基于誤差模型的多約束魯棒編隊控制器的設計

閆黨輝, 章衛(wèi)國, 陳航

(西北工業(yè)大學 自動化學院, 陜西 西安 710072)

無人機系統(tǒng)是目前無人系統(tǒng)領域發(fā)展較快、水平較高、實際應用較多的一類空中無人系統(tǒng),具有成本低、無人員傷亡、操作方便和靈活可靠等特點。與固定翼飛機相比,四旋翼飛機具有許多優(yōu)點,例如,具備垂直起飛、著陸、懸停，以及室內(nèi)飛行的能力。隨著應用環(huán)境的日趨復雜以及任務的日益多樣,單機的能力受到了限制,多機的編隊協(xié)同已經(jīng)成為無人機應用的重要發(fā)展趨勢。

然而,四旋翼無人機具有6個自由度,卻只有4個控制輸入,因此,其動力學不僅是非線性的,而且是耦合的、欠驅(qū)動的,很難被控制。此外,無人機在編隊飛行的過程中,會受到陣風、湍流和其他的外界干擾,且考慮到四旋翼離散動力學的特征值位于單位圓的邊界上,因此,需要一種先進的控制策略來實現(xiàn)自主編隊飛行的穩(wěn)定,使編隊具有較高的可操作性和對外界干擾的魯棒性。為此,人們做了很多努力,并制定了一些策略來解決這類系統(tǒng)在編隊飛行過程中遇到的問題。

近年來,已經(jīng)提出了幾種策略來應對以上提出的一些問題。Guzey等[1]開發(fā)了一種基于非線性輸出反饋神經(jīng)網(wǎng)絡的一致性控制器。Yan等[2]提出了基于一致性的雙閉環(huán)滑模編隊控制器。魏揚等[3]考慮閉環(huán)系統(tǒng)存在時變干擾的情況下,設計了用于無人機編隊保持的自適應控制器。Zhen等[4]解決了干擾和不確定性存在時,編隊飛行中無人機的速度和姿態(tài)協(xié)同控制問題。Ille等[5]設計了分布式 MPC 用于跟蹤給定的參考軌跡,并用懲罰因子來避免編隊內(nèi)碰撞的發(fā)生。Chevet等[6]提出基于 MPC 的編隊重構(gòu)算法,不僅允許損壞的無人機離開編隊,還允許恢復的無人機重新加入當前編隊,同時避免碰撞。Cai等[7]研究了一種用于多無人機編隊控制的事件觸發(fā)MPC方案,可以減少分布式 MPC 方案的計算負擔。Huang等[8]提出了一種基于卡爾曼濾波和MPC的協(xié)同避碰方法,指導多架無人機協(xié)同避碰決策。Wolfe等[9]設計和測試了用于編隊飛行跟蹤的分布式多模型 MPC控制器。Rosa等[10]在非線性MPC的框架下,設計了一種具有避障功能的編隊飛行控制器。

MPC是解決約束問題最有效的控制方法之一,它還可以通過多變量耦合實現(xiàn)多目標最優(yōu)控制[11]。但是,無人機的離散時間模型是臨界穩(wěn)定的,在MPC的滾動優(yōu)化過程中,這種臨界穩(wěn)定性可能會進一步惡化,這是被許多研究所忽略的。本文針對編隊中無人機的TS和RS分別設計多約束預測模型控制器,以實現(xiàn)多約束和干擾存在的情況下,編隊的最優(yōu)控制和對于規(guī)劃路徑較好的跟蹤;此外,通過對預測控制的成本函數(shù)進行適當?shù)匦薷?不僅可以改善MPC計算中的數(shù)值問題,而且可以確保最優(yōu)計算過程中閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

1 四旋翼動力學模型及編隊算法

1.1 考慮干擾的四旋翼動力學模型

本文考慮的四旋翼結(jié)構(gòu)是完全相同的。其動力學模型可以通過拉格朗日-歐拉的方法獲得。這里,考慮干擾因素的四旋翼非線性數(shù)學模型為[12]

(1)

