輸出非對稱死區(qū)的非嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)控制

孫 猛,楊 洪

(1.江蘇海洋大學(xué)電子工程學(xué)院,江蘇連云港 222005;2.江蘇海洋大學(xué)計算機(jī)工程學(xué)院,江蘇連云港 222005)

1 引言

在日常生活中,絕大多數(shù)物理系統(tǒng)為非線性系統(tǒng),如:近空間飛行器系統(tǒng)[1]、無人直升機(jī)系統(tǒng)[2],因此,近些年來,學(xué)者們更加重視對非線性系統(tǒng)的研究.

一方面,基于逼近的自適應(yīng)反步法作為非線性系統(tǒng)的一種研究方法得到了學(xué)者們的關(guān)注,并且在此研究領(lǐng)域中,學(xué)者們?nèi)〉昧舜罅康难芯砍晒鸞3-8].文獻(xiàn)[9]借助反步法,解決了具有未建模動態(tài)的嚴(yán)格反饋時滯系統(tǒng)的自適應(yīng)模糊控制問題.文獻(xiàn)[10]利用徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(radial basis function neural networks,RBFNNs)和跟蹤微分器實現(xiàn)對未知函數(shù)和虛擬量導(dǎo)數(shù)的逼近,通過反步法研究了未知控制方向的不確定系統(tǒng).為了解決傳統(tǒng)反步法中存在的參數(shù)爆炸問題,文獻(xiàn)[11]基于反步法提出了動態(tài)面控制.動態(tài)面控制需要在反步法設(shè)計中的每一步引入一個一階濾波器.文獻(xiàn)[12]使用了動態(tài)面控制和反步法,利用RBFNNs逼近未知函數(shù),研究了一類具有輸入飽和的未知非線性系統(tǒng)自適應(yīng)控制問題.然而,上述文獻(xiàn)研究內(nèi)容針對的均是嚴(yán)格反饋的非線性系統(tǒng),相比嚴(yán)格反饋系統(tǒng),非嚴(yán)格反饋系統(tǒng)更具一般化,控制器設(shè)計問題上也更加復(fù)雜,所以上述文獻(xiàn)所使用的研究方法有待進(jìn)一步提升或改進(jìn).

另一方面,死區(qū)經(jīng)常出現(xiàn)在實際系統(tǒng)中,如液壓伺服系統(tǒng)[13]、機(jī)器人系統(tǒng)[14].死區(qū)的發(fā)生會降低系統(tǒng)性能,造成系統(tǒng)的振蕩,甚至使系統(tǒng)不穩(wěn)定.目前有許多文獻(xiàn)記錄輸入死區(qū)相關(guān)研究[15,18,20],但是,在實際系統(tǒng)中,系統(tǒng)輸出也會出現(xiàn)死區(qū)情況.文獻(xiàn)[16]針對具有輸出非對稱死區(qū)和狀態(tài)含時滯的嚴(yán)格反饋系統(tǒng),采用一種光滑模型描述死區(qū),并設(shè)計了穩(wěn)定的自適應(yīng)模糊控制器.文獻(xiàn)[17]針對具有輸出對稱死區(qū)的非嚴(yán)格反饋系統(tǒng),通過動態(tài)面控制方和反步法,設(shè)計了一種穩(wěn)定的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器.然而,上述文獻(xiàn)內(nèi)容忽略了對輸出非對稱死區(qū)非嚴(yán)格反饋系統(tǒng)的研究.

受到上述文獻(xiàn)研究內(nèi)容的啟發(fā),本文針對具有輸出非對稱死區(qū)的非嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng),設(shè)計一種自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器.本文主要的創(chuàng)新之處如下:

1) 由于在實際系統(tǒng)中,系統(tǒng)的輸出死區(qū)大多是非對稱形式,如在機(jī)器人系統(tǒng)中,機(jī)械執(zhí)行關(guān)節(jié)間存在動態(tài)摩擦,會使機(jī)器人存在輸出非對稱死區(qū).因此,在文獻(xiàn)[17]的基礎(chǔ)上,本文考慮具有輸出非對稱死區(qū)的非嚴(yán)格反饋系統(tǒng).相較于輸出對稱死區(qū),輸出非對稱死區(qū)更具一般性和廣泛性,也更具實際工程研究價值;

2) 由于含未知控制方向的情況普遍存在于實際物理系統(tǒng)中,如船舶航向控制系統(tǒng),所以,本文在文獻(xiàn)[17]的基礎(chǔ)之上,考慮系統(tǒng)狀態(tài)含未知控制方向的情況.研究系統(tǒng)控制方向?qū)鉀Q現(xiàn)實控制問題具有一定的價值.

