，考慮下面的Riemann theta函數(shù)取N=2，

(9)

其中n=(n1,n2)T∈2,ξ=(ξ1,ξ2)T∈2,ξi=kix+ωit+εi,(i=1,2) 和-iτ是實值正定對稱2×2矩陣，它可以寫成下面的形式：

注意到方程(8)的特殊形式，如果下式成立，則可以得到2-周期波解：

結(jié)合方程(8)和上面的表達式，得到：

上述方程可以轉(zhuǎn)化為如下形式：

(10)

對上面的式子進行求解，可以得到方程(2)的2-周期波解：

u=u0+30h3h2-1?x2ln?(ξ1,ξ2,τ)

(11)

其中，?(ξ1,ξ2,τ)和參數(shù)ω1,ω2,u0,δ分別由(9)式和上述方程來確定，其他參數(shù)ki,τij和εi(i,j=1,2)是任意的。

通過選取合適的參數(shù)，繪制了廣義的五階KdV方程的2-周期波解的傳播情況，如圖1和圖2所示。

圖1 k1=-2,k2=3,τ11=i,τ12=0.5i,τ22=2i,ε1=1.5,ε2=0,h2=1,h3=2時周期波解的傳播情況

圖2 k1=1,k2=1.5,τ11=i,τ12=0.15i,τ22=2i,ε1=ε2=0,h2=2,h3=4時周期波解的傳播情況

2-周期波解有下面的簡單特征:

(i)它的表面是二維的, 也就是有兩個相變量ξ1和ξ2, 它表明2-周期波在兩個獨立的水平方向有兩個獨立的空間周期。

(ii)在(ξ1,ξ2)中, 它有2N個基本的周期{ζi,i=1,2,…,N}和{τi,i=1,2,…,N}。其中

ζ1=(1,0,…,0)T,…ζN=(0,0,…,1)T。它的傳播速度是:

(iii)假如ki,li滿足下面的關系:

可以得到：

ω2～mω1,ξ2～mξ1,?(ξ1,ξ2)～?(ξ1,mξ1) 。

2-周期波其實是一維的并且它可以退化為1-周期波。

3.2.2 漸近性質(zhì)

在本小節(jié)中研究廣義的五階KdV方程的2-周期波解的漸近性。

定理3：如果(ω1,ω2,u0,δ)T是方程(10)的一個解，對于2-周期波解(11)，?。?/p>

(12)

其中μi,δi,i=1,2和A12可以由方程(5)得到，則有下面的漸近關系：

證明：周期波函數(shù)?(ξ1,ξ2,τ)可以展開為如下形式：

?(ξ1,ξ2,τ)=1+(e2πiξ1+e-2πiξ1)eπτ11+(e2πiξ2+e-2πiξ2)eπτ22+(e2πi(ξ1+ξ2)+e-2πi(ξ1+ξ2))eπ(τ11+2τ12+τ22)+…

(13)

其中，Δ,Υ分別為：

4 結(jié)語

本研究利用Tanh-coth法，得到了五階KdV方程的行波解，然后借助Riemann theta函數(shù)周期波解的方法，構(gòu)造了廣義的五階KdV方程的周期波解。并對周期波解和孤子解之間的關系做了分析，證明了參數(shù)在一定的極限條件下，周期波解趨近于孤子解。那么，所采用的求解方法對其他非線性偏微分方程是否適用以及還有沒有其他方法可以用來對五階KdV方程進行研究，這都是值得思考的問題，需要以后進一步的研究。