一種基于諧和小波和粒子濾波的高鐵軌道不平順識(shí)別方法

肖 祥 皮東平 何雄君

(武漢理工大學(xué)交通與物流工程學(xué)院 武漢 430063)

0 引 言

軌道不平順是車輛系統(tǒng)及車橋系統(tǒng)振動(dòng)的激振源，是車輛參數(shù)和橋梁參數(shù)評估的直接依據(jù).軌道不平順監(jiān)測對車輛和橋梁的設(shè)計(jì)與維護(hù)均具有重要意義[1-2].因此，軌道不平順車載識(shí)別方法研究是目前鐵路交通領(lǐng)域關(guān)注的焦點(diǎn).

早期軌道不平順監(jiān)測主要采用人工接觸式測量方式進(jìn)行，耗時(shí)長且人工成本非常高，難以適用于高密度運(yùn)營的高速鐵路軌道不平順監(jiān)測[3-4].基于車載的軌道不平順監(jiān)測具有效率高的優(yōu)勢，近年來受到眾多學(xué)者和研究人員的關(guān)注.Czop等[5]提出了一種利用基于實(shí)測軸箱加速度的頻域逆問題求解來監(jiān)測軌道不平順的方法.Schenkendorf等[6]提出了一種新型的利用經(jīng)典動(dòng)力學(xué)逆分析來監(jiān)測軌道不平順的混合方法.Xiao等[7]提出了一種考慮車橋相互作用的高速鐵路橋上軌道不平順車載監(jiān)測的新算法.

然而，車橋耦合系統(tǒng)的軌道不平順激勵(lì)具有時(shí)頻非平穩(wěn)的特性，對軌道不平順識(shí)別精度和效率產(chǎn)生顯著影響.Xiao等[8]利用小波分析提出了車橋系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)分析的新方法.該方法可將復(fù)雜的時(shí)變二階微分方程轉(zhuǎn)化為線性方程，提高了響應(yīng)計(jì)算效率和精度.鑒于小波在時(shí)頻非平穩(wěn)分析上的優(yōu)勢，已大量應(yīng)用到結(jié)構(gòu)動(dòng)荷載的識(shí)別分析中[9-10].然而，現(xiàn)有荷載識(shí)別方法僅針對常規(guī)時(shí)不變結(jié)構(gòu)，不適用于車橋耦合系統(tǒng)的軌道不平順識(shí)別.文中提出一種小波分解和粒子濾波相結(jié)合的算法，利用車輛響應(yīng)識(shí)別鐵路橋上軌道不平順.該算法利用諧和小波對車橋耦合系統(tǒng)的軌道不平順激勵(lì)進(jìn)行小波分解，有效地處理激勵(lì)非平穩(wěn)性問題，降低未知向量的維數(shù)，提高了識(shí)別結(jié)果精度和計(jì)算效率.

1 車橋系統(tǒng)的模型

1.1 車輛-橋梁模型

圖1為典型的車橋耦合系統(tǒng).該系統(tǒng)由兩跨簡支梁橋和移動(dòng)的鐵路車輛組成.車輛系統(tǒng)采用車體、兩個(gè)車輪及其之間的彈簧阻尼器連接構(gòu)成.車體有兩個(gè)自由度，分別為車體豎向位移yc和轉(zhuǎn)角位移θc.每個(gè)車輪有一個(gè)豎向位移自由度，即前后輪豎向位移yw1和yw2.假定每個(gè)車輪與鋼軌始終密切接觸，因此車輪的豎向位移為非獨(dú)立的自由度，車輛僅具有兩個(gè)獨(dú)立自由度qv=[ycθc]T.