2 系統(tǒng)描述及預(yù)備知識

2.1 系統(tǒng)描述

考慮下面的非嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng):

其中:x=[x1··· xn]T∈Rn,=[x1··· xi]T∈Ri,i=1,···,n表示系統(tǒng)的狀態(tài)向量;y ∈R表示系統(tǒng)的輸出;v(t)∈R和u(v)分別表示控制器的輸入和系統(tǒng)的輸入;di(x,t)表示有界的外部擾動信號;fi(x)是未知的光滑非線性函數(shù),其中fi(0)=0;gi(·),gn0(·)是未知參數(shù);D(x1)表示輸出死區(qū)函數(shù).

2.2 輸出死區(qū)模型

本文考慮的輸出為非對稱死區(qū)[16],其模型如下:

其中:mz ＞0和my ＞0分別表示死區(qū)函數(shù)的左右斜率;bz ＜0,by ＞0,|by-bz|表示死區(qū)寬度.

基于輸出死區(qū)的描述,式(2)可以寫成

其中:σy(y)=(π+2 arctan(ky))/2π;σz(y)=(π-2 arctan(ky))/2π,k ＞0為可調(diào)參數(shù).式(3)表示對輸出死區(qū)求逆的結(jié)果,通過改變k值大小,從而可以使用該光滑模型表示式(2)中的非線性死區(qū).

定理1的證明和文獻(xiàn)[16]中的定理1證明類似,因此在此省略證明過程.

2.3 輸入飽和模型

本文考慮的輸入具有飽和特性[20],其模型如下:

其中um是u(v)邊界,當(dāng)v(t)值為|um|時,u(v(t))不可微,可采用一種光滑模型逼近輸入飽和函數(shù)

系統(tǒng)(9)的控制目標(biāo)是設(shè)計的控制器v能夠使系統(tǒng)的輸出y(t)很好地跟蹤給定參考的理想信號yr,即跟蹤誤差要滿足|z1(t)|=|y(t)-yr|≤kz1,kz1為正常量,并保證閉環(huán)內(nèi)所有信號是半全局一致最終有界.

為了進(jìn)行控制器設(shè)計,現(xiàn)做出如下假設(shè).

注2本文中的假設(shè)借鑒了文獻(xiàn)[12,17,19,21-22]中的相關(guān)假設(shè),說明本文做出假設(shè)的合理性.

2.4 Nussbaum函數(shù)

定義1一個連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)N(ζ),如果滿足

2.5 徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

對于任意定義在緊集Ωz ∈Rq上的非線性連續(xù)函數(shù)f(Z),可以由RBFNNs進(jìn)行逼近[23]

3 自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器設(shè)計和穩(wěn)定性分析

為了簡化表達(dá),首先定義下面符號:

其中i為不大于n的正整數(shù).

基于動態(tài)面控制技術(shù),現(xiàn)引入如下的坐標(biāo)變換:

其中:i=2,···,n;zi為誤差面;ωi為一階濾波器輸出信號;yi為有界層誤差;αi為虛擬控制信號.構(gòu)造虛擬控制信號αi和

注4引理2說明了系統(tǒng)全狀態(tài)可以通過變量分離的方法分離成一系列光滑函數(shù),由假設(shè)4可以看出,包含系統(tǒng)全狀態(tài)的未知函數(shù)也可以分離成一系列光滑函數(shù).

3.1 控制器設(shè)計

本小節(jié)中,基于反步法的動態(tài)面控制技術(shù)將被用于處理非嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)(9),設(shè)計的步驟如下.

步驟1根據(jù)式(4)(9)(18),對z1進(jìn)行求導(dǎo)得到

其中bn為正常量.

3.2 穩(wěn)定性分析

本小節(jié)的主要目的是對所設(shè)計的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器進(jìn)行穩(wěn)定性分析.首先,準(zhǔn)備如下工作,定義下面緊集:

其中p,B0為正參數(shù).

構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù):

根據(jù)式(16),Young不等式,可以得到

4 仿真算例

本節(jié)通過兩個數(shù)值模擬例子,驗證本文所設(shè)計神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器的有效性.

例1考慮下面非嚴(yán)格反饋非線性二階系統(tǒng):

被控對象(58)的仿真參數(shù)選取表1所示.

表1 被控對象(58)結(jié)構(gòu)取值表Table 1 Value table of the controlled object(58)

本例中yr=0.3 sint.虛擬控制信號α2通過式(21)計算得到,其中選取a1,k1分別為2,2.其余參數(shù)取值如下:x1(0)=0,x2(0)=0.2,ω2(0)=0,θ(0)=0.5,ζ(0)=1,k2=5,a2=2,h0=0.1,σ=0.05,η=100,κ2=0.001,kz1=0.15.