式中：(φ,θ,ψ)為四旋翼的3個姿態(tài)的歐拉角,分別代表滾轉(zhuǎn)角、俯仰角和偏航角;(x,y,z)為四旋翼的質(zhì)心在慣性坐標系中的位置坐標;m為四旋翼無人機的總質(zhì)量;g是重力加速度;Ui(i=1,2,3,4)為對應的控制輸入;Ωr為螺旋槳角速度殘差;di(i=1,2,…,6)表示外部擾動的集合,且|di|≤Di,Di(i=1,2,…,6)為有界正實數(shù)。aj(j=1,2,3,4,5),bk(k=1,2,3),ux,uy和uz的表達式如(2)～(3)所示

Jr為四旋翼的每個旋翼末端到飛行器重心的距離;(Ix,Iy,Iz)分別為圍繞每個軸的轉(zhuǎn)動慣量；la為轉(zhuǎn)子的懸臂長度。

1.2 模型的離散化

由(1)式可以看出,前3個方程描述了四旋翼的旋轉(zhuǎn)動力學,后面3個方程表示平移動力學,因此可以將(1)式分成RS和TS。對于第i個無人機的RS,在同時考慮干擾和不確定性的情況下,線性時變離散狀態(tài)空間模型為

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

同理,對于第i個無人機的TS,其離散線性化時變模型為

(9)

1.3 一致性編隊算法

考慮n個相同的UAV的編隊,每個UAV由Vi(i∈{1,2,…,n})表示。它們構(gòu)成有向圖G={V,E},其中V={V1,V2,…,Vn}是UAV節(jié)點的集合,E?V×V為圖的邊集,其中圖的邊集由eij表示。表示Vi和Vj之間可以相互獲得彼此的位置和速度信息。aij表示節(jié)點Vi和Vj之間連接的權(quán)重,aij=1表示節(jié)點Vi可以收到節(jié)點Vj的信息,否則aij=0。Vi的鄰點集合由Ni={Vj∈V:eij∈E}表示。

以TS的x軸方向為例

(14)

式中,在只考慮定拓撲結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)時,(14)式的一致性控制律為[12]

(i=1,…,n) (15)

式中,pij為第i個無人機和第j個無人機之間的距離。k1>0。同理可以得到另外2個軸向的一致性控制律。

2 多約束MPC的設計

本文設計的主要目標是實現(xiàn)無人機編隊的穩(wěn)定和航跡跟蹤,而多無人機編隊是一個多約束的復雜系統(tǒng),因此,可以采用MPC的方法進行求解。在本節(jié)中,分別針對每個UAV的TS和RS設計對應的MPC,以保證UAV的穩(wěn)定性和路徑跟蹤能力。如上一節(jié)所述,TS通過ux,uy和uz決定了四旋翼的參考方向。因此,首先對TS進行MPC的設計。

對于編隊中第i個 UAV,以TS為例,考慮干擾情況下的差分模型為

(16)

定義ΔXi,T(k)=Xi,T(k)-Xi,T(k-1),ΔUi,T(k)=Ui,T(k)-Ui,T(k-1),從而,可以得出一個新的增廣系統(tǒng)為

(17)

(18)

其中,矩陣Fi,ζ和Hi,ζ分別為

(19)

(20)

(21)

(22)

(25)

假設-π/2<φi,r,θi,r<π/2,通過方程(3)可以推出第i個UAV的滾轉(zhuǎn)角和俯仰角的參考值φi,r和θi,r分別為

(26)

(27)

最后,對于第i個UAV,在各個時刻傳遞給轉(zhuǎn)動子系統(tǒng)的參考輸入如下

(28)

同理,可以得到RS的最優(yōu)控制U2,U3,U4和Ωr,進而應用到UAV的非線性動態(tài)模型中。

3 穩(wěn)定性分析

(18)式中存在積分項,因此,如果預測范圍較大,則(20)式的最優(yōu)計算過程中會出現(xiàn)數(shù)值問題。從(5)式和(10)式可以看出,系統(tǒng)矩陣的特征值位于單位圓邊界附近,這會使數(shù)值問題變得更糟[13]。因此,有必要設計適當?shù)目刂破?在保證系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性的同時,避免上述的數(shù)值問題。本文提出的算法,是在MPC算法的基礎上作適當?shù)男薷?從而實現(xiàn)上述功能。

為了便于分析,以第i架無人機的TS為例,對于αT>1,將MPC中的成本函數(shù)按以下方式處理

(29)