圖1 車橋耦合系統(tǒng)及車輛模型

車輛以速度v(t)、加速度a(t)沿橋縱向從左往右行駛.鐵路橋采用等截面歐拉梁模擬，每跨跨度均為L，抗彎剛度為EI，橋梁線質(zhì)量密度為mb.采用模態(tài)疊加法對簡支梁橋進(jìn)行建模，則相應(yīng)的橋梁頻率、振型函數(shù)和廣義自由度分別表示為ωn,i、φn,i(x)和qn,i(n=1-m).第i(i=1-2)橋跨的振型函數(shù)向量和廣義自由度向量分別定義為

(1)

1.2 車橋系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程

不失一般性，假設(shè)車輛前后輪均位于第一橋跨，則車橋系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為

(2)

式中：M(t)、C(t)和K(t)為車橋系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；q和p(t)為廣義自由度和荷載向量.其形式為

(3)

(4)

(5)

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2 軌道不平順識(shí)別算法

2.1 軌道不平順激勵(lì)的小波分解

采用目前最新發(fā)展的廣義諧和小波對車橋系統(tǒng)的軌道不平順激勵(lì)進(jìn)行小波分析，其小波函數(shù)φ為

(7)

通過小波函數(shù)將軌道不平順及其一階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行小波分解，并將其寫成向量的形式，即

(8)

(9)

式中：r為軌道不平順；r′為軌道不平順對位移的一階導(dǎo)；c為小波系數(shù)行向量；R為軌道不平順及其導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的向量；η(c)為與小波系數(shù)有關(guān)的函數(shù).

2.2 基于小波分析的車橋系統(tǒng)狀態(tài)空間模型

將車橋運(yùn)動(dòng)方程中的荷載列陣改寫為

p(t)=f(t)+F(t)·η(c,t)

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(12)

式中：f為靜荷載列向量；F為軌道不平順的輸入矩陣；αbi為第i橋跨的靜荷載子向量；βbi為第i橋跨的軌道不平順輸入子矩陣；αbi、βbi的具體形式見文獻(xiàn)[7].

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系數(shù)矩陣A、B、E和輸入向量f、η(c)都是與時(shí)間相關(guān)的.考慮到測量信號(hào)的時(shí)間離散性，將連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程進(jìn)行時(shí)間上的離散，得到離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程，具體為

xk=Φk-1xk-1+Uk-1fk-1+Ωk-1η(c)k-1+wk

(15)

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采用車體與前輪的相對位移、相對速度和車體與后輪的相對位移、相對速度等部分觀測變量來構(gòu)造離散的觀測方程，具體為

yk=Hkxk+Dkη(c)k+vk

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(18)

H=[AB]

(19)

(20)

2.3 基于粒子濾波的識(shí)別算法建立

粒子濾波針對于工程中的非線性問題具有較好的識(shí)別效果.本節(jié)提出了一種將小波分解與粒子濾波相結(jié)合的算法，以進(jìn)行時(shí)變車橋系統(tǒng)的逆動(dòng)態(tài)分析.其算法過程如下.

步驟3重采樣步驟 對粒子進(jìn)行重采樣，其中權(quán)重大的粒子被選中的概率更大，當(dāng)然也有權(quán)重比較小的粒子被選中.

步驟4輸出

(21)

步驟5建立目標(biāo)函數(shù)

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3 算例分析

3.1 算例1 線性系統(tǒng)的驗(yàn)證

以兩跨簡支鐵路橋?yàn)槔?yàn)證該算法的有效性.采用車輛參數(shù)見表1，車輛以恒定的車速v=250 km/h從左向右行駛，以前輪剛進(jìn)入橋梁時(shí)為初始時(shí)刻，后輪剛離開橋?yàn)榻K止時(shí)刻.橋梁單位長度質(zhì)量mb=9.4×103kg/m，每跨簡支梁長L=32 m，阻尼比ξn=0.02，橋梁彈性模量E=3.45×1010N/m2，截面慣性矩I=3.2 m4，橋梁的振型階數(shù)m=5，離散時(shí)間步長Δt=0.001 s.橋上真實(shí)軌道不平順采用德國譜模擬構(gòu)造.

表1 列車參數(shù)

通過Matlab仿真模擬，得到軌道不平順識(shí)別結(jié)果見圖2.由圖2可知：采用小波分解和粒子濾波相結(jié)合的算法，識(shí)別結(jié)果與真實(shí)值較好地吻合.相應(yīng)的最大峰值識(shí)別誤差僅為2.3%，基本可以忽略.因此本文提出的方法具有較好的有效性和精確性.