在本例中,輸出非對稱死區(qū)y=D(x1)是由式(59)計算得到

圖1是輸出非對稱死區(qū)y的跟蹤效果及其跟蹤誤差圖,從圖中可以看出在本文所設(shè)計控制器的控制下,y可以很好地跟蹤給定參考信號yr,且跟蹤誤差z1可由約束|kz1|控制,說明系統(tǒng)具有良好的跟蹤性能.自適應(yīng)參數(shù)θ和控制信號v(t)的有界性如圖2-3所示.虛擬控制信號α2,濾波信號ω2以及它們之間的誤差y2如圖4所示.

圖1 輸出y的跟蹤效果和跟蹤誤差Fig.1 The tracking effect and tracking error of output y

圖2 自適應(yīng)參數(shù)θ軌跡Fig.2 The trajectory of adaptive parameter θ

圖3 控制輸入v和飽和輸入u(v)Fig.3 Control input v and saturation input u(v)

圖4 虛擬信號α2,濾波信號ω2及有界層誤差y2的軌跡Fig.4 The trajectories of virtual signal α2,filter signal ω2 and boundary layer error y2

例2考慮下面可以描述化學(xué)反應(yīng)的簡化Brusselator模型[17]:

其中x1,x2代表反應(yīng)中間產(chǎn)物的濃度.儲存化學(xué)品的供應(yīng)用A和B來表示,A ＞0,B ＞0.g(x1)表示輸出對稱死區(qū).文獻(xiàn)[17]中指出,Brusselator模型是一種可在一系列近似之后,從部分差分方程中推導(dǎo)出來的簡化化學(xué)模型.所以,在實際的化學(xué)反應(yīng)中,難以避免存在數(shù)學(xué)建模誤差和其他類型的未知非線性.因此,系統(tǒng)的輸出難免存在輸出非對稱死區(qū)的情形.基于此,本仿真考慮實際化學(xué)反應(yīng)過程中,系統(tǒng)輸出為非對稱死區(qū)的Brusselator 模型,形式如下:

其中D(x1)為輸出非對稱死區(qū).本文選取A=1,B=3,那么被控對象(61)的仿真參數(shù)選取則如表2所示.

表2 被控對象(61)結(jié)構(gòu)取值表Table 2 Value table of the controlled object(61)

本例所選取的參考信號為yr=0.5 sint+3.虛擬控制信號α2通過式(21)計算得到,其中選取a1,k1的值分別為7,10.其余參數(shù)選取值如下所示:

在本例中,輸出非對稱死區(qū)y=D(x1)是由式(62)計算得到

圖5是輸出非對稱死區(qū)y的跟蹤效果及其跟蹤誤差圖,從圖中可以看出y可以很好地跟蹤給定參考信號yr,且跟蹤誤差z1可由約束|kz1|控制,說明系統(tǒng)具有良好的跟蹤性能.自適應(yīng)參數(shù)θ和控制信號v(t)的有界性如圖6和圖7所示.虛擬控制信號α2,濾波信號ω2以及它們之間的誤差y2如圖8所示.仿真結(jié)果表明,在實際仿真案例中,本文所設(shè)計的控制器同樣滿足要求.

圖5 輸出y的跟蹤效果和跟蹤誤差Fig.5 The tracking effect and tracking error of output y

圖6 自適應(yīng)參數(shù)θ軌跡Fig.6 The trajectory of adaptive parameter θ

圖7 控制輸入v和飽和輸入u(v)Fig.7 Control input v and saturation input u(v)

圖8 虛擬信號α2,濾波信號ω2及有界層誤差y2的軌跡Fig.8 The trajectories of virtual signal α2,filter signal ω2 and boundary layer error y2

5 結(jié)論

本文研究了具有輸出非對稱死區(qū)和狀態(tài)含未知控制方向的非嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng),設(shè)計了自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器.針對非對稱死區(qū),采用基于死區(qū)逆的光滑逼近模型進(jìn)行表示,并將此模型代入控制器的設(shè)計中.針對狀態(tài)含未知控制方向,做出限制未知控制方向的假設(shè),并設(shè)計含未知控制方向的虛擬控制信號和實際控制器.通過Lyapunov穩(wěn)定性分析證明了閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)所有信號半全局一致最終有界,且跟蹤誤差滿足約束條件.仿真結(jié)果表明了所設(shè)計控制器的有效性.