式中,由于αT>1,成本函數(shù)中的權(quán)重系數(shù)會隨著預測時間的增加而減小,因此,在進行最優(yōu)化的計算過程中,相較于成本函數(shù)(20)式,修改后的成本函數(shù)更加重視當前時間的狀態(tài)和控制,從而對應一個預測窗口,新的狀態(tài)序列和增量控制矢量選擇為

(32)

(33)

(34)

因此,具有多個約束的優(yōu)化問題可以重新表示為

(35)

式中,MT,α的表達式為

(36)

(37)

式中對應的狀態(tài)反饋增益矩陣KT,α和閉環(huán)系統(tǒng)可以表示為

(38)

(39)

證明與(35)式類似,(39)式的代數(shù)Riccati方程為

(40)

將Qσ和Rσ代入(40)式中可以得到

(41)

(42)

式中對應的狀態(tài)反饋增益矩陣KT,σ和閉環(huán)系統(tǒng)為

(43)

綜上所述,通過(29)式和(39)式對原始成本函數(shù)(21)式進行連續(xù)變換,等效于在最優(yōu)化的求解過程中,得到了(43)式所示的最終閉環(huán)函數(shù)。如前所述,這樣做的目的不僅保證最優(yōu)計算過程中所使用模型的穩(wěn)定性,而且還能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

4 仿真結(jié)果

以3架四旋翼無人機構(gòu)成的編隊為例,這里提出一種圍繞半徑為r的圓構(gòu)成的正三角形編隊,其幾何結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 編隊的幾何結(jié)構(gòu)和通信拓撲示意圖

其中,UAV1能夠接收所有的指令,其主要任務是跟蹤規(guī)劃好的軌跡。無人機的主要參數(shù)見表1。

表1 無人機的主要參數(shù)

R1(t)=3+t

圖2 TS(a)和RS(b)閉環(huán)系統(tǒng)的極點分布圖3 約束條件下編隊無人機的角度響應

由圖2中2個子系統(tǒng)的閉環(huán)極點分布可以看出,本文MMPC不僅能夠保證所有閉環(huán)極點位于單位圓內(nèi),相較于RMPC,閉環(huán)極點能夠更靠近原點,也就保證了更多的穩(wěn)定度。

通過圖3～7可以看出,雖然干擾的存在對姿態(tài)角和三軸軌跡跟蹤造成了一定程度的影響,特別是對姿態(tài)角影響較為明顯,但由于控制器對于干擾存在魯棒性,使得編隊的隊形影響較小,且能在很短的時間內(nèi)恢復到正常狀態(tài)。

圖8進一步證明了,本文設計的控制器,能夠在很好處理約束的前提下,實現(xiàn)編隊穩(wěn)定的軌跡跟蹤和對干擾較好的魯棒能力。

圖4 編隊無人機x軸的位移 圖5 編隊無人機y軸的位移 圖6 編隊無人機z軸的位移

圖7 干擾和約束條件下無人機的軌跡 圖8 約束條件下編隊無人機的輸入

表2則可以看出,MMPC的條件數(shù)比RMPC的要小很多,證明了MMPC能夠在實現(xiàn)上述控制效果的同時,計算的復雜度能夠大大降低。

表2 RMPC和MMPC條件數(shù)

5 結(jié) 論

本文針對四旋翼的編隊問題,提出了一種改進的多約束模型預測控制器,該控制器是基于誤差的增廣模型進行設計。主要結(jié)論如下:

1) 將四旋翼的三維空間模型分為TS和RS,并分別針對2個子系統(tǒng)設計相應的多約束MPC。

2) 通過對成本函數(shù)進行合理的修改,不僅保證了滾動優(yōu)化過程中所使用模型的漸進穩(wěn)定,還保證了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

3) 利用增廣模型的特點能夠消除外部干擾對于無人機路徑跟蹤的影響。

4) 相較于RMPC,MMPC的計算復雜度能夠大大降低,并且能夠保證在多約束存在的情況下,實現(xiàn)編隊較好的路徑跟蹤。仿真結(jié)果也證明了所述方法的有效性。

未來的工作會考慮不確定性、避障和編隊重構(gòu)等問題。