圖2 軌道不平順估計(jì)結(jié)果

3.2 算例2 非線性系統(tǒng)的驗(yàn)證

與算例1一致，以兩跨簡支鐵路橋?yàn)槔?yàn)證本文算法對非線性車橋系統(tǒng)的有效性.假設(shè)車體與前、后輪之間的彈簧滿足非線性關(guān)系kh=kh+αkΔxh(h=1～2)，α為非線性強(qiáng)弱的無量綱數(shù)，Δxh為車體與前、后輪之間的相對位移，k=1.18×106N/m2.橋梁和車輛其他參數(shù)均與算例1相同.首先考慮車輛彈簧剛度非線性情景α=15，通過Matlab 仿真模擬得到軌道不平順識(shí)別結(jié)果見圖3.

圖3 軌道不平順估計(jì)結(jié)果

由圖3可知：對于該非線性時(shí)變車橋系統(tǒng)，本文算法的識(shí)別結(jié)果與真實(shí)值較好地吻合.相應(yīng)的最大峰值識(shí)別誤差僅為8.3%，識(shí)別誤差基本與觀測噪聲相當(dāng).因此，在考慮車橋系統(tǒng)非線性情況下，本文提出的方法仍具有較好的有效性和精確性.

在合理的范圍內(nèi)，通過改變無量綱數(shù)α的值來控制車橋系統(tǒng)非線性的強(qiáng)弱，進(jìn)一步驗(yàn)證本文算法的適用性.

算法識(shí)別穩(wěn)定后，通過比較軌道不平順最大峰值點(diǎn)處的真實(shí)值和識(shí)別值之間的誤差，即通過相對誤差(γ=(Δr1/r1)×100%)來說明諧和小波與粒子濾波相結(jié)合的算法估計(jì)非線性車橋系統(tǒng)的有效性.在合理的范圍內(nèi)，當(dāng)α分別取15、30、45、60、75、90、100時(shí)，對應(yīng)的相對誤差γ的值見圖4.

圖4 估計(jì)誤差與非線性強(qiáng)弱的關(guān)系

由圖4可知：改變控制車橋系統(tǒng)非線性強(qiáng)弱的無量綱數(shù)α，相應(yīng)的最大峰值識(shí)別誤差依次為8.3%、10.8%、12.5%、17.1%、19.6%、21.4%、22.9%.雖然隨著系統(tǒng)非線性的增強(qiáng)，相應(yīng)峰值的識(shí)別誤差在增大，但是誤差是合理的.因此，當(dāng)車橋系統(tǒng)在合理的非線性范圍內(nèi)，諧和小波和粒子濾波相結(jié)合的算法識(shí)別軌道不平順仍然是有效的，具有普適性.

4 結(jié) 束 語

本文將諧和小波與粒子濾波相結(jié)合，提出了一種軌道不平順識(shí)別的新方法.利用諧和小波對軌道不平順激勵(lì)進(jìn)行小波分解，得到小波系數(shù)的隱函數(shù).利用粒子濾波，結(jié)合部分觀測到的車輛動(dòng)力響應(yīng)，通過最小二乘優(yōu)化計(jì)算出最優(yōu)小波系數(shù).通過逆小波分解重構(gòu)軌道不平順，得到最優(yōu)的軌道不平順估計(jì).通過實(shí)橋算例分析驗(yàn)證了該算法對于線性和非線性的車橋系統(tǒng)均是有效的，且識(shí)別精度較高.這種算法可以將多個(gè)相互關(guān)聯(lián)的未知激勵(lì)通過小波分解轉(zhuǎn)換成同一組小波系數(shù)，通過識(shí)別小波系數(shù)來識(shí)別鐵路橋梁的軌道不平順，而且能有效地降低未知狀態(tài)向量的維數(shù)，使得計(jì)算效率更高，識(shí)別效果更好.